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1、高 等 数 学吉林大学数学学院 杨 泰 山1第一章第一章 预备知识预备知识第二章第二章 极限与连续函数极限与连续函数 第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 空间解析几何空间解析几何主要内容主要内容2 第一章第一章 预备知识预备知识 1 实实 数数 集集2 函数函数3 常用逻辑符号简介常用逻辑符号简介31 实实 数数 集集 一、集合的概念与表示一、集合的概念与表示二、集合的基本运算二、集合的基本运算三、常见的几类实数集三、常见的几类实数集四四、实数的完备性与确界公里实数
2、的完备性与确界公里4一、集合的概念与表示一、集合的概念与表示1. 集合集合(set)的概念的概念 具有某种特定性质的事物或对象的总体具有某种特定性质的事物或对象的总体称为称为集合集合. . 组成这个集合的事物或对象称为集合的组成这个集合的事物或对象称为集合的元素元素. . 实例实例 一间教室里的学生构成一个集合一间教室里的学生构成一个集合; ;一个书柜里的书构成一个集合一个书柜里的书构成一个集合; ;全体实数构成一个集合全体实数构成一个集合. .5 如果集合中只有有限多个元素如果集合中只有有限多个元素, , 则称为则称为有有限集限集, , 不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集，空集
3、，记为记为；既不是有限集又不是空集的集合称为既不是有限集又不是空集的集合称为无限集无限集. .62. .集合的常用表示法集合的常用表示法(1) 列举法列举法: : 即把集合的全体元素一一列举即把集合的全体元素一一列举. .(2) 描述法描述法: : 若集合若集合M是由具有某种性质是由具有某种性质P的元素的全体所组成的元素的全体所组成, , 写出其特性写出其特性. .73 3 数集间的关系数集间的关系子集的定义子集的定义: :89二、集合的基本运算二、集合的基本运算1. 集合的并集合的并、交交、差差1011集合的并、交、补运算满足下列法则集合的并、交、补运算满足下列法则. .(1) 交换律交换律
4、: :(2) 结合律结合律: :12(3) 结合律结合律: :(4) 对偶律对偶律: :13 标上标上“+”+”表示该数集内排除表示该数集内排除0与负数的集与负数的集. .1.1.数集的习惯表示法数集的习惯表示法自然数集自然数集正整数集正整数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集正实数集正实数集三、常见的几类实数集三、常见的几类实数集142.2.直积直积( (笛卡儿乘积笛卡儿乘积) )的定义的定义 153. 3. 区间的定义区间的定义16类似地可定义半开区间类似地可定义半开区间: :有限区间有限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离( (线段的长度线段的长度)
5、)称为区间的长度称为区间的长度. .17无限区间无限区间 在数轴上，负半轴方向上的无穷远点记为在数轴上，负半轴方向上的无穷远点记为，读作负无穷大或负无穷；，读作负无穷大或负无穷；正半轴方向上正半轴方向上的无穷远点记为的无穷远点记为+ + ，读作正无穷大或正无穷，读作正无穷大或正无穷. . 与与 + + 都不是具体的数都不是具体的数. .184.4.邻域的定义邻域的定义19去心邻域的定义去心邻域的定义:20四四.实数的完备性与确界公里实数的完备性与确界公里 任何一个实数都对应数轴上唯一的一个点，任何一个实数都对应数轴上唯一的一个点，反之，数轴上任何一个点都有唯一的一个实反之，数轴上任何一个点都有
6、唯一的一个实数与之对应，因此实数与数轴上的点是一一数与之对应，因此实数与数轴上的点是一一对应的对应的. .实数集实数集R中的数就像数轴上的点一样，中的数就像数轴上的点一样，按照大小顺序排列，是连续不断地按照大小顺序排列，是连续不断地. .实数集的实数集的这个性质称为实数的这个性质称为实数的完备性完备性. .任意两个有理数任意两个有理数之间都有无理数，任意两个无理数之间都有之间都有无理数，任意两个无理数之间都有无理数，任意两个无理数之间都有有理数无理数，任意两个无理数之间都有有理数. . 下面我们引进有界集与确界的概念下面我们引进有界集与确界的概念. .21 定义定义1 1 设设E是是R的一个非空子集，如果存在的一个非空子集，如果存在常数常数l(或或L)，使得对一切，使得对一切x E都有都有 l x或或x L，则称数集则称数集E有下界有下界(或或有上界有上界)，常数，常数l(或或L)称为数集称为数集E的一个的一个下界下界(或或上界上界)，否则称，否则称 数集数集 E无下界无下界或（或（无上界无上界）. 如果数集如果数集E既既 有下界又有上界，则称有下界又有上界，则称E有界有界，否则称，否则称E无界无界 22232425
