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1、定积分的概念和基本性质定积分的概念和基本性质6.1 定积分的概念第2页 例例: 求曲线求曲线 y= =x2、直线、直线 x= =1和和 x轴轴所围成的曲边三角形的面积所围成的曲边三角形的面积。x yOy= =x214.3.1 引出定积分定义的例题引出定积分定义的例题26.1 定积分的概念第3页6.1 定积分的概念第4页6.1 定积分的概念第5页6.1 定积分的概念第6页6.1 定积分的概念第7页6.1 定积分的概念第8页6.1 定积分的概念第9页分分 割割求求 和和近似替代近似替代取极限取极限把整体的问题分成局部的问题把整体的问题分成局部的问题在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”或以或以“不变
2、代变不变代变”求出局部的近似值；求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；得到整体量的精确值；实例二实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程：求物体作变速直线运动所经过的路程实例一实例一：求曲边梯形的面积：求曲边梯形的面积96.1 定积分的概念第10页4.3.1定积分的定义定积分的定义定义定义 4.3.1:4.3.1:区间任意分成区间任意分成 n n 份份, ,分点依次为分点依次为将将在每一个小区间在每一个小区间xi-1 , xi上任取一点上任取一点ci, 作乘积作乘积无论区间的分法如何无论区间的分法如何, ci在在xi-1, xi上的取法如何上的取法如
3、何,如果如果当最大区间长度当最大区间长度106.1 定积分的概念第11页（续上页）在每一个小区间在每一个小区间xi-1 , xi上任取一点上任取一点ci, 作乘积作乘积无论区间的分法如何无论区间的分法如何, ci在在xi-1, xi上的取法如何上的取法如何,如果如果当最大区间长度当最大区间长度趋于零时和数趋于零时和数的极限存在的极限存在,那么我们就称函数那么我们就称函数f(x)在在区间区间a, b上上可积可积,并称这个极限并称这个极限I为函数为函数f(x)在区间在区间a, b上的上的定积分定积分,记为记为其中其中f(x)称为称为被积函数被积函数, ,x称为称为积分变量积分变量,a, b 称为称
4、为积分区间积分区间, ,a称为称为积分下限积分下限, ,b称为称为积分上限积分上限, ,和数和数称为称为积分和积分和. .116.1 定积分的概念第12页积分上限积分号积分下限积分变量定积分的定义式：定积分的定义式： a, b 称为积分区间被积函数定积分的相关名称：定积分的相关名称：f (x) dx 称为被积表达式.126.1 定积分的概念第13页注意注意: : 定积分与不定积分的区别定积分与不定积分的区别定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在a, b上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的
5、形式和积分区间a, b所确定的值.136.1 定积分的概念第14页 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为定积分的定义式：定积分的定义式：146.1 定积分的概念第15页规定规定: :156.1 定积分的概念第16页 y= =f (x) a bOx yS=166.1 定积分的概念第17页yxOabSy = f(x)176.1 定积分的概念第18页函数f(x)在区间a, b上的定积分表示为直线x=a, x=b, y=0所围成的几个曲边梯
6、形的面积代数和。S1S2S3ab186.1 定积分的概念第19页课本例题：例3：利用定积分几何意义验证：例4：在区间a, b上，若f(x)0, f(x)0, 利用定积分几何意义验证：196.1 定积分的概念第20页 性质性质1 1：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b内可积，则有206.1 定积分的概念第21页 性质性质2 2：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a, b上可积，则
7、 cf(x)在a, b上也可积（c为常数），且满足216.1 定积分的概念第22页 性质性质3 3：积分的可加性定理：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质设f(x)在a, b内可积，若acb, 则f(x)在a, c和c, b上可积；反之，若f(x)在a, c和c, b上可积，则f(x)在a, b内可积，且有226.1 定积分的概念第23页 性质性质4 4：积分的可加性定理：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则236.1 定积分的概念第24页 性质性质5 5：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本
8、性质设f(x)和g(x)在a, b上皆可积，且满足条件f(x) g(x)，则有246.1 定积分的概念第25页 性质性质6 6：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质256.1 定积分的概念第26页 性质性质7 7：4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质若函数f(x)在a, b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在a, b上可积，则266.1 定积分的概念第27页 性质性质8 8：定积分中值定理：定积分中值定理4.3.2 定积分的基本性质定积分的基本性质设f(x) 在区间a, b上连续，则在a, b内至少有一点 (a b), 使得下式成立：同时， 我们称下式为f(x)在a, b上的平均值平均值276.1 定积分的概念第28页课本例题：例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小28
