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1、测量学测量学赵建三赵建三王唤良王唤良 主编主编贺跃光贺跃光唐平英唐平英副主编副主编中国电力出版社中国电力出版社 2008年年6月月高等学校教材2021/6/41第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识1.测量误差概述测量误差概述2.衡量精度的指标衡量精度的指标3.误差传播定律误差传播定律4.算术平均值及中误差算术平均值及中误差5.等精度观测实例等精度观测实例6.权及加权平均值权及加权平均值2021/6/42目的目的了解误差产生的了解误差产生的规律规律正确正确处理处理观测成果观测成果求取最或然值求取最或然值评定观测精度评定观测精度指导指导测量工作测量工作选用合适的观测方法，以符合精度要
2、求选用合适的观测方法，以符合精度要求2021/6/43基本概念基本概念观测观测：通过一定仪器、工具和方法对某个量值进行：通过一定仪器、工具和方法对某个量值进行量测量测的的过程过程观测值观测值：通过：通过观测观测所获得的所获得的数据数据测量误差测量误差：对一个量值进行：对一个量值进行观测观测（量测量测）过程中所产生的）过程中所产生的误差误差2 个基本因素决定了个基本因素决定了误差总是存在误差总是存在1.不确定性不确定性：客观事物或现象具有其固有的：客观事物或现象具有其固有的复杂性复杂性2.局限性局限性：科技科技水平、人类水平、人类认知认知能力等方面的限制能力等方面的限制多次多次观测：也会有观测：
3、也会有差异差异误差有误差有大小大小，所以观测精度有，所以观测精度有坏好坏好本章讨论本章讨论普通测量普通测量中的中的测量误差相关测量误差相关问题问题2021/6/44同精度观测同精度观测由观测条件判断由观测条件判断观测条件观测条件：测量工作要素的统称，包括：测量工作要素的统称，包括观测观测人员人员：年轻人、老年人：年轻人、老年人测量测量仪器仪器：DJ2、DJ6观测观测方法方法：单向观测、往返观测、多测回观测：单向观测、往返观测、多测回观测外界外界条件条件：阴天、晴天：阴天、晴天（等等）同精度观测同精度观测 ：观测：观测条件相同条件相同水准尺前、后视读数、水平度盘读数、多测回测角等水准尺前、后视读
4、数、水平度盘读数、多测回测角等不同水准路线测某一点高程、不同仪器测同一个水平角不同水准路线测某一点高程、不同仪器测同一个水平角（不等不等）不同不同精度观测：观测精度观测：观测条件不相同条件不相同（等等）同精度观测值同精度观测值：同精度观测所得：同精度观测所得数据数据（观测值）（观测值）（不等（不等）不同不同精度观测值：不同精度观测所获取的数据精度观测值：不同精度观测所获取的数据（观测值）（观测值）2021/6/45直接观测直接观测由观测值与未知量的关系判断由观测值与未知量的关系判断直接观测直接观测：观测值观测值即所需数据的测量（少）即所需数据的测量（少）水准测量：水准尺水准测量：水准尺读数读数
5、距离测量：一般钢尺距离测量：一般钢尺量距量距直接观测值直接观测值：由间接观测所得数据：由间接观测所得数据间接观测间接观测：观测值经：观测值经函数运算函数运算才能获得所需数据的测量（多）才能获得所需数据的测量（多）水准测量：水准测量：高差高差（高程）（高程）距离测量：距离测量：视距视距测量测量间接观测值间接观测值： 由间接观测所得数据由间接观测所得数据2021/6/46独立观测独立观测由观测值之间的关系判断由观测值之间的关系判断独立观测独立观测：各观测值之间：各观测值之间没有没有任何依存关系（任何依存关系（函数关系函数关系）水平角的水平角的多测回观测多测回观测三角形的三角形的 2 个内角个内角独
6、立观测值独立观测值：独立观测所得数据：独立观测所得数据非独立观测非独立观测：各观测值之间存在一定的几何或物里：各观测值之间存在一定的几何或物里条件条件的的约束约束（可以表达为（可以表达为函数关系函数关系）水准点的水准点的高程值高程值、高差值、水准尺、高差值、水准尺读数读数水平角水平角与水平度盘与水平度盘读数读数三角形的三角形的 3 个内角个内角非独立观测值非独立观测值：非独立观测所得数据：非独立观测所得数据2021/6/47测量误差测量误差来源来源测量测量仪器仪器精密度（标称精度）精密度（标称精度）装配、搬运、磕碰、磨损、使用等装配、搬运、磕碰、磨损、使用等观测观测者者听觉、视觉等感官听觉、视
7、觉等感官工作态度工作态度技术水平技术水平身体状况、心情等身体状况、心情等2008年北京奥运会步枪年北京奥运会步枪 50 米米 340 决赛赛决赛赛中国邱健以中国邱健以 0.1 环或冠军：最后一枪邱环或冠军：最后一枪邱健健 10 环，艾蒙斯环，艾蒙斯 4.4 环环外界外界环境环境条件条件天气：风、雨、温度天气：风、雨、温度大气折光大气折光电磁波干扰电磁波干扰环境污染等环境污染等2021/6/48测量误差测量误差相关概念相关概念真值真值：被观测量的：被观测量的真实值真实值已知的少：三角形内角和、闭合水准路线高差等已知的少：三角形内角和、闭合水准路线高差等未知的多：水平角、高差、距离等未知的多：水平
8、角、高差、距离等真误差真误差真值真值观测值（观测值（注意注意：闭合差：闭合差=观测值闭合值）观测值闭合值）必要观测必要观测（数）：确定未知量所需要的（数）：确定未知量所需要的最少观测数最少观测数两点间高差：两点间高差：2水平角：水平角：2三角形内角：三角形内角：2多余观测多余观测（数）观测总数（数）观测总数必要观测（数）必要观测（数）多测回多测回水准尺黑、红双面读数水准尺黑、红双面读数经纬仪盘左、盘右读数经纬仪盘左、盘右读数反映测量误差反映测量误差2021/6/49测量误差测量误差不可避免不可避免但是：可以降低误差，提高精度但是：可以降低误差，提高精度提高观测提高观测质量，减少或控制测量误差，
9、保证测量精度质量，减少或控制测量误差，保证测量精度改进数据处理改进数据处理方法，进一步提高精度方法，进一步提高精度精度概念精度概念准确度准确度：观测值：观测值接近接近或或偏离偏离真值的程度真值的程度精密度精密度（精度精度）：观测值）：观测值密集密集或或离散离散的程度的程度精确度精确度：精密度与准确度的：精密度与准确度的合称合称2021/6/410测量误差测量误差种类种类所有误差可以分为所有误差可以分为 3 类类1.粗差粗差2.系统误差系统误差3.偶然误差偶然误差2021/6/4111、粗差粗差粗差粗差（错误错误）：不正确使用仪器、疏忽大意、环境意外等因素：不正确使用仪器、疏忽大意、环境意外等因
10、素导致观测值导致观测值显著偏离真值显著偏离真值的情况的情况如：读错、听错（记错）、算错等如：读错、听错（记错）、算错等2004年雅典奥运会步枪年雅典奥运会步枪 50 米米 340 决决赛赛赛中国贾占波获冠军：美国天才射手中国贾占波获冠军：美国天才射手艾蒙斯艾蒙斯一枪一枪错靶错靶打在了（打在了（Aus）普拉纳尔的）普拉纳尔的 3 号靶，普拉纳尔中号靶，普拉纳尔中 10.6 环，艾蒙斯中环，艾蒙斯中 8.1 环（只要环（只要 7 环）环）误差最大误差最大：往往与闭合差容许值有：往往与闭合差容许值有数量级数量级上的上的差别差别容易检核容易检核：通过多余观测的差异值很：通过多余观测的差异值很容易发现容
11、易发现水准尺的黑、红面读数水准尺的黑、红面读数盘左、盘右读数盘左、盘右读数必须避免必须避免：一经发现就：一经发现就剔除剔除2021/6/4122、系统误差系统误差准确度问题准确度问题系统误差系统误差：在相同观测条件下，某个量值的一系列观测值的误差：在相同观测条件下，某个量值的一系列观测值的误差大小和正负符号固定不变或按大小和正负符号固定不变或按一定规律一定规律变化变化准确度准确度：表现表现为观测值对真值的为观测值对真值的系统偏离系统偏离来源来源：往往是：往往是仪器仪器、工具工具、环境环境等等水准管非水准管非VV、横轴误差、度盘偏心差、枪械准星等、横轴误差、度盘偏心差、枪械准星等视准轴误差、尺长
12、误差、调制波频率误差等视准轴误差、尺长误差、调制波频率误差等温度、气压、大气折光等温度、气压、大气折光等测距（等需要累计测量的），随观测次数增加而累计测距（等需要累计测量的），随观测次数增加而累计尺长尺长改正数、改正数、EDM 气象气象改正数改正数应该应该避免避免或或消除消除、减弱减弱，有，有 2 类方法予以类方法予以判断判断1.检核：仪器、工具、环境条件等检核：仪器、工具、环境条件等2.计算：计算：数理统计方法数理统计方法2021/6/4132、系统误差系统误差对策对策消除或减弱系统误差的消除或减弱系统误差的常用方法常用方法1.仪器检校法仪器检校法：通过仪器的检校使系统误差降低到最小限度：通
13、过仪器的检校使系统误差降低到最小限度视准轴检校视准轴检校仪器的精确整平仪器的精确整平2.对称观测法对称观测法（规定观测顺序规定观测顺序）：对称观测、取平均值）：对称观测、取平均值水准测量：前、后视距相等水准测量：前、后视距相等测角：盘左、盘右测角：盘左、盘右三角高程测量：往返观测三角高程测量：往返观测3.改正数法改正数法：测定系统误差的大小并加以改正：测定系统误差的大小并加以改正尺长改正数：钢尺的长度误差尺长改正数：钢尺的长度误差气象改正数：气象改正数：DtPD(nrn)系统误差的存在形式随观测条件会有变化，应视系统误差的存在形式随观测条件会有变化，应视具体情况具体情况采用采用合适合适的的方法
14、方法使系统误差使系统误差降低到降低到可以可以忽略不计忽略不计的程度的程度2021/6/4143、偶然误差偶然误差精度（精密度）问题精度（精密度）问题偶然（随机）误差偶然（随机）误差：在相同观测条件下，某个量值的一系列观测值：在相同观测条件下，某个量值的一系列观测值误差的大小和正负符号都不固定，误差的大小和正负符号都不固定，没有一定规律没有一定规律，表现为偶然，表现为偶然性或随机性性或随机性精密度精密度：表现表现为观测值的密集或为观测值的密集或离散程度离散程度偶然因素：偶然因素：综合影响，如度盘分划、估读、瞄准等综合影响，如度盘分划、估读、瞄准等统计规律性统计规律性：相同条件下、相同未知量的观测
15、值偶然误差的：相同条件下、相同未知量的观测值偶然误差的分布具有统计规律分布具有统计规律最佳估计值最佳估计值（最或然值最或然值） ：通过：通过数学处理数学处理求出，求出，尽量尽量地地消除消除偶然误差的影响偶然误差的影响平均值平均值平差平差2021/6/4153、偶然误差偶然误差本章主要内容本章主要内容a.求算最佳值求算最佳值：平均值、加权平均值、平差值：平均值、加权平均值、平差值b.评价精度评价精度（精密度）（精密度）误差的误差的显著程度显著程度：粗差系统误差偶然误差：粗差系统误差偶然误差剔除剔除粗差粗差尽量排除尽量排除系统误差系统误差尽量减弱尽量减弱偶然误差偶然误差数理统计方法：数理统计方法：
16、求取求取最或然值、最或然值、评价评价精度精度本章本章的主要内容的主要内容2021/6/416测量平差测量平差测量平差测量平差（平差平差）：针对）：针对偶然误差偶然误差特点以及各观测值之间特点以及各观测值之间的的约束条件约束条件，使观测值，使观测值闭合差闭合差为为 0 的的数学方法数学方法求取未知量真值的求取未知量真值的最或然值最或然值计算计算精度精度，评定观测值的质量，评定观测值的质量优劣优劣 运算符号运算符号：高斯和高斯和2021/6/417偶然误差特性偶然误差特性实例实例相同条件下、相同未知量的观测值偶然误差具有相同条件下、相同未知量的观测值偶然误差具有统计规律性统计规律性仍硬币仍硬币：每
17、一次正或反面朝上受：每一次正或反面朝上受多种因素多种因素综合影响综合影响当仍的次数相当大时，当仍的次数相当大时，正面正面、反面反面朝上的朝上的次数相等次数相等射击射击：弹孔位置受：弹孔位置受多种因素多种因素综合影响综合影响围绕靶心围绕靶心对称对称分布分布越接近越接近靶心靶心，弹孔越，弹孔越多多射手水平越射手水平越高高，靶心弹孔越密，靶心弹孔越密集（集（精密度精密度/偶然误差偶然误差）瞄准镜瞄准镜（器）（器）问题问题：弹孔分布对称中心：弹孔分布对称中心偏离偏离靶心（准确靶心（准确度度/系统误差）系统误差）2021/6/418平面三角形平面三角形 3 个内角和的真误差个内角和的真误差i180(ai
18、bici)偶然误差的偶然误差的 4 个个特性特性1.有界性有界性：绝对值有界：绝对值有界2.单峰性单峰性：误差：误差越小频度越大越小频度越大3.对称性对称性：绝对值等：绝对值等正负正负分布均等分布均等4.补偿性补偿性：第：第 3 条得条得总和总和接近于接近于 0平均值平均值（算术平均值）：随（算术平均值）：随观测次数增加而趋近观测次数增加而趋近 0偶然误差特性偶然误差特性举例：三角形内角和真误差举例：三角形内角和真误差2021/6/419偶然误差偶然误差统计直方图统计直方图概率概率 ：某个误差值的：某个误差值的频率频率概率分布概率分布坐标系坐标系横轴横轴：误差分布区间：误差分布区间纵轴纵轴：误
19、差：误差概率密度概率密度某个误差值某个误差值频率频率：矩形：矩形面积面积f ：概率密度函数：概率密度函数根据频率直方图根据频率直方图“胖瘦胖瘦”，可判断可判断精度精度大小大小1.直观直观2.麻烦、没有定量麻烦、没有定量2021/6/420偶然误差偶然误差分布曲线分布曲线偶然误差偶然误差概率密度函数概率密度函数正态分布正态分布曲线曲线 ：高斯偶然误差高斯偶然误差分布曲线分布曲线本章的本章的数学基础数学基础：偶然误差呈：偶然误差呈正态曲线分布正态曲线分布2021/6/421偶然误差偶然误差措施措施实际实际测量不可能作无限次观测，可以利用偶然误差的第测量不可能作无限次观测，可以利用偶然误差的第 4
20、条条特性将观测值的特性将观测值的算术平均值算术平均值作为未知量真值的估计值作为未知量真值的估计值提高观测精度的措施提高观测精度的措施提高观测提高观测仪器等级仪器等级进行进行多余观测多余观测测量测量平差平差求求最或然值最或然值（最可靠值最可靠值），常指算术平均值），常指算术平均值2021/6/422相关定义相关定义准确度准确度：观测值接近或偏离真值的程度，主要受：观测值接近或偏离真值的程度，主要受系统误差系统误差的影响的影响精密度精密度（精度精度）：观测值密集或离散的程度，主要受）：观测值密集或离散的程度，主要受偶然误差偶然误差的的影响，可评价观测值的影响，可评价观测值的质量质量优劣优劣统计学概
21、念统计学概念：相同观测条件相同观测条件下，同类观测值的下，同类观测值的精度相等精度相等单个误差单个误差每次都可能有变化，但精度都相同每次都可能有变化，但精度都相同衡量衡量精度的精度的指标指标：可用：可用数值数值建立一个统一的精度衡量标准建立一个统一的精度衡量标准精确度精确度：精密度与准确度的合称：精密度与准确度的合称2021/6/423中误差中误差观测值中误差：由真误差定义（计算）观测值中误差：由真误差定义（计算）相同观测条件下，某未知量的相同观测条件下，某未知量的 n 次观测值次观测值l1、l2、ln真误差真误差：iLli1. m 越越小小则则精精度越高，反映误差度越高，反映误差密集密集（离
22、散）（离散）程度程度2.较较大真误差大真误差的影响很大的影响很大3.统计学概念统计学概念：即相同条件下，相同未知量的一组观测值中：即相同条件下，相同未知量的一组观测值中每每一个观测值的中误差一个观测值的中误差（精度）是相等的（精度）是相等的真误差真误差每次都可能不同每次都可能不同2021/6/424容许误差容许误差偶然误差具有偶然误差具有上上限值限值（第（第 1 条特性）条特性）误差很大误差很大（即数据不符合要求）：可能有粗差（应（即数据不符合要求）：可能有粗差（应剔除剔除）、系统误差（查找原因，采取相应的、系统误差（查找原因，采取相应的解决解决办法）办法）容许误差容许误差（限差限差）：观测误
23、差的）：观测误差的最大容许值最大容许值正态分布正态分布概率：概率： 曲线与曲线与 X 轴所夹面积轴所夹面积 1m 外：外：32% 2m 外：外：5% 3m 外：外：3 闭合差容许值闭合差容许值理论依据理论依据一般一般要求：要求：容容3|m|精确精确要求：要求：容容2|m|m=0.22021/6/425相对误差相对误差中误差的中误差的局限局限：丈量：丈量 2 段距离的精度比较段距离的精度比较1.100 m，m12 cm2.200 m，m23 cm相对误差相对误差：中误差中误差（绝对值）与相应（绝对值）与相应观测值观测值的的比比值，常用值，常用分子为分子为 1 的分数表示（的分数表示（1M）K|m
24、|D1D/|m|K11/5,000K21/6,6661/6,6002021/6/426独立观测值误差函数独立观测值误差函数间接观测间接观测值值：由观测值的：由观测值的函数运算函数运算而得而得间接观测值的间接观测值的中误差中误差：由观测值中误差的：由观测值中误差的函数函数求得求得误差传播定律误差传播定律 ：表述观测值：表述观测值函数函数的的中误差中误差与观测值中误与观测值中误差之间关系的定律差之间关系的定律观测值函数观测值函数：若未知量：若未知量 Z 是是独立独立变量变量 x1、x2、xn 的的函数函数，则有函数式则有函数式 ，其真误差，其真误差Z，中误差，中误差 mZ独立变量独立变量 xi（i
25、1、2、3、n）为直接观测量）为直接观测量观测值为观测值为 li，真误差，真误差 i，中误差，中误差 mi间接观测间接观测真误差真误差Z ：各独立观测值的真误差导致其：各独立观测值的真误差导致其函数函数值偏离真值值偏离真值的误差的误差2021/6/427误差传播规律误差传播规律推导推导 12021/6/428误差传播规律误差传播规律推导推导 2i j 相互相互独立独立i j 呈呈偶然性偶然性偶然误差偶然误差第第 4 特性特性 i j 0K 次函数等次函数等式相加式相加等式两边同时等式两边同时除以除以K2021/6/429特殊函数的中误差特殊函数的中误差倍函数倍函数和差函数和差函数线性函数线性函
26、数2021/6/430应用举例应用举例 1 先确定函数关系式先确定函数关系式1.在在 1500 地形图地形图上量得某上量得某 2 点间距离点间距离 d234.5 mm，其中误其中误差差 md0.2 mm，求该求该 2 点间的地面水平距离点间的地面水平距离 D 及其中误差及其中误差 mD解：解： D500d5000.2345117.25 m mD500md 5000.00020.10 m2.设对某一个设对某一个三角形三角形观测了其中观测了其中 2 个角个角、，其测角中误差分其测角中误差分别为别为 m3.5，m6.2，试求第试求第 3 个角个角 的中误差的中误差 m解：解： 7.119691202
27、1/6/431应用举例应用举例 2 先确定函数关系式先确定函数关系式3.采用三角高程测量方法测定高差，设测得水平距离采用三角高程测量方法测定高差，设测得水平距离221.70.5 m，竖直角直角9423612，仪器高器高1.430.01 m，觇标高高2.300.01 m，试求高差及其中求高差及其中误差差1.解：解：2021/6/432应用举例应用举例 3 函数关系式要整理为独立变量函数函数关系式要整理为独立变量函数4.设观测值设观测值 L1、L2、L3 的中误差均为的中误差均为 m，xL1+2L2，y5L3L2，求求 x、y、xy、xy 的中误差的中误差特别注意特别注意：误差传播定律只适用于误差
28、传播定律只适用于独立变量函数独立变量函数2021/6/433可推广到多边形可推广到多边形菲列罗公式菲列罗公式三角形内角和三角形内角和（abc）观测值：观测值：ai、bi、ci m ：角度观测中误差：角度观测中误差180f（闭合（闭合差）差）f0f f菲列罗公式菲列罗公式2021/6/434最小二乘法最小二乘法计算最或然值的理论依据计算最或然值的理论依据2021/6/435算术平均值算术平均值等精度直接平差等精度直接平差2021/6/436算术平均值算术平均值最可靠最可靠（估计估计）值）值相同观测条件相同观测条件下，某未知量下，某未知量 n 次观测值次观测值 l1、l2、ln最可靠值最可靠值（最
29、或然值最或然值）观测观测次数次数趋向趋向无限无限多时，算术平均值多时，算术平均值趋向真值趋向真值实际实际的观测次数总是的观测次数总是有限有限的，算术平均值的，算术平均值不等不等于真值于真值比比任何一个任何一个观测观测值都值都更更接接近真值近真值2021/6/437算术平均值算术平均值真误差：真误差：Xx推理依据推理依据1.i j 相互相互独立独立2.i j 呈呈偶然性偶然性3.偶然误差偶然误差第第 4 特性特性 i j 02021/6/438算术平均值算术平均值中误差：中误差：Mx算术平均值算术平均值真误差中误差真误差中误差精度改善效果曲线精度改善效果曲线2021/6/439算术平均值算术平均
30、值与观测值改正数与观测值改正数真值真值：常常：常常未知未知，真误差无从求，怎样求解中误差？，真误差无从求，怎样求解中误差？观测值改正数观测值改正数 vi ：算术平均值（最或然值）：算术平均值（最或然值）x 与观测值与观测值 li 之差之差针对针对一个具体一个具体的观测量（对象）的的观测量（对象）的重复观测重复观测特性特性：v0，可，可检核检核 x 或或 v比较：前面所学比较：前面所学闭合差闭合差、平差改正数平差改正数真值真值已知：即已知：即闭合值闭合值，用于计算闭合差，用于计算闭合差观测对象：真值的观测对象：真值的多多个分个分量量，（每一测站的高差等），（每一测站的高差等）没有重复观测（只有一
31、个测回没有重复观测（只有一个测回）2021/6/440观测值中误差观测值中误差由观测值改正数计算由观测值改正数计算2021/6/441算术平均值算术平均值中误差总结中误差总结2021/6/442水准测量精度水准测量精度按测站数计算按测站数计算2021/6/443水准测量精度水准测量精度按公里数计算按公里数计算条件：一般为条件：一般为平坦平坦区域，各区域，各测测站的站的间距间距相等相等1S：每公里的测站数每公里的测站数mkm ：每公里每公里高差测量高差测量中误差中误差2021/6/444水准测量闭合差容许值水准测量闭合差容许值山地山地山地山地因坡度变化使测站的因坡度变化使测站的间距不等间距不等、
32、较短较短DS3 水准仪读数误差：水准仪读数误差：m读读3 4 mm测站测站容许容许误差误差一般一般设为中误差的设为中误差的 3 倍倍：即：即12 mmn 测站水准路线的测站水准路线的容许误差容许误差三、四等水准测量三、四等水准测量测站测站容许误差是中误差的容许误差是中误差的 2 倍倍：即：即6 mm2021/6/445水准测量闭合差容许值水准测量闭合差容许值平坦地面平坦地面平坦平坦地面测站地面测站间距间距一般相等，约一般相等，约 90 m每公里测站数每公里测站数：约为：约为11（11.111111）mkm3.3m读读10/3m读读10 40/3 mm每公里一般每公里一般容许误差容许误差：40
33、mm每公里三、四等每公里三、四等容许误差容许误差：20 mmL 公里水准路线的一般公里水准路线的一般容许误差容许误差2021/6/446水平角测量精度水平角测量精度DJ6级经纬仪级经纬仪 1 测回测回的测角的测角中误差中误差标称精度标称精度：一个方向读数：一个方向读数 1 测回中误差，测回中误差，mdu6 9水平角水平角ba容许容许误差误差 40： m容容3m 26 382021/6/447水平角测量精度水平角测量精度DJ6级经纬仪级经纬仪 1 测回测回的测角的测角中误差中误差标称精度标称精度：一个方向读数：一个方向读数 1 测回中误差，测回中误差，mdu6 9上下半测回较差上下半测回较差的中
34、误差及其容许值的中误差及其容许值2021/6/448水平角测量精度水平角测量精度三角形三角形内角和闭合差内角和闭合差W(abc)180mambmcm容许容许误差：误差：3 倍倍中误差，中误差，602021/6/449钢尺量距精度钢尺量距精度钢尺量距精度钢尺量距精度DL1L2Ln每尺段的中误差为每尺段的中误差为 m nDS1/S ：每公里测段数：每公里测段数mkm ：每公里测距中误差：每公里测距中误差2021/6/450钢尺量距要求钢尺量距要求一般一般相对误差：相对误差：往返往返测量值的较差测量值的较差 D 与测距与测距 D 之之比比一般钢尺量距一般钢尺量距：2mkm5 mm50 m 钢尺钢尺：
35、一次丈量：一次丈量中误差中误差约为约为 0.559 mmmkm2.499923999 mm测距为测距为 200 mK容容D容容D1/2,020 1/2,0002021/6/451视距测量精度视距测量精度2021/6/452视距测量精度视距测量精度DJ6 24 倍放大率、人眼倍放大率、人眼 60 分辨率分辨率60242.5一般情况下，竖直角不大一般情况下，竖直角不大cos1视距测距精度：视距测距精度：1/300还要考虑其他因素影响还要考虑其他因素影响2021/6/453光电测距精度光电测距精度2021/6/454周期误差周期误差 mA：仪器内部：仪器内部信号串绕信号串绕所致所致距离误差距离误差，
36、距离无关，距离无关对中误差对中误差 mg，因，因对中对中误差所致误差所致距离误差距离误差，距离无关，距离无关最终有最终有两类误差两类误差固定固定误差：与距离无关，误差：与距离无关，m、mK、mA、mg比例比例误差：与距离成相关，误差：与距离成相关，mC、mn、mf测距仪精度表达式：测距仪精度表达式：mDABD光电测距精度光电测距精度2021/6/455权权观测条件相同观测条件相同，算术平均值即最或然值，算术平均值即最或然值如果如果观测条件观测条件不相同不相同，则需，则需加权平均加权平均最或然值：不同精度观测值赋予不同最或然值：不同精度观测值赋予不同计算份量计算份量（权权）中误差越小中误差越小（
37、精度越高），其观测值的重要性（精度越高），其观测值的重要性越大越大权权： ，其中，其中为任意给定常数为任意给定常数多个观测值精度的多个观测值精度的相对概念相对概念单位权单位权：权等于：权等于 1单位权观测值单位权观测值：权值为：权值为 1 的观测值的观测值单位权中误差单位权中误差 ：权值为：权值为 1 的观测值中误差的观测值中误差当当 P1 时，时，m 2021/6/456权的性质权的性质1.与与中误差中误差的的平方成反比平方成反比2.始终始终大于大于03.数值大小随数值大小随而变化，但是权之间的而变化，但是权之间的比例关系不变比例关系不变4.对于对于单一单一的观测值而言，的观测值而言，权没权
38、没有任何有任何意义意义5.是是相对性相对性数值，反映数值，反映相对精度相对精度，中误差反映的才是绝对精度，中误差反映的才是绝对精度6.尽管尽管为任意值，但是在同一次测量数据处理过程中，为任意值，但是在同一次测量数据处理过程中，只能有只能有一个一个值值2021/6/457同精度观测同精度观测算术平均值的权算术平均值的权同精度同精度观测值：观测值：权值相等权值相等n 次次同精度观测，同精度观测，算术平均值算术平均值的权是的权是单个观测单个观测值的值的 n 倍倍2021/6/458同精度观测同精度观测算术平均值的权：观测次数不同算术平均值的权：观测次数不同设设单位权中误差：单位权中误差： c 次次等
39、精度观测等精度观测的算术的算术平均值中误差平均值中误差算术平均值权的算术平均值权的特征特征c 次等精度观测：次等精度观测： 11 次等精度观测：次等精度观测： 1/c观测次观测次数数不同：不同：权值权值不同不同 越多，权值越高越多，权值越高2021/6/459水准测量中的权水准测量中的权按测站数计算按测站数计算设设单位权中误差：单位权中误差： c 个测站个测站水水准路线的中误差准路线的中误差水准测量路线的权：水准测量路线的权：特征特征c 个测站水准路线的权为个测站水准路线的权为 11 测站水准测量的权为测站水准测量的权为 cni 越大，权值越小越大，权值越小2021/6/460水准测量中的权水
40、准测量中的权按测距计算按测距计算设设单位权中误差：单位权中误差： c 公里公里水水准路线的中误差准路线的中误差水准测量路线的权：水准测量路线的权：特征特征c 公里水准测量的权为公里水准测量的权为 11 公里水准测量的权为公里水准测量的权为 cDi 越大，权值越小越大，权值越小2021/6/461钢尺量距中的权钢尺量距中的权设设单位权中误差：单位权中误差： c 公里公里测距测距的中误差的中误差钢尺量距的权：钢尺量距的权：特征特征c 公里距离测量的权为公里距离测量的权为 11 公里距离测量的权为公里距离测量的权为 cDi 越大，权值越小越大，权值越小2021/6/462权的实际意义权的实际意义1.
41、求取最佳值求取最佳值（最或然值、最似然值最或然值、最似然值）2.精度估算精度估算权值计算小结：观测值中误差权值计算小结：观测值中误差未知也可以确定权值未知也可以确定权值同精度同精度观测算术观测算术平均值平均值的权：的权：Pn （设设 = m）ni 个等精度个等精度观测算术观测算术平均值平均值的权：的权：Pinic水准水准测量路线的权测量路线的权PicniPicDi钢尺钢尺量距的权公式为：量距的权公式为：PicDi2021/6/463最小二乘法最小二乘法计算最或然值的理论依据计算最或然值的理论依据2021/6/464加权平均值加权平均值不等精度直接平差不等精度直接平差2021/6/465加权平均
42、值加权平均值经验推导经验推导某观测量（对象）的观测值某观测量（对象）的观测值矩阵矩阵算术平均值算术平均值系列系列L1、L2、Ln Li ： ki 次等精度观测值次等精度观测值 平均值平均值2021/6/466加权平均值加权平均值经验推导经验推导m ：基本单元观测值的中误差：基本单元观测值的中误差单位权中误差单位权中误差：设：设 c 次次等精度观测的算等精度观测的算术术平均值平均值中误差中误差加权平均值加权平均值：求取：求取 L1、L2、Ln 的最的最近似值近似值推导方法：推导方法：算术平均值算术平均值公式公式2021/6/467加权平均值加权平均值中误差、权值中误差、权值PxP：观测值观测值L
43、1、L2、Ln加权平均值的权等于观测值权的和加权平均值的权等于观测值权的和2021/6/468权倒数传播定律权倒数传播定律2021/6/469加权平均值的权加权平均值的权权倒数定律检验权倒数定律检验2021/6/470例题例题 9一观测对象的观测值一观测对象的观测值 系列系列li (i1,2,n)的权为的权为 Pi ，求函数求函数 的权。的权。解：解：权倒数传播权倒数传播公式公式得得 即构成一个即构成一个虚拟观测值虚拟观测值，其，其权权值为值为 1单位权观测值单位权观测值等精度等精度观测值观测值可可使用使用等精度观测值的等精度观测值的相关公式相关公式2021/6/471例题例题 10三角形三角
44、形 3 内角观测值为内角观测值为、，其观测精度相同，权值为，其观测精度相同，权值为PPPP1，试求观测角，试求观测角平差值平差值、的的权权解：解：设设三角形三角形闭合差闭合差为：为：180则有：则有：/32/3/3/3/32/3/3/3/32/3/3/32021/6/472单位权中误差单位权中误差由真误差由真误差计算计算观测值观测值 Li 的权为的权为Pi ，真误差为，真误差为i，其中，其中i1,2,n虚构：虚构：单位权观测值单位权观测值函数函数 等精度等精度观测观测值值2021/6/473单位权中误差单位权中误差由改正数由改正数计算计算2021/6/474综合例题综合例题 1同一经纬仪对某水平角进行同一经纬仪对某水平角进行 3 组观测，分别组观测，分别观测了观测了2、4、6 次，求次，求加权平均值加权平均值、中误差中误差2021/6/475综合例题综合例题 2已知已知A、B、C 3 点的点的高程高程，用，用水准仪水准仪测得由已知点到测得由已知点到 P 点点 3 条水准路线高差条水准路线高差及及 长度，试求长度，试求P点点的的高程高程及其及其中误差中误差x x、 、m m1 1、m m2 2、m m3 3、m mkmkm（P Pkmkm）、P Px x、m mx x 2021/6/476部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
