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1、二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程特点特点未知函数及其各阶导数都是一次幂未知函数及其各阶导数都是一次幂高阶线性微分方程高阶线性微分方程本节只讨论二阶线性微分方程本节只讨论二阶线性微分方程所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形所得概念和结论很容易推广到高阶方程的情形一、线性微分方程的解的结构一、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :问题问题: :例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关例如例如特别地特别地:2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶
2、非齐次线性方程的解的结构: :非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解非齐线性方程的任何两个解之差是相应齐方程的解解的叠加原理解的叠加原理的特解的特解则则即即特解的实部是实部方程的特解特解的实部是实部方程的特解特解的虚部是虚部方程的特解特解的虚部是虚部方程的特解定理定理5二、降阶法与常数变易法二、降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法代入代入(1)式式, 得得则有则有的一阶方程的一阶方程 降阶法降阶法解得解得Liouville公式公式齐次方程通解为齐次方程通解为2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设
3、对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为设设(4)(5)(4),(5)联立方程联立方程组组积分可得积分可得非齐次方程通解为非齐次方程通解为例例解解对应齐方程一特解为对应齐方程一特解为由刘维尔公式由刘维尔公式对应齐方通解为对应齐方通解为设原方程的通解为设原方程的通解为解得解得原方程的通解为原方程的通解为补充内容补充内容可观察出可观察出一个特解一个特解特解特解 y = 1 特解特解 y = xm 三、小结三、小结主要内容主要内容线性方程解的结构；线性方程解的结构；线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；降阶法与常数变易法；降阶法与常数变易法；练练 习习 题题 练习题答案练习题答案
