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1、二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.自由项为自由项为二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一、 型设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地例例1 1解解特征方程特征方程特征根特征根对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为求通解求通解解解特征
2、方程特征方程特征根特征根齐通解齐通解即即代入（代入（*）式）式非齐通解为非齐通解为例例2 分别是分别是 的实部和虚部的实部和虚部可设可设辅助方程辅助方程由分解定理由分解定理分别是以分别是以 为自由项的非齐次线为自由项的非齐次线性微分方程的特解性微分方程的特解注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程例例3 3解解 对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为（取虚部）（取虚部）原方程通解为原方程通解为这种方法称为复数法这种方法称为复数法例例4 4解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方
3、程代入辅助方程代入辅助方程所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为（取实部）（取实部）原方程通解为原方程通解为注意注意例例5 5解解对应齐方程通解对应齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为原方程通解为例例6 求通解求通解解解 相应齐方程相应齐方程特征方程特征方程齐通解齐通解先求先求 的特解的特解设设代入方程代入方程再求再求 的特解的特解考虑辅助方程考虑辅助方程可设可设代入方程得代入方程得取实部得取实部得原方程的特解原方程的特解所求通解为所求通解为例例7 设设具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数且满足且满足求求 u 的表达式的表达式解解记记 则则同理同理这是一
4、个二阶常系数非齐次线性微分方程这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程解得解得 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离钉子钉子8米，另一端离钉子米，另一端离钉子12米，若不计摩米，若不计摩擦力，求此链条滑过钉子所需的时间擦力，求此链条滑过钉子所需的时间下段重为下段重为解解 设时刻设时刻 t 链条下落了链条下落了 x 米米另设链条单位长重为另设链条单位长重为则上段重为则上段重为由由Newton第二定律第二定律例例8 特征方程特征方程特征根特征根齐通解齐通解特解特解故故代入初始条件代入初始条件解得解得三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）练练 习习 题题练习题答案练习题答案
