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1、作作 业业 115页页 3, 4, 6, 12, 131第三节第三节一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算 第九章第九章 2一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想, 采用采用 引例引例: 设在空间有界闭区域设在空间有界闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量 M .密度函数为密度函数为3定义定义. 设设存在存在,称为
2、体积元素称为体积元素, 若对若对 作作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在 上的三重积分上的三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作下列下列“乘积和式乘积和式” 极限极限记作记作4三重积分的性质三重积分的性质1. 线性性质、单调性、积分估值公式线性性质、单调性、积分估值公式2. 区域可加性区域可加性4. 微元法微元法5. 对称奇偶性对称奇偶性*6.中值定理中值定理.在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在使得使得V 为为 的的体积体积, 5二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1
3、. 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 三次积分法三次积分法 6方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) 记作7投影法投影法 三次积分法三次积分法设区域设区域利用投影法结果利用投影法结果 ,把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得:适用范围适用范围: : 由平面围成的情况由平面围成的情况89其中其中 为三个坐标为三个坐标例例.计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域 .解解: :面及平面面及平面10.计算计算 ,其中其中 由锥面由锥面及平面及平面 围成围成.解：解：例例2.2.11化化 为三次积分，
4、为三次积分， 由曲面由曲面及平面及平面 围成围成.解：如图解：如图所以所以曲面与曲面与 xOy 坐标面交于坐标面交于 x 轴和轴和 y 轴轴 . 例例1.12方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)13特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围特别适用于积分区域中一坐标的范围易获得，截面范围易表示的情况。易表示的情况。14其中其中 为三个坐标为三个坐标例例3. 计算三重积分计算三重积分所围成的闭区域所围成的闭区域 .面及平面面及平面为为 面上面上 轴，轴，解解: :如图，如图， ： 轴和轴和 围成的等腰直角三角形围成的等腰直角三角形.所以所以 注：此题可用投影法求解注：此题可
5、用投影法求解15计算三重积分计算三重积分其中其中是上半椭球体是上半椭球体 解：解：则则而而原式原式例例4.4.16例例. 计算三重积分计算三重积分解解: 用用“先二后一先二后一 ” 17补充：三重积分对称性：补充：三重积分对称性：18补充：三重积分对称性：补充：三重积分对称性：2 2、奇偶对称性：、奇偶对称性：19解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的奇函数的奇函数, ,球面关于球面关于xoyxoy面对称面对称20解解2122231. 将将用三次积分表示用三次积分表示, ,其中其中 由由所所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面六个平面围成围成 ,
6、243. 设设计算计算提示提示: 利用对称性利用对称性原式原式 = 奇函数奇函数25to be continue26作作 业业 115页页 3, 4, 6, 12, 1327换元法换元法三重积分也有类似二重积分的换元积分公式三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: :体积元素体积元素一一对应一一对应雅可比行列式雅可比行列式282.利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点就称为点M 的柱坐标的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系直角坐标与柱面坐标的关系:29圆柱面圆柱面30平面平面半平面半平面3132圆柱面圆柱面半平面半平面平面平面33在柱面坐标下在柱面坐标下34若若从小到大从小到大边
7、界到边界边界到边界则有则有在投影区域上做极坐标变换在投影区域上做极坐标变换35例例. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面原式原式 =364. 计算计算其中其中解解:利用对称性利用对称性373.利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点就称为点M 的球坐标的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系直角坐标与球面坐标的关系38球面球面半平面半平面锥面锥面39在球面坐标系中在球面坐标系中从小到大，从边界到边界。从小到大，从边界到边界。体积元素为体积元素为化为三次积分，化为三次积分，40求求 的体积，的体积，解：解：
8、球面方程为球面方程为在球坐标系下方程为在球坐标系下方程为所以所以例例6.6.41内容小结内容小结积分区域多由坐标面积分区域多由坐标面被积函数形式简洁被积函数形式简洁, 或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的换元积分公式三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为对应雅可比行列式为变量可分离变量可分离.围成围成 ;42xzOy图 2-3 222 计算计算 ，其中，其中为双曲面为双曲面，锥面，锥面及柱面及柱面围成围成思考与练习思考与练习433. 设设 由锥面由锥面和球面和球面所围成所围成 , 计算计算提示提示:利用对称性利用对称性用球坐标用球坐标 44, ,其中其中 由锥面由锥面平面平面 围成围成. .解法：用投影法解法：用投影法. .计算计算45例例5. 计算三重积分计算三重积分解解: 在球面坐标系下在球面坐标系下所围立体所围立体.其中其中 与球面与球面46例例6.求曲面求曲面所围立体体积所围立体体积.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立体位于立体位于xoy面上部面上部,立体体积为立体体积为yoz面对称面对称, 并与并与xoy面相切面相切, 故在球坐标系下所围立体故在球坐标系下所围立体且关于且关于 xoz 47The End48
