《高等数学(微积分)课件-§6.4定积分的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学(微积分)课件-§6.4定积分的应用.ppt（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.4定积分的应用定积分的应用n n一、平面图形的面积一、平面图形的面积n n二、立体的体积二、立体的体积n n三、经济应用三、经济应用1定积分引例的回顾定积分引例的回顾n n用定积分解决曲边梯形面积的步骤可概括为四步：用定积分解决曲边梯形面积的步骤可概括为四步：用定积分解决曲边梯形面积的步骤可概括为四步：用定积分解决曲边梯形面积的步骤可概括为四步： (1)(1)分割：将大曲边梯形分成分割：将大曲边梯形分成分割：将大曲边梯形分成分割：将大曲边梯形分成n n个小曲边梯形个小曲边梯形个小曲边梯形个小曲边梯形; ;( ( A Ai i为第为第为第为第i i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积个小曲边
2、梯形的面积个小曲边梯形的面积) )；(2)(2)取近似：取近似：取近似：取近似：(3)(3)求和：求和：求和：求和：(4)(4)取极限：取极限：取极限：取极限：n n提示：用提示：用提示：用提示：用 A A表示任一小区间表示任一小区间表示任一小区间表示任一小区间 x x, ,x x+ + x x 上窄曲边梯形面积上窄曲边梯形面积上窄曲边梯形面积上窄曲边梯形面积, ,则则则则A A= = A A, ,并取并取并取并取 A A f f( (x x) )dxdx= =dAdA, ,于是于是于是于是A A f f( (x x) )dxdxA A= =limlim f f( (x x) )dxdx面面面
3、面积积积积元元元元素素素素2元素法元素法(微元法微元法)思想思想n n一般说来，如果所求量一般说来，如果所求量U与与x的变化区间的变化区间a,b有关，且关于区间有关，且关于区间a,b具有可加性，在具有可加性，在a,b中的任意小区间中的任意小区间x,x+ x上找出上找出U的部分量的的部分量的近似值近似值dU=f(x)dx,那么那么n n求量求量U的这种方法叫做定积分的元素法。的这种方法叫做定积分的元素法。称为量称为量U的元素的元素(微元微元)。应用方向应用方向:平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长3应用元素法的前提应用元素法的前提n n所求量所求量U满足以下三
4、点：满足以下三点：n n(1)所求量所求量U与变量与变量x的变化区间的变化区间a,b有关；有关；n n(2)所求量所求量U对对a,b具有可加性；具有可加性；n n(3)微元微元dU=f(x)dx,4元素法一般步骤元素法一般步骤n n1. 根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间为积分变量，并确定它的变化区间a,b。n n2. 设想把区间设想把区间a,b分成个分成个n小区间小区间,取其中任取其中任一小区间并记为一小区间并记为x,x+dx,估计出所求量估计出所求量U相相应于这小区间的部分量应于这小区间的部分量 U的近似值。如果的近似值
5、。如果 U能近似地表示为能近似地表示为a,b上的一个连续函数在上的一个连续函数在x处处的值的值f(x)与与dx的乘积，就把的乘积，就把f(x)dx称为量称为量U的元的元素且记作素且记作dU,即即dU=f(x)dx 。n n3. 以所求量以所求量U的元素的元素f(x)dx为被积表达式，在为被积表达式，在区间区间a,b上作定积分，得上作定积分，得即为所求量的积分表达式即为所求量的积分表达式.5平面图形的面积平面图形的面积(关于关于x积分积分)n n平面图形面积问题可借助定积分平面图形面积问题可借助定积分几何意义几何意义或者或者用元素法思想进行求解。用元素法思想进行求解。n n直角坐标情形直角坐标情
6、形:面积元素面积元素面积元素面积元素: : dUdU=|=|f f( (x x)| )|dxdx曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积面积元素面积元素面积元素面积元素: : dUdU=|=|f f2 2( (x x)- )-f f1 1( (x x)| )|dxdx平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积6左右为曲边的图形面积计算左右为曲边的图形面积计算n n由左、右两条曲线由左、右两条曲线x= (y)、x= (y)及直线及直线y=c、y=d (其中其中cd)围成的图形的面积：围成的图形的面积：n n其面积的微元为：其面积的微元为：n n所求的面积为：所求的面
7、积为：这是以这是以y为积分变量的面积表达式为积分变量的面积表达式7例题与讲解例题与讲解(1条曲线条曲线)8例题与讲解例题与讲解(2条曲线条曲线)n n例：计算由两条抛物线例：计算由两条抛物线y2=x和和y=x2所围成的图所围成的图形的面积。形的面积。 n n解解两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量9平面图形的面积平面图形的面积(关于关于y积分积分)n n1:介绍关于介绍关于y轴积分的平面图形面积计算公式轴积分的平面图形面积计算公式n n2：重新做前面例题：重新做前面例题10例题与讲解例题与讲解*n n例：计算由曲线例：计算由
8、曲线y=x3-6x和和y=x2所围成的图形的所围成的图形的面积面积. n n解解两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积于是所求面积于是所求面积11例题与讲解例题与讲解(选择适当的方法选择适当的方法)n n例：计算由曲线例：计算由曲线y2=2x和和y=x-4直线所围成的图直线所围成的图形的面积形的面积. n n解解两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量12例题与讲解例题与讲解n n例例*：求摆线：求摆线 与x轴围成的图形的面积.一拱形一拱形n n解：解：13极坐标下平面图形面积计算极坐标下平面图形面积
9、计算*n n极坐标情形：极坐标情形：n n设由曲线设由曲线r= ( )及射线及射线 = 、 = 围成一曲边扇围成一曲边扇形形,求其面积。其中求其面积。其中 ( )在在 , 上连续上连续,且且 ( )00。面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积14例题与讲解例题与讲解n n例：求双纽线例：求双纽线 2=a2cos2 所围平面图形的面积所围平面图形的面积. n n解解由对称性知总面积由对称性知总面积由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍倍倍倍第一象限部分面积第一象限部分面积第一象限部分面积第一象限部分面积15例题与讲解例题与讲解n n例：求心形线例：求心形线r=a(1+cos ) (其中
10、其中a0)所围平所围平面图形的面积。面图形的面积。n n解解利用对称性知利用对称性知16平行截面面积已知的立体体积平行截面面积已知的立体体积n n如果一个立体不是旋转体如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积垂直于一定轴的各个截面面积,那么那么,这个立体这个立体的体积也可用定积分来计算。的体积也可用定积分来计算。立体体积立体体积17例题讲解例题讲解(圆锥体积圆锥体积)18例题与讲解例题与讲解*n n例：设有一底圆半径例：设有一底圆半径R的圆柱的圆柱,被一与圆柱面被一与圆柱面交成角交成角 且过底圆直径的平面所截且过底圆直径的平面所截,求截下的楔求截下的楔
11、形体积形体积。立体中过点立体中过点立体中过点立体中过点x x且垂直于且垂直于且垂直于且垂直于x x轴的截面是直角三角形。轴的截面是直角三角形。轴的截面是直角三角形。轴的截面是直角三角形。n n解取如图所示的坐标系，则解取如图所示的坐标系，则底圆方程为底圆方程为其面积为其面积为其面积为其面积为楔形体体积为楔形体体积为楔形体体积为楔形体体积为19旋转体的体积旋转体的体积n n旋转体是由某平面内一个图形旋转体是由某平面内一个图形绕平面内的一条直线旋转一周绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体而成的立体,这条定直线称为这条定直线称为旋转体的轴。旋转体的轴。取取x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为
12、 a,b过点过点x的且的且垂直于轴的截面面积为垂直于轴的截面面积为n n绕绕x轴旋转的旋转体体积为轴旋转的旋转体体积为:或或n n设旋转体表面是由曲线段设旋转体表面是由曲线段y=f(x), x a,b绕绕x轴旋转一周而成轴旋转一周而成,现计算其体积现计算其体积(容积容积)。20绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积n n由连续曲线段由连续曲线段x= (y),y c,d绕绕y轴旋轴旋转而成的旋体如右图：转而成的旋体如右图：n n绕绕y轴旋转的旋转体轴旋转的旋转体的体积为的体积为:或或21例题与讲解例题与讲解n n例：求由椭圆例：求由椭圆旋转椭球体的体积旋转椭球体的体积n n解解 旋转椭球体可
13、看作由上半椭圆旋转椭球体可看作由上半椭圆绕绕x轴旋转。轴旋转。所围成所围成的的图形绕图形绕x轴旋转而成的轴旋转而成的22例题与讲解例题与讲解n n例：求由例：求由y=x2,x=y2所围成的图形绕所围成的图形绕y轴旋转而轴旋转而成的体积。成的体积。n n解：解：23经济应用举例之一经济应用举例之一n n已知总产量的变化率求总产量已知总产量的变化率求总产量已知某产品总产量已知某产品总产量Q的变化率是时间的变化率是时间t的函的函数数f(t),且时刻且时刻t0的产量的产量Q0,即即Q(t)=f(t), Q0=Q(t0) .则则n n产品的总产量函数可表示为产品的总产量函数可表示为注：通常假设注：通常假
14、设t0=0时，时，Q0=0即即Q(t0)=0。24例题与讲解例题与讲解n n例：某产品总产量变化率为例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2 (吨吨/小时小时),求求总产量函数总产量函数Q(t);从从t0=4到到t1=8这段时间内的总产量这段时间内的总产量 Q。n n解：解：=572.8(=572.8(吨吨吨吨) )25经济应用举例之二经济应用举例之二n n已知边际函数求总量函数已知边际函数求总量函数已知边际函数求总量函数已知边际函数求总量函数n n例：已知生产某产品例：已知生产某产品例：已知生产某产品例：已知生产某产品x x( (百台百台百台百台) )的边际成本、收益函
15、数的边际成本、收益函数的边际成本、收益函数的边际成本、收益函数分别为分别为分别为分别为MC=3+MC=3+x x/3(/3(万元万元万元万元/ /百台百台百台百台),MR=7),MR=7- - - -x x ( (万元万元万元万元/ /百台百台百台百台), ),并知固定成本为并知固定成本为并知固定成本为并知固定成本为C(0)=1(C(0)=1(万元万元万元万元). ).求求求求总收益、总成本总收益、总成本总收益、总成本总收益、总成本函数函数函数函数; ;产量从产量从产量从产量从1 1百台增加到百台增加到百台增加到百台增加到5 5百台时的总利润增加额百台时的总利润增加额百台时的总利润增加额百台时
16、的总利润增加额 L L。n n解：解：解：解：答：答：答：答：26小结小结n n1. 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积。面积。（注意恰当的注意恰当的注意恰当的注意恰当的选择积分变量选择积分变量选择积分变量选择积分变量有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）有助于简化积分运算）n n2. 旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕绕 轴旋转一周轴旋转一周绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周*n n3. 经济应用经济应用: 已知变化率求总函数值。已知变化率求总函数值。27练习练习 解答解答 解答解答 解答解答 解答解答 解答解答 解答解答 解答解答 28练习解答练习解答 1(1)解解返回习题返回习题29练习解答练习解答 1(2)解解返回习题返回习题30练习解答练习解答 2(1)解解返回习题返回习题31练习解答练习解答 2(2)解解32练习解答练习解答 3解解返回习题返回习题33练习解答练习解答 4解解返回习题返回习题34练习解答练习解答 5解解返回习题返回习题35
