《北师大版数学必修二课件：2.2.3.1直线与圆的位置关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修二课件：2.2.3.1直线与圆的位置关系（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系问题引航引航1.1.平面几何中学平面几何中学过的直的直线与与圆的位置关系的位置关系有几种？有几种？2.2.如何判断直如何判断直线与与圆的位置关系？的位置关系？直直线与与圆的位置关系及判断的位置关系及判断直直线Ax+By+C=0(AAx+By+C=0(A2 2+B+B2 20)0)，圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(r0)(r0)(1)(1)直直线与与圆有三种位置关系：有三种位置关系：直直线与与圆_，有两个公共点，有两个公共点. .直直线与
2、与圆_，有一个公共点，有一个公共点. .直直线与与圆_，没有公共点，没有公共点. .相交相交相切相切相离相离(2)(2)判断直判断直线与与圆的位置关系的两种方法：的位置关系的两种方法：几何法：利用几何法：利用圆心到直心到直线的距离的距离d d与半径与半径r r的大小判断：的大小判断：_相交，相交，_相切，相切，_相离相离. .代数法：代数法：联立直立直线与与圆的方程，消元的方程，消元转化化为一元二次方程，一元二次方程，利用判利用判别式式“”进行判断：行判断：_相交，相交，_相切，相切，_相离相离. .drdrdr00=0=0001.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”，错误的打的打“”)
3、 )(1)(1)过一点作一点作圆的切的切线有一条有一条.(.() )(2)(2)如果一条直如果一条直线被被圆截得的弦截得的弦长最大，最大，则该直直线过圆心心.(.() )(3)(3)直直线ax+y=1ax+y=1与与圆x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1的位置关系与的位置关系与a a有关有关.(.() )【解析解析】(1)(1)错误，当点在圆上时，切线有一条；当点在圆外错误，当点在圆上时，切线有一条；当点在圆外时，切线有两条，当点在圆内时，无切线时，切线有两条，当点在圆内时，无切线. .(2)(2)正确正确. .直线被圆截，所得最长弦为直径直线被圆截，所得最长弦为直径. .(3)
4、(3)错误错误. .直线直线ax+y=1ax+y=1过定点过定点(0(0，1)1)，即直线一定过圆心，所以，即直线一定过圆心，所以直线一定与圆相交，与直线一定与圆相交，与a a的值无关的值无关. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)(1)直直线x+y=1x+y=1与与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1的位置关系是的位置关系是_._.(2)(2)圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2与直与直线x+y=1x+y=1相切，相切，则r r的取的取值是是_._.(3)(3)
5、直直线l：x+y=ax+y=a过原点，原点，则l与与圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=2=2的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】(1)(1)圆心为圆心为(1(1，1)1)，半径为，半径为1 1，圆心到直线，圆心到直线x+y=1x+y=1的距的距离为离为 所以直线与圆相交所以直线与圆相交. .答案：答案：相交相交(2)(2)因为圆与直线相切，因为圆与直线相切，所以圆心所以圆心(0(0，0)0)到到x+y=1x+y=1的距离的距离d=|r|d=|r|，所以所以 所以所以 所以所以r r的取值是的取值是 答案：答案：(3)(3)因为因为x+y=ax+y=a过原点，所以过原点，所以a
6、=0a=0，所以直线方程为所以直线方程为x+y=0x+y=0，圆心圆心(1(1，0)0)到直线到直线x+y=0x+y=0的距离为的距离为 所以直线与圆相交所以直线与圆相交. .答案：答案：相交相交【要点探究要点探究】知知识点点1 1 直直线与与圆的位置关系的位置关系对直直线与与圆的位置关系的两点的位置关系的两点说明明(1)(1)直直线与与圆的位置关系可以按照由的位置关系可以按照由远及近的及近的顺序序记忆：相离相离( (没有公共点没有公共点)相切相切( (只有一个公共点只有一个公共点)相交相交( (两个公共两个公共点点).).(2)(2)直线与圆的位置关系用图形可以表示为直线与圆的位置关系用图形
7、可以表示为【微思考微思考】(1)(1)直直线与与圆会不会有两个以上的交点？会不会有两个以上的交点？提示：提示：不会，直线与圆最多有两个交点不会，直线与圆最多有两个交点. .(2)(2)直直线如果如果过圆内一点，也内一点，也过圆外一点，是否直外一点，是否直线与与圆一定一定有交点？有交点？提示：提示：一定有一定有. .因为直线与圆在同一平面内且过圆内一点，所因为直线与圆在同一平面内且过圆内一点，所以直线与圆一定有交点以直线与圆一定有交点. .【即时练即时练】1.1.如果如果圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=a=a2 2与两坐与两坐标轴恰有两个交点，那么恰有两个交点，那么a
8、 a的的取取值为_._.2.2.圆x x2 2+2x+y+2x+y2 2=0=0与直与直线y=x+by=x+b没有交点，没有交点，则b b的取的取值范范围是是_._.【解析解析】1.1.因为因为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=a=a2 2与两坐标轴恰有两个交点，与两坐标轴恰有两个交点，所以圆与坐标轴相切，所以所以圆与坐标轴相切，所以|a|=1|a|=1，a=a=1.1.答案：答案：1 12.2.圆圆x x2 2+2x+y+2x+y2 2=0=0可化为可化为(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1，圆心为圆心为(-1(-1，0)0)，半径，半径r=1.r=1.如
9、图当直线如图当直线y=x+by=x+b与圆相切时，两条直线分别交与圆相切时，两条直线分别交x x轴于点轴于点A A，B B，则则A( -1A( -1，0)0)，B(-1- B(-1- ，0)0)，所以直线与圆没有公共点时，所以直线与圆没有公共点时，b- +1b +1.b +1.答案：答案：(-(-，- +1)( +1- +1)( +1，+)+)知知识点点2 2 圆的切的切线1.1.切切线条数条数已知一点求切已知一点求切线时，先明确切，先明确切线的条数的条数. .当已知点是当已知点是圆上一点上一点时，切，切线有一条有一条. .当已知点是当已知点是圆外一点外一点时，切，切线有两条有两条. .当已知
10、点是当已知点是圆内一点内一点时，不存在切，不存在切线. .2.2.切线方程求法切线方程求法求切线方程有两种方法：一是代数法，通过令一元二次方程判求切线方程有两种方法：一是代数法，通过令一元二次方程判别式等于零求解；别式等于零求解；二是几何法，利用圆心到直线的距离等于半径求解二是几何法，利用圆心到直线的距离等于半径求解. .【微思考微思考】(1)(1)当直当直线与与圆相切相切时，圆心心O O到直到直线l的距离的距离d d，与半径，与半径r r有什么有什么数量关系？数量关系？提示：提示：d=r.d=r.(2)(2)设切切线长为|PQ|(Q|PQ|(Q为切点切点) )，P P到到圆心的距离心的距离为
11、|PO|PO|，圆的的半径半径为r r，则三者之三者之间有怎有怎样的数量关系？的数量关系？提示：提示：|PO|PO|2 2=|PQ|=|PQ|2 2+r+r2 2. .【即时练即时练】1.1.圆(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=1=1与直与直线x=ax=a相切，相切，则a=_.a=_.2.2.过点点(1(1，1)1)的的圆x x2 2+y+y2 2=1=1的切的切线方程方程为_._.【解析解析】1.1.由题意知由题意知|2-a|=1|2-a|=1，a=1a=1或或a=3.a=3.答案：答案：1 1，3 32.2.由图知切线方程为由图知切线方程为x=1x=1，y=1.y=1.答案：答案：
12、x=1x=1，y=1y=1【题型示范型示范】类型一型一 直直线与与圆的位置关系的位置关系问题【典例典例1 1】 (1)(1)直直线x+y+1=0x+y+1=0与与圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=2=2的位置关系是的位置关系是( () )A.A.相交相交 B.B.相离相离 C.C.相切相切 D.D.不能确定不能确定(2)(2)已知已知圆的方程是的方程是x x2 2+y+y2 2=1=1，直，直线y=x+b.y=x+b.当当b b为何何值时，圆与直与直线只有一个公共点；只有一个公共点；圆与直与直线有两个公共点；有两个公共点；圆与直与直线没有公共点没有公共点. .【解题探究解题探究】1.
13、1.题题(1)(1)中圆心坐标和半径分别是多少？圆心到直线的距离用中圆心坐标和半径分别是多少？圆心到直线的距离用什么公式求解？什么公式求解？2.2.在题在题(2)(2)中，圆与直线有两个公共点，需满足什么条件？中，圆与直线有两个公共点，需满足什么条件？【探究提示探究提示】1.1.根据圆的方程可知圆心坐标为根据圆的方程可知圆心坐标为(1(1，0)0)，半径，半径为为 ，圆心到直线的距离用点到直线的距离公式，圆心到直线的距离用点到直线的距离公式 求解求解. .2.2.直线与圆有两个公共点，直线与圆需相交即圆心到直线的距直线与圆有两个公共点，直线与圆需相交即圆心到直线的距离小于半径，或联立直线和圆的
14、方程，得到关于离小于半径，或联立直线和圆的方程，得到关于x x的一元二次的一元二次方程，其判别式大于方程，其判别式大于0.0.【自主解答自主解答】(1)(1)选选C.C.圆圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=2=2的圆心为的圆心为(1(1，0)0)，半径，半径为为 ，所以圆心所以圆心(1(1，0)0)到直线的距离为到直线的距离为 所以直线与圆相切，故选所以直线与圆相切，故选C.C.(2)(2)方法一：圆方法一：圆x x2 2+y+y2 2=1=1的圆心的圆心(0(0，0)0)到直线到直线l：y=x+by=x+b的距离的距离d= d= ，圆的半径为，圆的半径为r=1.r=1.当当d= =
15、1d= =1，即，即b=b= 时，直线与圆相切，此时直线与圆时，直线与圆相切，此时直线与圆只有一个公共点只有一个公共点. .当当d= 1d= 1，即，即- b - b1d= 1，即，即b- b b 时，直线与圆相离，此时直时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点线与圆没有公共点. .方法二：联立直线和圆的方程组成方程组：方法二：联立直线和圆的方程组成方程组：整理可得整理可得2x2x2 2+2bx+b+2bx+b2 2-1=0-1=0，其中，其中=4(2-b=4(2-b2 2).).当当=0=0，即，即b=b= 时，直线和圆相切，此时直线和圆只有时，直线和圆相切，此时直线和圆只有一个公共点一个公
16、共点. .当当00，即，即- b - b 时，直线和圆相交，此时直线和圆有时，直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点两个公共点. .当当00，即，即b- b b 时，直线和圆相离，此时直线和时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点圆没有公共点. .【方法技巧方法技巧】直线与圆位置关系的两种判断方法比较直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则利若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则利用几何法较简单用几何法较简单. .(2)(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则
17、用代数法较简单杂，则用代数法较简单. .【变式式训练】(2014(2014西城区高一西城区高一检测) )在同一坐在同一坐标系下，直系下，直线ax+by=abax+by=ab和和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2(ab0(ab0，r0)r0)的的图象可能象可能是是( () )【解析解析】选选D.D.直线直线ax+by=abax+by=ab在在x x轴，轴，y y轴上的截距分别为轴上的截距分别为b b和和a a，圆心横坐标为圆心横坐标为a a，纵坐标为，纵坐标为b.b.在在A A中，由直线位置可得中，由直线位置可得b0b0b0，这不可，这不可能，故能，故A A
18、不正确不正确. .在在B B中，由直线位置可得中，由直线位置可得a0a0，而由圆的位置可得，而由圆的位置可得a0a0a0，而由圆的位置可得，而由圆的位置可得a0a0a0，b0b0a0，b0brdr，因此，圆与，因此，圆与ABAB相离相离. .(2)(2)当当r=2.4cmr=2.4cm时，有时，有d=rd=r，因此，圆与，因此，圆与ABAB相切相切. .(3)(3)当当r=3cmr=3cm时，有时，有drd0m0，所以，所以m=2.m=2.(2)(2)方法一：设直线的方程为方法一：设直线的方程为y=x+my=x+m，即即x-y+m=0.x-y+m=0.圆圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)
19、+(y-3)2 2=8=8的圆心坐标为的圆心坐标为(2(2，3)3)，半径为半径为2 .2 .由由 得得m=5m=5或或m=-3.m=-3.所以直线方程为所以直线方程为y=x+5y=x+5或或y=x-3.y=x-3.方法二：设直线的方程为方法二：设直线的方程为y=x+my=x+m，与圆的方程联立得方程组，与圆的方程联立得方程组消去消去y y得得2x2x2 2+(2m-10)x+m+(2m-10)x+m2 2-6m+5=0-6m+5=0，由直线与圆相切，由直线与圆相切，=(2m-10)=(2m-10)2 2-8(m-8(m2 2-6m+5)=0-6m+5)=0，即即m m2 2-2m-15=0-
20、2m-15=0，解得解得m=5m=5或或m=-3m=-3，所以直线的方程为所以直线的方程为y=x+5y=x+5或或y=x-3.y=x-3.答案：答案：y=x+5y=x+5或或y=x-3y=x-3(3)(3)由于由于(2-1)(2-1)2 2+(4+3)+(4+3)2 2=501=501，故点，故点M M在圆外在圆外. .当切线斜率存在时，设切线方程是当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=k(x-2)y-4=k(x-2)，即，即kx-y+4-2k=0kx-y+4-2k=0，由于直线与圆相切，由于直线与圆相切，故故 解得解得k= k= ，所以切线方程为所以切线方程为24x-7y-20=0.24x-
21、7y-20=0.又当切线斜率不存在时，直线又当切线斜率不存在时，直线x=2x=2与圆相切与圆相切. .综上所述，所求切线方程为综上所述，所求切线方程为24x-7y-20=024x-7y-20=0或或x=2.x=2.【延伸探究延伸探究】题(3)(3)中，若所中，若所给点点M M的坐的坐标是是(1(1，-4)-4)，求切，求切线方程方程. .【解析解析】由于由于(1-1)(1-1)2 2+(-4+3)+(-4+3)2 2=1=1，故点，故点(1(1，-4)-4)在圆上，又圆心在圆上，又圆心为为(1(1，-3)-3)，所以切线斜率为所以切线斜率为0 0，所以切线方程为所以切线方程为y=-4y=-4，
22、即即y+4=0.y+4=0.【方法技巧方法技巧】圆的切线的求法圆的切线的求法(1)(1)点在圆上时：点在圆上时：求过圆上一点求过圆上一点(x(x0 0，y y0 0) )的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率的斜率k k，再由垂直关系得切线的斜率为，再由垂直关系得切线的斜率为- - ，由点斜式可得切，由点斜式可得切线方程线方程. .如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在，则由图形如果切点与圆心连线的斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为可直接得切线方程为x=xx=x0 0或或y=yy=y0 0. .(2)(2)点在圆外时：点在圆外时：几何法：设切线方程为
23、几何法：设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0).).由圆心到直线的距离等由圆心到直线的距离等于半径，可求得于半径，可求得k k，也就得切线方程，也就得切线方程. .代数法：设切线方程为代数法：设切线方程为y-yy-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0) )，与圆的方程联立，消，与圆的方程联立，消去去y y后得到关于后得到关于x x的一元二次方程，由的一元二次方程，由=0=0求出求出k k，可得切线方，可得切线方程程. .还应注意切线斜率不存在的情况还应注意切线斜率不存在的情况. .【变式式训练】(2013(2013天津高考天津高考) )已知已知过点点P(2P(2，2)
24、2)的直的直线与与圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=5=5相切，且与直相切，且与直线ax-y+1=0ax-y+1=0垂直，垂直，则a=(a=() )A.- B.1 A.- B.1 C.2 C.2 D. D.【解题指南解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求线垂直求a a的值的值. .【解析解析】选选C.C.因为点因为点P(2P(2，2)2)为圆为圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=5=5上的点，由圆的上的点，由圆的切线性质可知，圆心切线性质可知，圆心(1(1，0)0)与点与点P(2P(2，2)2)的连线与过点的连线
25、与过点P(2P(2，2)2)的切线垂直的切线垂直. .因为圆心因为圆心(1(1，0)0)与点与点P(2P(2，2)2)的连线的斜率的连线的斜率k=2k=2，故过点故过点P(2P(2，2)2)的切线斜率为的切线斜率为- - ，所以直线，所以直线ax-y+1=0ax-y+1=0的斜率为的斜率为2 2，因此，因此a=2.a=2.【补偿训练】已知已知圆(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1，求，求该圆与在与在x x轴和和y y轴的的截距相等的切截距相等的切线l的方程的方程. .【解析解析】由题意设切线由题意设切线l与与x x轴和轴和y y轴的截距均为轴的截距均为a a，当当a
26、0a0时，设时，设l的方程为的方程为 即即x+y-a=0x+y-a=0，因为直线，因为直线l和圆相切，所以圆心和圆相切，所以圆心(2(2，3)3)到直线到直线l的距离等于圆的半径长，故的距离等于圆的半径长，故 解得解得a=5+ a=5+ 或或a=5- .a=5- .所以切线所以切线l的方程为的方程为x+y-x+y-(5+ )=0(5+ )=0或或x+y-(5- )=0x+y-(5- )=0，当当a=0a=0时，设时，设l的方程为的方程为y=kxy=kx，即，即kx-y=0kx-y=0，所以所以 解得解得所以切线所以切线l的方程为的方程为(6+2 )x-3y=0(6+2 )x-3y=0或或(6-
27、2 )x-3y=0.(6-2 )x-3y=0.综上所述，切线综上所述，切线l的方程为的方程为x+y-(5+ )=0x+y-(5+ )=0或或x+y-(5- )=0x+y-(5- )=0或或(6+2 )x-3y=0(6+2 )x-3y=0或或(6-2 )x-3y=0.(6-2 )x-3y=0.【规范解答规范解答】直线与圆的位置关系的综合问题直线与圆的位置关系的综合问题【典例典例】(12(12分分)(2014)(2014南京高一南京高一检测) )在平面直角坐在平面直角坐标系系xOyxOy中，已知中，已知圆x x2 2+y+y2 2=4=4上有且上有且仅有四个点到直有四个点到直线12x-5y+c=0
28、12x-5y+c=0的距离的距离为1 1，求，求实数数c c的取的取值范范围. .【审题审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：处不能将问题正确转化，导致问题无法求解处不能将问题正确转化，导致问题无法求解. .失分点失分点2 2：点到直线的距离公式应用不准确，不能得出：点到直线的距离公式应用不准确，不能得出处不处不等式等式. .失分点失分点3 3：不能正确解出不等式的解，导致：不能正确解出不等式的解，导致处解的结果出错处解的结果出错. .【悟题悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.注重数形结合思想
29、的应用注重数形结合思想的应用在解决直线与圆的问题时，利用数形结合和平面几何的性质，在解决直线与圆的问题时，利用数形结合和平面几何的性质，可使问题简便易求可使问题简便易求. .如本例将圆上四个点到直线的距离问题转如本例将圆上四个点到直线的距离问题转化成圆心到直线的距离问题，明确了思路，简化了运算化成圆心到直线的距离问题，明确了思路，简化了运算. .2.2.关注解题条件的分析与转化关注解题条件的分析与转化解答本题的突破口在于圆上恰有三个点到直线距离等于解答本题的突破口在于圆上恰有三个点到直线距离等于1 1的位的位置的确定，此时圆心到直线的距离也为置的确定，此时圆心到直线的距离也为1 1，结合图形分
30、析可知，结合图形分析可知所求问题可转化为圆心到直线的距离小于所求问题可转化为圆心到直线的距离小于1 1，所以找准问题突，所以找准问题突破口，使问题转化是解题的关键破口，使问题转化是解题的关键. .【类题试解解】若直若直线y=x+by=x+b与曲与曲线 恰有一个公共点，恰有一个公共点，求求实数数b b的取的取值范范围. .【解析解析】由题意由题意 可化为可化为x x2 2+y+y2 2=4(x0).=4(x0).它表示一个半圆，如图所示它表示一个半圆，如图所示. .直线直线l1 1的方程为的方程为y=x+2y=x+2，直线，直线l2 2的方程为的方程为y=x-2y=x-2，因为直线因为直线l3 3与半圆相切，与半圆相切，所以所以 =2=2，且，且b0b0，解得，解得b=-2 .b=-2 .所以直线所以直线l3 3的方程为的方程为y=x-2 y=x-2 ，由图可知，位于由图可知，位于l1 1和和l2 2之间的直线之间的直线( (含含l1 1，不含，不含l2 2) )都与半圆都与半圆只有一个公共点，且只有一个公共点，且l3 3与半圆相切，所以实数与半圆相切，所以实数b b的取值范围的取值范围为为-2b2-2b2或或b=-2 .b=-2 .
