北航有限元分析与应用第三讲

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1、有限元分析及应用有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application有限元分析及应用有限元分析及应用 Finite Element Analysis and Application平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法第三章第三章 平面问题的有限单元法平面问题的有限单元法3-13-1、有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤3-23-2、平面问题的常应变平面问题的常应变( (三角形三角形) )单元单元3-33-3、单元刚度矩阵单元刚度矩阵3-43-4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质3-53-5、平面问题的矩形单元平面问

2、题的矩形单元3-63-6、六节点三角形单元、六节点三角形单元3-73-7、单元载荷移置、单元载荷移置3-83-8、整体分析、整体分析3-93-9、整体刚度矩阵的形成、整体刚度矩阵的形成3-103-10、支承条件的处理、支承条件的处理3-113-11、整体刚度矩阵的特点、整体刚度矩阵的特点3-1 有限单元法的计算步骤有限单元法的计算步骤弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模、所分析问题的数学建模 2、离散化、离散化 3、单元、单元分析分析 4、整体分析与求解、整体分析与求解 5、结果分析、结果分析图 3-13-2 平

3、面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是而最常用的单元是三角形单元三角形单元。因平面问题的变形主。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处

4、用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如图该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如图3-13-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元 1 1、位移函数、位移函数如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化

5、情况很难用一个简单函数来描绘。内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。 对于平面问题，单元位移函数

6、可以用多项式表示，对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元 三结点三角形单元三结点三角形单元六六个个节节点点位位移移只只能能确确定定六六个个多多项项式式的的系系数数，所所以以平平面面问问题题的的3 3节节点点三三角角形单元的位移函数如下，形单元的位移函数如下，该该位位移移函函数数，将将单单元元内内部部任任一一点点的的位位移移设设定定为为坐坐标标的

7、的线线性性函函数数，该该位位移移模模式式很很简简单单。其其中中 为为广广义义坐坐标标或或待待定定系系数数，可可据据节节点点i i、j j、m m的位移值和坐标值求出。的位移值和坐标值求出。位移函数写成矩阵形式为：位移函数写成矩阵形式为：3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元最终确定六个待定系数最终确定六个待定系数其中为为2A2A第第1 1行行各各个个元元素素的的代数余子式，代数余子式，3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元令令 （下标（下标i i，j j，m m轮换）轮换）简写为简写为II是单位矩阵，是单位矩阵， NN称为形称为形函数函数矩阵

8、，矩阵，N Ni i只只与与单单元元节节点点坐坐标标有有关关，称称为为单元的形状函数单元的形状函数3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元据弹性力学几何方程得据弹性力学几何方程得 单元的应单元的应变分量变分量由于三节点三角形单元的位移函数由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）为线性变化，应变为常量）3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元 2 2、形函数

9、的特点及性质、形函数的特点及性质1)1)形函数形函数NiNi为为x x、y y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。2)2)形函数形函数NiNi在在i i节点处的值等于节点处的值等于1 1，而在其他节点上的值为，而在其他节点上的值为0 0。即即3)3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于单元内任一点的三个形函数之和恒等于1 1。4)4)形函数的值在形函数的值在0101间变化。间变化。3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元 3 3、收敛性分析、收敛性分析 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐选择单元位移函数时，应当

10、保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：的位移模式应当满足下列条件：(1)(1)位移函数必须含单元常量应变。前已说明位移函数必须含单元常量应变。前已说明(2)(2)单单元元必必须须能能反反映映单单元元的的刚刚体体位位移移（即即单单元元应应变变为为0 0时时的的位位移移）。前前面面位位移函数改写为（注意：移函数改写为（注意： 为为0 0 ）(3)(3)则单元刚体位移为则单元刚体位移为 显然，位移函数包含了单元的刚体位移（平动和转动）3-2 平面问题的常应

11、变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元(3)(3)位位移移函函数数在在单单元元内内部部必必须须连连续续位位移移。因为线性函数，内部连续因为线性函数，内部连续 (4)(4)位位移移函函数数必必须须保保证证相相邻邻单单元元在在公公共共边边界界处处的的位位移移协协调调（即即在在公公共共边边界界上上位位移移值值相同）。如右图相同）。如右图 设设公公共共边边界界直直线线方方程程为为y=y=Ax+BAx+B，代代入入位位移函数可得：边界上位移为移函数可得：边界上位移为显显然然，u,vu,v仍仍为为线线性性函函数数，即即公公共共边边界界上上位移连续协调。位移连续协调。综综上上所所述述，常常应应变变三三角

12、角形形单单元元的的位位移移函函数数满满足足解解的的收收敛敛性性条条件件，称称此此单单元元为为协协调调单单元元y=Ax+B 边界不协调产生裂缝边界不协调产生重迭3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元 例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵NN。3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元 由三角形的面积由三角形的面积3-2 平面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元4 4、应力、应变矩阵、应力、应变矩阵将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：3-2 平

13、面问题的常应变平面问题的常应变(三角形三角形)单元单元应力矩阵应力矩阵由平面问题物理方程得：由平面问题物理方程得：应变矩阵应变矩阵BB反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系应力矩阵应力矩阵SS反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系显然，常应变三角形单元的应变矩阵显然，常应变三角形单元的应变矩阵BB为常量矩阵，说明在为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。处，应变及应力不连续，有突变。3-3

14、 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位移表示节点力的表达式。位移表示节点力的表达式。 由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。应力在虚应变上作的虚应变功。 yiFixmF xjF xiF ymFy jFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjys*xy*y*xgeexytxs(a)结点力、内部

15、应力(b)虚位移、虚应变3-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为： 任意虚设位移，任意虚设位移，节节点位移与内部应变为点位移与内部应变为3-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为3-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dxdx和和dydy，厚度为厚度为t t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。图示微小矩形的实际应力和虚设变形。3-3 单元刚

16、度矩阵单元刚度矩阵 微小矩形的内力虚功为微小矩形的内力虚功为 整个弹性体的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为3-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 根据虚功原理，得根据虚功原理，得 这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。的平衡方程。 虚应变可以由节点虚位移求出：虚应变可以由节点虚位移求出： 代入虚功方程代入虚功方程3-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 接上式，将应力用节点位移表示出接上式，将应力用节点位移表示出 有有 令令实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为 则则 建立了单元的节点力与节点位移之间

17、的关系，建立了单元的节点力与节点位移之间的关系， 称为称为单元刚度矩阵。它是单元刚度矩阵。它是6*66*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。坐标轴的平行移动而改变。3-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 由于由于DD中元素是常量，而在线性位移模式下，中元素是常量，而在线性位移模式下， BB中的元中的元素也是常量，且素也是常量，

18、且 因此因此 可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。度矩阵。3-3 常应变三角形单元的刚度矩阵常应变三角形单元的刚度矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵 可记为分块矩可记为分块矩阵形式阵形式将应变矩阵将应变矩阵BB的分块阵代入单元的分块阵代入单元刚度矩阵，可得其子块计算式：刚度矩阵，可得其子块计算式：对于常应变三角形单元，考虑平对于常应变三角形单元，考虑平面应力问题弹性矩阵面应力问题弹性矩阵DD，可得，可得3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 上述推导单元刚度矩阵的过程可归纳为上述推导单元刚度矩阵的过

19、程可归纳为单元刚阵单元刚阵KK的的物理意义物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。是单元受节点力作用后抗变形的能力。其元素其元素 的意义为：当第的意义为：当第j j个自由度发生单位位移，而其他个自由度发生单位位移，而其他自由度的位移为自由度的位移为0 0时，在第时，在第i i个自由度上所施加的力。若按节点个自由度上所施加的力。若按节点来说明，则刚阵中每个子块来说明，则刚阵中每个子块 表示：当节点表示：当节点j j处发生单位位处发生单位位移，而其他节点固定时，在节点移，而其他节点固定时，在节点i i上所施加的力。上所施加的力。s tABT tA BD BKTe=ede eF D B BDS =

20、(6)(6)(3)(3)(3)(3)(6(63)3)(3(33)3)(3(36)6)(3(36)6)(6(66)6)3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 节点力和节点位移的关系：节点力和节点位移的关系：( (以简单平面桁架为例以简单平面桁架为例) ) 平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与在节点载荷的作用下，节点对单元、单元对节点都有作用力与反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。反作用力存在，大小相等方向相反，统称为节点力。节点力和节点位移

21、的关系前面已经求出：节点力和节点位移的关系前面已经求出：3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 将将 写成分块矩阵写成分块矩阵 写成普通方程写成普通方程 其中其中 表示节点表示节点S(S=i,j,m)S(S=i,j,m)产生单位位移时，在产生单位位移时，在节节点点r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上所需要施加的上所需要施加的节节点力的大小。点力的大小。3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 将节点力列矩阵将节点力列矩阵 与节点位移

22、列矩阵与节点位移列矩阵 均展开成均展开成(6*1)(6*1)阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成阶列矩阵，单元刚度矩阵相应地展开成(6*6)(6*6)阶方阵：阶方阵： 元素元素K K的脚码，标有的脚码，标有“-”“-”的表示水平方向，没有标的表示水平方向，没有标“-”“-”的表示垂直方向。的表示垂直方向。3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质 单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。单元刚度矩阵的每一个元素都有明显的物理意义。 表示节点表示节点S(S=i,j,m)S(S=i,j,m)在水平方向、垂直方向在水平方向

23、、垂直方向产生单位位移时，在产生单位位移时，在节节点点r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上分别所要施加的水平上分别所要施加的水平节节点力和垂直点力和垂直节节点力的大小。例如点力的大小。例如 表示表示节节点点j j在垂直方向产在垂直方向产生单位位移时，在生单位位移时，在节节点点i i所需要施加的水平所需要施加的水平节节点力的大小。点力的大小。3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质1 1）单元刚度矩阵是对称阵，）单元刚度矩阵是对称阵，( (只要证明只要证明 ) )2 2）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素）单元刚阵主对角线元素恒为正值；因为主对角元素

24、表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。表示力的方向和位移方向一致，故功总为正值。3 3）单元刚阵是奇异阵，即）单元刚阵是奇异阵，即|K|=0|K|=0，这是因为计算单元刚阵，这是因为计算单元刚阵时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，时没有对单元的节点加以约束，虽然，单元处于平衡状态，但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能但容许单元产生刚体位移，故从单元刚度平衡方程不可能得到唯一位移解得到唯一位移解 ，只能得到唯一的节点，只能得到唯一的节点力解。力解。4 4）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行）单元刚阵所有奇数行的对应元素之和为零，所有偶数行的对应元素

25、之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的的对应元素之和也为零。由此可见，单元刚阵各列元素的总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。总和为零。由对称性可知，各行元素的总和也为零。3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质例题：求下图所示单元的刚例题：求下图所示单元的刚度矩阵，设度矩阵，设1 1、求、求BB2 2、求求 DD3 3、求求 SS4 4、求求 3-4 单元刚度矩阵的物理意义及其性质单元刚度矩阵的物理意义及其性质几点说明：几点说明：1 1）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的，即）单元刚度方程是满足节点力平衡条件而建立的，即有限元方程是一组节点力平衡方

26、程组。有限元方程是一组节点力平衡方程组。2 2）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即微分）单元内任一点位置的平衡条件往往不满足，即微分平衡方程可能不满足。对于非线性单元，位移函数常平衡方程可能不满足。对于非线性单元，位移函数常不满足以位移为未知量的平衡方程，对线性单元，因不满足以位移为未知量的平衡方程，对线性单元，因位移函数为线性的，应变、应力为常量，可以满足单位移函数为线性的，应变、应力为常量，可以满足单元内平衡。元内平衡。3 3）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单元的）单元之间的平衡条件一般得不到满足，线性单元的应力为常量，单元间应力有突变，明显不满足平衡条应力为常量，单元间应力

27、有突变，明显不满足平衡条件件3-5 平面问题的矩形单元平面问题的矩形单元矩形单元是平面问题常用的一矩形单元是平面问题常用的一种单元，尤其是边界比较规种单元，尤其是边界比较规则的平面结构，如图则的平面结构，如图2a*2b的的4节点节点8自由度矩形单元。自由度矩形单元。1、位移函数、位移函数取无量纲坐标，得矩阵表示取无量纲坐标，得矩阵表示利用节点位移，可待定系数利用节点位移，可待定系数xyi(1,-1)j(1,1)l(-1,1)m(-1,-1)3-5 平面问题的矩形单元平面问题的矩形单元代入系数至位移函数，并整理成代入系数至位移函数，并整理成位移插值函数位移插值函数Ni为形函数，仍具有前述的形函为

28、形函数，仍具有前述的形函数的基本性质数的基本性质记为矩阵形式，记为矩阵形式，I为单位矩阵为单位矩阵可以证明该位移函数满足收敛性可以证明该位移函数满足收敛性条件，单元为协调元条件，单元为协调元3-5 平面问题的矩形单元平面问题的矩形单元应变矩阵应变矩阵应变矩阵应变矩阵B的元素是的元素是x，y的函数，所以，矩形单元中的应变不是常的函数，所以，矩形单元中的应变不是常量，而是随量，而是随x或或y线性变化的，显然，应力也是随线性变化的，显然，应力也是随x或或y线性变化的。较线性变化的。较常应变单元有更高的计算精度常应变单元有更高的计算精度3-5 矩形单元的刚度矩阵矩形单元的刚度矩阵将刚阵记为分块形式将刚

29、阵记为分块形式其子块的计算为其子块的计算为（虽然该计算式是从三角形推导（虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，适用于所的，但它是一般格式，适用于所有单元）有单元）3-6 六节点三角形单元六节点三角形单元1、面积坐标、面积坐标称为称为p点的面积坐标，显然三个面积坐点的面积坐标，显然三个面积坐标不完全独立，有如下关系标不完全独立，有如下关系 实际为三角形实际为三角形 的高与的高与 高的比，高的比，即平行即平行jm线的直线上的所有点有相同的线的直线上的所有点有相同的 。同时，易得。同时，易得 ijmp3-6 六节点三角形单元六节点三角形单元将三角形顶点将三角形顶点ijm坐坐标与标与p点坐标代

30、入面点坐标代入面积坐标，则得面积坐积坐标，则得面积坐标与直角坐标标与直角坐标xoy的的关系式关系式比较比较 与常应变三与常应变三角形的形函数角形的形函数 可可知，两者相同知，两者相同3-6 六节点三角形单元六节点三角形单元如图六节点如图六节点12自由度三角形自由度三角形单元单元位移函数：单元内任意一点位移函数：单元内任意一点的位移位移函数用的位移位移函数用6个节点个节点位移与相应的形函数来表位移与相应的形函数来表示示i(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1(1/2,1/2,0)2(0,1/2,/2)3(1/2,0,1/2)3-6 六节点三角形单元六节点三角形单元应变矩阵应变矩阵从上可

31、知：位移为面积坐标从上可知：位移为面积坐标或直角坐标的二次函数，应或直角坐标的二次函数，应变或应力为面积坐标或直角变或应力为面积坐标或直角坐标的一次式，即在单元内坐标的一次式，即在单元内位移为二次变化，应变或应位移为二次变化，应变或应力为线性变化力为线性变化3-6 六节点三角形单元六节点三角形单元将刚阵记为分块形式将刚阵记为分块形式其子块的计算为其子块的计算为（虽然该计算式是从三角形（虽然该计算式是从三角形推导的，但它是一般格式，推导的，但它是一般格式，适用于所有单元）适用于所有单元）3-7 单元载荷移置单元载荷移置 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，连续弹性体离散为单元组合体时，

32、为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置( (分解分解) )，而成为节点载荷。如果弹性体承受的载荷全都是集中力，而成为节点载荷。如果弹性体承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就不存在移置的问题，则将所有集中力的作用点取为节点，就不存在移置的问题，集中力就是节点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和集中力就是节点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷移体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向置。如果集中力的作用点未

33、被取为节点，该集中力也要向节点移置。节点移置。 将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静将载荷移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。合静力等效原则。3-7 单元载荷移置单元载荷移置载荷移置的原则：能量等效，即单元的实际载荷与移载荷移置的原则：能量等效，即单元的实际载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等载荷移置的条件：

34、圣维南原理载荷移置的条件：圣维南原理载荷移置的方法：载荷移置的方法： 1 1）直接法（静力等效法，虚功移置法）直接法（静力等效法，虚功移置法） 2 2）普遍公式法）普遍公式法0.5ql0.5ql0.5ql0.5qlMM静力等效静力等效3-7 单元载荷移置单元载荷移置 虚功移置：虚功移置：在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算得节点载荷。即可以通过简单的虚功计算得节点载荷。即移置前后虚功相移置前后虚功相等等。如均质等厚度的三角形单元所受的重力，把如均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/31/3的重力移到每个节点，即的重力移到每个节点，

35、即 yjcbxiwlmmyiYjYyjcbxiwlmmxiXjX1/33-7 单元载荷移置单元载荷移置 例：例：总载荷的总载荷的2/32/3移置到节点移置到节点i i，1/31/3移置到节点移置到节点j j，与原载荷同向与原载荷同向yxmjip=0.5qLiX =2/3pjX =1/3pjL =2/3LiL =1/3LyxmjiqL3-7 单元载荷移置单元载荷移置 普遍公式法普遍公式法集中力的移置集中力的移置体力的移置体力的移置分布面力的移置分布面力的移置在线性位移模式下，用在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线直接计算法简单；非线性模式下，要用普遍公性模式下，要用普遍公式计算。式计算。3-

36、8 整体分析整体分析 图示结构的网格共有四图示结构的网格共有四个单元和六个节点。在节个单元和六个节点。在节点点1 1、4 4、6 6共有四个支杆支共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移承。结构的载荷已经转移为结点载荷。为结点载荷。 整体分析的四个步骤：整体分析的四个步骤：1 1、建立整体刚度矩阵；建立整体刚度矩阵；2 2、根据支承条件修改整体、根据支承条件修改整体刚度矩阵；刚度矩阵；3 3、解方程组，求节点位移；、解方程组，求节点位移；4 4、根据节点位移求出应力。、根据节点位移求出应力。 单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析

37、。合成结构，进行整体分析。3-8 整体分析整体分析 1 1、建立整体刚度矩阵、建立整体刚度矩阵( (也叫作结构刚度矩阵也叫作结构刚度矩阵) ) 上图中的结构有六个节点，共有上图中的结构有六个节点，共有1212个节点位移分量和个节点位移分量和1212个个节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，节点力分量。由结构的节点位移向量求结构的节点力向量时，转换关系为：转换关系为： 分块形式为：分块形式为： 其中子向量其中子向量 和和 都是二阶向量，子矩阵都是二阶向量，子矩阵 是是二行二列矩阵。整体刚度矩阵二行二列矩阵。整体刚度矩阵KK是是12*12*1212阶矩阵。阶矩阵。3-8 整体分析整

38、体分析 2 2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。、根据支承条件修改整体刚度矩阵。 建立整体刚度矩阵时，每个建立整体刚度矩阵时，每个节节点的位移当作未知量看待，没有点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。处理。 在上图的在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结构中，支承条件共有四个，即在节节点点1 1、4 4、6 6的四个的四个支杆处相应位移已知为零：支杆处相应位移已知为零： 建立建立节节点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。 3 3、解方程组

39、，求出节点位移。、解方程组，求出节点位移。 通常采用消元法和迭代法两种方法。通常采用消元法和迭代法两种方法。 4 4、根据节点位移求出应力。、根据节点位移求出应力。3-9 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 是单元刚度矩阵是单元刚度矩阵 的集成。的集成。 1 1、刚度集成法的物理概念：、刚度集成法的物理概念： 刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。刚度矩阵中的元素，即由节点作单位位移时引起的节点力。在单元刚阵在单元刚阵 中，中， 表示表示j j节点单位位移，其他节点位移为节点单位位移，其他节点位移为零时，零时，单元单元e e在在i i节点引起的节点力节

40、点引起的节点力；类似，在整体刚阵中，；类似，在整体刚阵中， 表示表示j j节点单位位移，其他节点位移为零时，节点单位位移，其他节点位移为零时，整体结构在整体结构在i i节点节点引起的节点力引起的节点力（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与（由于结构已被离散为一系列单元，即所有与i i、j j节点相关的单元在节点相关的单元在i i节点引起的节点力之和）。节点引起的节点力之和）。 如上图结构，计算如上图结构，计算 时，与节点时，与节点2 2和和3 3相关的单元有单元相关的单元有单元和和，当节点，当节点3 3发生单位位移时，相关单元发生单位位移时，相关单元和和同时在节点同时在节点2 2引起节点力，

41、将相关单元在节点引起节点力，将相关单元在节点2 2的节点力相加，就得出结构的节点力相加，就得出结构在节点在节点2 2的节点力的节点力 。由此看出，结构的刚度。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。相关单元的对应子块的集成。3-9 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式2 2、刚度矩阵的集成规则：、刚度矩阵的集成规则：1 1）在整体离散结构变形后，应保）在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该连接，即在该节点

42、处所有单元在该节点上有相同位移，节点上有相同位移，2 2）整体离散结构各节点应满足平）整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有单衡条件。即环绕每个节点的所有单元作用其上的节点力之和应等于作元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷用于该节点上的节点载荷RiRi， 12i 3412i Ri343-9 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式2 2、整体刚度矩阵的集成方法、整体刚度矩阵的集成方法具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵具体集成方法是：先对每个单元求出单元刚度矩阵 ，然后将其中的每个子块，然后将其中的每个子块 送到结构刚度矩阵中送到结构刚度矩阵中的对应位置上去

43、，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵KK的子块，从而得出结构刚度矩阵的子块，从而得出结构刚度矩阵KK。关键是如何找出关键是如何找出 中的子块在中的子块在KK中的对应位置。中的对应位置。这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之这需要了解单元中的节点编码与结构中的节点编码之间的对应关系。间的对应关系。3-9 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 结构中的节点编码称为结构中的节点编码称为节点的总码，各个单元的三节点的总码，各个单元的三个节点又按逆时针方向编为个节点又按逆时针方向编为i,j,m,i,j,m,称为节点的局部码。称为节点的局部码。 单元刚度矩

44、阵中的子块单元刚度矩阵中的子块是按节点的局部码排列的，是按节点的局部码排列的，而结构刚度矩阵中的子块是而结构刚度矩阵中的子块是按节点的总码排列的。因此，按节点的总码排列的。因此，在单元刚度矩阵中，把节点在单元刚度矩阵中，把节点的局部码换成总码，并把其的局部码换成总码，并把其中的子块按照总码次序重新中的子块按照总码次序重新排列。排列。3-9 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式 以单元以单元为例，局部码为例，局部码i,j,mi,j,m对应于总码对应于总码5,2,45,2,4，因此，因此 子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 为：为： 而相应的单元刚度而相应的单

45、元刚度方程为（或节点力表达方程为（或节点力表达式）：式）：3-9 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式用同样的方法可得出其他单用同样的方法可得出其他单元的扩大的单元刚度方程元的扩大的单元刚度方程: :据节点力平衡，各个单元相据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加：应节点力叠加：整理可得，整体平衡方程：整理可得，整体平衡方程：3-9 整体刚度矩阵的形式整体刚度矩阵的形式整体平衡方程：整体平衡方程： 1 1）其中）其中KK为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩为将各单元的扩大矩阵迭加所得出的结构刚度矩阵：阵：集成包含搬家和迭加两个环节：集成包含搬家和迭加两个环节： A A、将单元刚度矩阵、将单元

46、刚度矩阵 中的子块搬家，得出单元的扩中的子块搬家，得出单元的扩大刚度矩阵大刚度矩阵 。 B B、将各单元的扩大刚度矩阵、将各单元的扩大刚度矩阵 迭加，得出结构刚度迭加，得出结构刚度矩阵矩阵KK。2 2） 为节点载荷向量，为节点载荷向量， 为节点位移向量。为节点位移向量。3-10 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在在有限元法中，整体刚度矩阵的阶数通常是很高的，在解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体解算时常遇到矩阵阶数高和存贮容量有限的矛盾。找到整体刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。刚度矩阵的特性达到节省存贮容量的途径。 1

47、1、对称性。、对称性。 只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。只存贮矩阵的上三角部分，节省近一半的存贮容量。 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。3-10 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 2 2、稀疏性。、稀疏性。 矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。矩阵的绝大多数元素都是零，非零元素只占一小部分。 节点节点5 5只与周围的六个节点只与周围的六个节点(2(2、3 3、4 4、6 6、8 8、9)9)用三角形用三角形单元相连，它们是单元相连，它们是5 5的相关节的相关节点。只有当这七

48、个相关节点产点。只有当这七个相关节点产生位移时，才使该节点产生节生位移时，才使该节点产生节点力，其余节点发生位移时并点力，其余节点发生位移时并不在该节点处引起节点力。因不在该节点处引起节点力。因此，在矩阵此，在矩阵KK中，第中，第5 5行的非行的非零子块只有七个零子块只有七个( (即与相关节即与相关节点对应的七个子块点对应的七个子块) )。3-10 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 2 2、稀疏性。、稀疏性。 一般，一个节点的相关结一般，一个节点的相关结点不会超过九个，如果网格中点不会超过九个，如果网格中有有200200个节点，则一行中非零个节点，则一行中非零子块的个数与该行的子块总数子块

49、的个数与该行的子块总数相比不大于相比不大于9/2009/200，即在，即在5%5%以以下，如果网格的节点个数越多，下，如果网格的节点个数越多，则刚度矩阵的稀疏性就越突出。则刚度矩阵的稀疏性就越突出。 利用矩阵利用矩阵KK的稀疏性，的稀疏性，可设法只存贮非零元素，从而可设法只存贮非零元素，从而可大量地节省存贮容量。可大量地节省存贮容量。3-10 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 3 3、带形分布规律。、带形分布规律。 上图中，矩阵上图中，矩阵KK的非零元素分布在以对角线为中心的非零元素分布在以对角线为中心的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中的带形区域内，称为带形矩阵。在半个带形区域中

50、( (包括对角包括对角线元素在内线元素在内) )，每行具有的元素个数叫做半带宽，用，每行具有的元素个数叫做半带宽，用d d表示。表示。半带宽的一般计算公式是：半带宽的一般计算公式是： 半带宽半带宽 d = ( d = ( 相邻结点码的最大差值相邻结点码的最大差值 + 1 ) * 2+ 1 ) * 2 上图中相邻节点码的最大差值为上图中相邻节点码的最大差值为4 4，故，故d=(4+1)*2=10d=(4+1)*2=10 利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的利用带形矩阵的特点并利用对称性，可只存贮上半带的元素，叫半带存贮。元素，叫半带存贮。 3-10 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特

51、点 图图(a)(a)中的矩阵中的矩阵KK为为n n行行n n列矩阵，半带宽为列矩阵，半带宽为d d。半带存贮半带存贮时从时从KK中取出上半带元素，按图中取出上半带元素，按图(b)(b)中的矩阵中的矩阵 的排列方的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*dn*d，存贮量存贮量与与KK中元素总数之比为中元素总数之比为d/nd/n，d d值越小，则存贮量约省。值越小，则存贮量约省。矩阵矩阵K K 矩阵矩阵 对角线对角线 第第1 1列列 r r行行 r r行行 r r列列 4545度斜线度斜线r r行行s s列列 r r行行s-r+1s-r+1列元

52、素列元素 元素元素3-10 整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵的特点 同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带同一网格中，如果采用不同的节点编码，则相应的半带宽宽d d也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节也可能不同。如图，是同一网格的三种节点编码，相邻节点码的最大差值分别为点码的最大差值分别为4 4、6 6、8 8，半带宽分别为，半带宽分别为1010、1414、1818。因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带因此，应当采用合理的节点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。宽，从而节省存贮容量。3-11 支承条件的处理支承条件的处理无约束结构的整体刚阵是

53、奇异的，即整体平衡方程无约束结构的整体刚阵是奇异的，即整体平衡方程 的解不唯一，所以，必须引入几何的解不唯一，所以，必须引入几何约束，才能求得唯一解。位移约束常分为：约束，才能求得唯一解。位移约束常分为：节点固节点固定和给定节点位移定和给定节点位移两种约束。由于引入位移约束条两种约束。由于引入位移约束条件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行，即此时件通常在整体刚阵及节点载荷形成后进行，即此时KK、RR中的元素均已按一定顺序分别储存于相应中的元素均已按一定顺序分别储存于相应的数组，故的数组，故引入位移约束时，要求尽量不要打乱引入位移约束时，要求尽量不要打乱KK、RR的储存顺序的储存顺序。引入约束的

54、方法常有：引入约束的方法常有：1 1）降阶法）降阶法2 2）对角元素置）对角元素置1 1法法3 3）对角元素乘大数法）对角元素乘大数法3-11 支承条件的处理支承条件的处理1 1）降阶法：此法将打乱）降阶法：此法将打乱KRKR的的储存顺序，仅用于方法说明。储存顺序，仅用于方法说明。设节点位移中，设节点位移中， 未知，未知， 已知，整体方程记为分块阵形式：已知，整体方程记为分块阵形式：展开分块阵第一行，整理得：展开分块阵第一行，整理得：显然方程可解，当显然方程可解，当 ，则方，则方程简化为：程简化为：相当于将原方程中位移为相当于将原方程中位移为0 0的行和的行和列划去得到的线性方程组。列划去得到

55、的线性方程组。3-11 支承条件的处理支承条件的处理2 2）对角元素置）对角元素置1 1法法设边界条件为：设边界条件为：整体方程记为：整体方程记为：为了不改变为了不改变KK列数，列数，将第将第i i列的元素乘以已列的元素乘以已知位移移到等号右，而知位移移到等号右，而第第i i列位置补列位置补0 0；同时，；同时，为了不改变为了不改变KK的行数，的行数，使其体现约束条件，将使其体现约束条件，将第第i i行对角元素置行对角元素置1 1，其，其他元素置他元素置0 0。如右：。如右：3-11 支承条件的处理支承条件的处理 图示结构中，节点图示结构中，节点1 1有水平约束，节点有水平约束，节点4 4有两

56、个方向约束，有两个方向约束，节点节点6 6有竖向约束。对支承条件处理后，整体刚度矩阵修改为：有竖向约束。对支承条件处理后，整体刚度矩阵修改为：3-11 支承条件的处理支承条件的处理3 3）对角元素乘大数法）对角元素乘大数法将第将第i i行主对角元素乘一行主对角元素乘一个大数，相应载荷分量个大数，相应载荷分量改为改为 ，其余元素，其余元素不变。如右：不变。如右：原因为：展开第原因为：展开第i i行有：行有：两边同除大数得：两边同除大数得：近似有：近似有：3-12 应力计算应力计算整体方程在经过边界条件处理整体方程在经过边界条件处理后，可选用适当的线性方程组后，可选用适当的线性方程组求解方法求得各个节点的位移求解方法求得各个节点的位移值值 ，而单元内任意一点应，而单元内任意一点应力的计算可利用单元的位移函力的计算可利用单元的位移函数和弹性矩阵求得：数和弹性矩阵求得：但是，对于单元公共节点上的但是，对于单元公共节点上的应力，由于据不同单元求得的应力，由于据不同单元求得的结果是不同的，必须进行处理，结果是不同的，必须进行处理，常用方法有：常用方法有：1 1）绕点平均法）绕点平均法2 2）单位面积加权平均法）单位面积加权平均法3 3）精确计算法）精确计算法