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1、第三章 微积分问题的计算机求解微积分问题的解析解微积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解函数的级数展开与级数求和问题求解数值微分数值微分数值积分问题数值积分问题曲线积分与曲面积分的计算曲线积分与曲面积分的计算3.1 微积分问题的解析解 3.1.1 极限问题的解析解单变量函数的极限格式1： L= limit( fun, x, x0)格式2： L= limit( fun, x, x0, left 或 right)例: 试求解极限问题 syms x a b; f=x*(1+a/x)x*sin(b/x); L=limit(f,x,inf) L = exp(a)*b例:求解单边极限问题 sym
2、s x; limit(exp(x3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x),x,0,right) ans =12在(-0.1,0.1)区间绘制出函数曲线： x=-0.1:0.001:0.1; y=(exp(x.3)-1)./(1-cos(sqrt(x-sin(x);Warning: Divide by zero.(Type warning off MATLAB:divideByZero to suppress this warning.) plot(x,y,-,0,12,o)多变量函数的极限：格式： L1=limit(limit(f,x,x0),y,y0) 或 L1=limit(li
3、mit(f,y,y0), x,x0) 如果x0 或y0不是确定的值，而是另一个变量的函数，如x-g(y)，则上述的极限求取顺序不能交换。例：求出二元函数极限值 syms x y a; f=exp(-1/(y2+x2) *sin(x)2/x2*(1+1/y2)(x+a2*y2); L=limit(limit(f,x,1/sqrt(y),y,inf)L =exp(a2)3.1.2 函数导数的解析解函数的导数和高阶导数格式： y=diff(fun,x) %求导数 y= diff(fun,x,n) %求n阶导数例： 一阶导数： syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3); f1=diff(
4、f); pretty(f1) cos(x) sin(x) (2 x + 4) - - - 2 2 2 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3)原函数及一阶导数图： x1=0:.01:5; y=subs(f, x, x1); y1=subs(f1, x, x1); plot(x1,y,x1,y1,:)更高阶导数： tic, diff(f,x,100); tocelapsed_time = 4.6860原函数4阶导数 f4=diff(f,x,4); pretty(f4) 2 sin(x) cos(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) - + 4 - - 12 - 2
5、 2 2 2 3 x + 4 x + 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 3 sin(x) cos(x) (2 x + 4) cos(x) (2 x + 4) + 12 - - 24 - + 48 - 2 2 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) 4 2 sin(x) (2 x + 4) sin(x) (2 x + 4) sin(x) + 24 - - 72 - + 24 - 2 5 2 4 2 3 (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3) (x + 4 x + 3)多元函数的偏导：格式： f=
6、diff(diff(f,x,m),y,n) 或 f=diff(diff(f,y,n),x,m)例： 求其偏导数并用图表示。 syms x y z=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); zx=simple(diff(z,x)zx = -exp(-x2-y2-x*y)*(-2*x+2+2*x3+x2*y-4*x2-2*x*y) zy=diff(z,y)zy =(x2-2*x)*(-2*y-x)*exp(-x2-y2-x*y)直接绘制三维曲面 x,y=meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y
7、,z), axis(-3 3 -2 2 -0.7 1.5) contour(x,y,z,30), hold on % 绘制等值线 zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); % 偏导的数值解 quiver(x,y,zx,zy) % 绘制引力线例 syms x y z; f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2); df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df); pretty(df)
8、 2 2 2 2 2 -4 z exp(-x y - z ) (cos(x y) - 10 cos(x y) y x + 4 2 4 2 2 4 2 2sin(x y) x y+ 4 cos(x y) x y - sin(x y)多元函数的Jacobi矩阵:格式：J=jacobian(Y,X)其中，X是自变量构成的向量，Y是由各个函数构成的向量。例：试推导其 Jacobi 矩阵 syms r theta phi; x=r*sin(theta)*cos(phi); y=r*sin(theta)*sin(phi); z=r*cos(theta); J=jacobian(x; y; z,r thet
9、a phi) J = sin(theta)*cos(phi), r*cos(theta)*cos(phi), -r*sin(theta)*sin(phi) sin(theta)*sin(phi), r*cos(theta)*sin(phi), r*sin(theta)*cos(phi) cos(theta), -r*sin(theta), 0 隐函数的偏导数：格式：F=-diff(f,xj)/diff(f,xi)例： syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y) 3 2 2 -2 x + 2 +
10、 2 x + x y - 4 x - 2 x y - - x (x - 2) (2 y + x)3.1.3 积分问题的解析解不定积分的推导：格式： F=int(fun,x)例：用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 syms x; y=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=diff(y); y0=int(y1); pretty(y0) % 对导数积分 sin(x) sin(x) - 1/2 - + 1/2 - x + 3 x + 1对原函数求对原函数求4 4 阶导数，再对结果进行阶导数，再对结果进行4 4次积分次积分 y4=diff(y,4); y0=in
11、t(int(int(int(y4); pretty(simple(y0) sin(x) - 2 x + 4 x + 3例:证明 syms a x; f=simple(int(x3*cos(a*x)2,x)f = 1/16*(4*a3*x3*sin(2*a*x)+2*a4 *x4+6*a2*x2*cos(2*a*x)-6*a*x*sin(2*a*x)-3*cos(2*a*x)-3)/a4 f1=x4/8+(x3/(4*a)-3*x/(8*a3)*sin(2*a*x)+. (3*x2/(8*a2)-3/(16*a4)*cos(2*a*x); simple(f-f1) % 求两个结果的差ans =
12、-3/16/a4定积分与无穷积分计算:格式： I=int(f,x,a,b)格式： I=int(f,x,a,inf)例： syms x; I1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5) 无解I1 =1/2*erf(3/4*2(1/2)*2(1/2)*pi(1/2) vpa(I1,70) ans = I2=int(exp(-x2/2),x,0,inf) I2 =1/2*2(1/2)*pi(1/2) 多重积分问题的MATLAB求解例： syms x y z; f0=-4*z*exp(-x2*y-z2)*(cos(x2*y)-syms x y z; f0=-4*z*exp(-x2*y-z2)*(
13、cos(x2*y)-10*cos(x2*y)*y*x2+.10*cos(x2*y)*y*x2+. 4*sin(x2*y)*x4*y2+4*cos(x2*y)*x4*y2-sin(x2*y); 4*sin(x2*y)*x4*y2+4*cos(x2*y)*x4*y2-sin(x2*y); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); f1=int(f0,z);f1=int(f1,y);f1=int(f1,x); f1=simple(int(f1,x) f1=simple(int(f1,x)f1 =f1 = exp(-x2*y-z2)*sin(x2*y) exp(-
14、x2*y-z2)*sin(x2*y) f2=int(f0,z); f2=int(f2,x); f2=int(f2,x); f2=simple(int(f2,y)f2 =2*exp(-x2*y-z2)*tan(1/2*x2*y)/(1+tan(1/2*x2*y)2) simple(f1-f2)ans =0 顺序的改变使化简结果不同于原函数，但其误差为0，表明二者实际完全一致。这是由于积分顺序不同，得不出实际的最简形式。例： syms x y z int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,1),y,0,pi),z,0,pi)ans =(Ei(1,4*pi)+log(p
15、i)+eulergamma+2*log(2)*pi2*hypergeom(1,2,-pi2)Ei(n,z)为指数积分，无解析解，但可求其数值解： vpa(ans,60) ans = 3.2 函数的级数展开与 级数求和问题求解3.2.1 Taylor 幂级数展开3.2.2 Fourier 级数展开3.2.3 级数求和的计算3.2.1 Taylor 幂级数展开 3.2.1.1 单变量函数的 Taylor 幂级数展开例: syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3); y1=taylor(f,x,9); pretty(y1) 2 23 3 34 4 4087 5 3067 6 515273
16、 7 386459 8 1/3 x - 4/9 x + - x - - x + -x - - x +- x - - x 54 81 9720 7290 1224720 918540 taylor(f,x,9,2)ans = syms a; taylor(f,x,5,a) % 结果较冗长，显示从略ans =sin(a)/(a2+3+4*a) +(cos(a)-sin(a)/(a2+3+4*a)*(4+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a) +(-sin(a)/(a2+3+4*a)-1/2*sin(a)-(cos(a)*a2+3*cos(a)+4*cos(a)*a-4*sin(a)-2*sin
17、(a)*a)/(a2+3+4*a)2*(4+2*a)/(a2+3+4*a)*(x-a)2+例:对y=sinx进行Taylor幂级数展开,并观察不同阶次的近似效果。 x0=-2*pi:0.01:2*pi; y0=sin(x0); syms x; y=sin(x); plot(x0,y0,r-.), axis(-2*pi,2*pi,-1.5,1.5); hold on for n=8:2:16 p=taylor(y,x,n), y1=subs(p,x,x0); line(x0,y1) endp =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5
18、040*x7+1/362880*x9p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11p =x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9-1/39916800*x11+1/6227020800*x13 p =3.2.1.2 多变量函数的Taylor 幂级数展开多变量函数 在的Taylor幂级数的展开例：？ syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); F=maple(mtaylor,f,x,y,8)F = mtaylor(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y)
19、,x, y,8) maple(readlib(mtaylor);读库，把函数调入内存 F=maple(mtaylor,f,x,y,8) F =-2*x+x2+2*x3-x4-x5+1/2*x6+1/3*x7+2*y*x2+2*y2*x-y*x3-y2*x2-2*y*x4-3*y2*x3-2*y3*x2-y4*x+y*x5+3/2*y2*x4+y3*x3+1/2*y4*x2+y*x6+2*y2*x5+7/3*y3*x4+2*y4*x3+y5*x2+1/3*y6*x syms a; F=maple(mtaylor,f,x=1,y=a,3); F=maple(mtaylor,f,x=a,3)F =(
20、a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-1+2*a2+2*a*y+1/2*y2)+exp(-a2-y2-a*y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)*(x-a)23.2.2 Fourier 级数展开function A,B,F=fseries(f,x,n,a,b)if nargin=3, a=-pi; b=pi; endL=(b-a)/2; if a+b, f=subs(f,x
21、,x+L+a); end变量区域互换A=int(f,x,-L,L)/L; B=; F=A/2; %计算a0for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; A=A, an; B=B,bn; F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);endif a+b, F=subs(F,x,x-L-a); end 换回变量区域例: syms x; f=x*(x-pi)*(x-2*pi); A,B,F=fseries(f,x,6,0,2*pi)A = 0, 0, 0, 0,
22、 0, 0, 0 B = -12, 3/2, -4/9, 3/16, -12/125, 1/18 F =12*sin(x)+3/2*sin(2*x)+4/9*sin(3*x)+3/16*sin(4*x)+12/125*sin(5*x)+1/18*sin(6*x)例: syms x; f=abs(x)/x; % 定义方波信号 xx=-pi:pi/200:pi; xx=xx(xx=0); xx=sort(xx,-eps,eps); % 剔除零点 yy=subs(f,x,xx); plot(xx,yy,r-.), hold on % 绘制出理论值并保持坐标系 for n=2:20 a,b,f1=fs
23、eries(f,x,n), y1=subs(f1,x,xx); plot(xx,y1)enda = 0, 0, 0b = 4/pi, 0f1 =4/pi*sin(x)a = 0, 0, 0, 0 b = 4/pi, 0, 4/3/pif1 =4/pi*sin(x)+4/3/pi*sin(3*x)3.2.3 级数求和的计算是在符号工具箱中提供的例:计算 format long; sum(2.0:63) %数值计算ans = 1.844674407370955e+019 sum(sym(2).0:200) % 或 syms k; symsum(2k,0,200)把2定义为符号量可使计算更精确ans
24、 = syms k; symsum(2k,0,200)ans =例:试求解无穷级数的和 syms n; s=symsum(1/(3*n-2)*(3*n+1),n,1,inf)%采用符号运算工具箱s =1/3 m=1:10000000; s1=sum(1./(3*m-2).*(3*m+1);%数值计算方法,双精度有效位16,“大数吃小数”,无法精确 format long; s1 % 以长型方式显示得出的结果s1 = 0.33333332222165例:求解 syms n x s1=symsum(2/(2*n+1)*(2*x+1)(2*n+1),n, 0,inf); simple(s1) % 对
25、结果进行化简，MATLAB 6.5 及以前版本因本身 bug 化简很麻烦ans =log(2*x+1)2)(1/2)+1)/(2*x+1)2)(1/2)-1)%实际应为log(x+1)/x)例:求 syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)-log(n),n,inf)ans =eulergamma vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字ans = 3.3 数值微分 x-h x x+hBCAT f(x) 3.3.1 数值微分算法向前差商公式：向后差商公式两种中心公式：3.3.2 中心差分方法及其 MATLAB 实现 function dy,dx=diff_c
26、tr(y, Dt, n) yx1=y 0 0 0 0 0; yx2=0 y 0 0 0 0; yx3=0 0 y 0 0 0; yx4=0 0 0 y 0 0; yx5=0 0 0 0 y 0; yx6=0 0 0 0 0 y; switch n case 1 dy = (-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)- diff(yx4)/(12*Dt); L0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)- 15*diff(yx3) +diff(yx4)/(12*Dt2);L0=3; 数值计算diff(X)表示数组X相邻两数的差 case
27、 3 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+. 7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*Dt3); L0=5; case 4 dy = (-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28* diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*Dt4); L0=5; end dy=dy(L0+1:end-L0); dx=(1:length(dy)+L0-2-(n2)*Dt;调用格式： y为 等距实测数据， dy为得出的导数向量， dx为相应的自变量向量，dy、dx的数据比y
28、短 。例：求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的14 阶导数，并和解析解比较精度。 h=0.05; x=0:h:pi; syms x1; y=sin(x1)/(x12+4*x1+3);% 求各阶导数的解析解与对照数据 yy1=diff(y); f1=subs(yy1,x1,x); yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x); yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x); yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x); y=sin(x)./(x.2+4*x+3); % 生成已知数据点 y1,dx1=diff_ctr(y,h,1);
29、 subplot(221),plot(x,f1,dx1,y1,:); y2,dx2=diff_ctr(y,h,2); subplot(222),plot(x,f2,dx2,y2,:) y3,dx3=diff_ctr(y,h,3); subplot(223),plot(x,f3,dx3,y3,:); y4,dx4=diff_ctr(y,h,4); subplot(224),plot(x,f4,dx4,y4,:)求最大相对误差： norm(y4-f4(4:60)./f4(4:60)ans = 3.5025e-0043.3.3 用插值、拟合多项式的求导数基本思想：当已知函数在一些离散点上的函数值时，
30、该函数可用插值或拟合多项式来近似，然后对多项式进行微分求得导数。选取x=0附近的少量点进行多项式拟合或插值g(x)在x=0处的k阶导数为通过坐标变换用上述方法计算任意x点处的导数值令将g(x)写成z的表达式导数为可直接用 拟合节点 得到系数 d=polyfit(x-a,y,length(xd)-1) 例：数据集合如下： xd: 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000 yd: 0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053计算x=a=0.3处的各阶导数。 xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0
31、00; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; a=0.3;L=length(xd); d=polyfit(xd-a,yd,L-1);fact=1; for k=1:L-1;fact=factorial(k),fact;end deriv=d.*factderiv = 1.8750 -1.3750 1.0406 -0.9710 0.6533 0.6376建立用拟合（插值）多项式计算各阶导数的poly_drv.mfunction der=poly_drv(xd,yd,a)m=length(xd)-1;d=polyfit(xd-a,yd,m);c
32、=d(m:-1:1); 去掉常数项fact(1)=1;for i=2:m; fact(i)=i*fact(i-1);endder=c.*fact;例： xd= 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.000; yd=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; a=0.3; der=poly_drv(xd,yd,a)der = 0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.87503.3.4 二元函数的梯度计算格式： 若z矩阵是建立在等间距的形式生成的网格基础上，则实际梯度为例：计算梯度，绘制引力线图： x,y=
33、meshgrid(-3:.2:3,-2:.2:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.2; fy=fy/0.2; contour(x,y,z,30); hold on; quiver(x,y,fx,fy)%绘制等高线与引力线图绘制误差曲面: zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -
34、2 2 0,0.08) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.11)建立一个新图形窗口为减少误差，对网格加密一倍： x,y=meshgrid(-3:.1:3,-2:.1:2); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); fx,fy=gradient(z); fx=fx/0.1; fy=fy/0.1; zx=-exp(-x.2-y.2-x.*y).*(-2*x+2+2*x.3+x.2.*y-4*x.2-2*x.*y); zy=-x.*(x-2).*(2*y+x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); surf(
35、x,y,abs(fx-zx); axis(-3 3 -2 2 0,0.02) figure; surf(x,y,abs(fy-zy); axis(-3 3 -2 2 0,0.06)3.4 数值积分问题 4.3.1 由给定数据进行梯形求积Sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2格式： S=trapz(x,y)例： x1=0:pi/30:pi; y=sin(x1) cos(x1) sin(x1/2); x=x1 x1 x1; S=sum(2*y(1:end-1,:)+diff(y).*diff(x)/2S = 1.9982 0.0000 1.9995 S1=tra
36、pz(x1,y) % 得出和上述完全一致的结果S1 = 1.9982 0.0000 1.9995例：画图 x=0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2; % 这样赋值能确保 3*pi/2点被包含在内 y=cos(15*x); plot(x,y)% 求取理论值 syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2)A =1/15随着步距h的减小，计算精度逐渐增加： h0=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001; v=; for h=h0, x=0:h:3*pi/2, 3*pi/2; y=cos(15*x); I=trapz(x,y); v=v;
37、 h, I, 1/15-I ;end vv = 0.1000 0.0539 0.0128 0.0100 0.0665 0.0001 0.0010 0.0667 0.0000 0.0001 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000 0.0000 0.0667 0.0000 format long，v3.4.2 单变量数值积分问题求解 梯形公式格式：(变步长） y=quad(Fun,a,b) y=quadl(Fun,a,b) % 求定积分 y=quad(Fun,a,b, ) y=quadl(Fun,a,b, ) %限定精度的定积分求解，默认精度为106。后面函数算法更精
38、确，精度更高。例：第三种：匿名函数(MATLAB 7.0)第二种：inline 函数第一种，一般函数方法函数定义被积函数： y=quad(c3ffun,0,1.5)y = 0.9661用 inline 函数定义被积函数： f=inline(2/sqrt(pi)*exp(-x.2),x); y=quad(f,0,1.5)y = 0.9661运用符号工具箱： syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x2),0,1.5),60) y0 = y=quad(f,0,1.5,1e-20) % 设置高精度，但该方法失效例：提高求解精度： y=quadl(f,0,1.5,1e-2
39、0)y = 0.9661 abs(y-y0)ans = .6402522848913892e-16 format long 16位精度 y=quadl(f,0,1.5,1e-20)y =例：求解绘制函数: x=0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4; y=exp(x.2).*(x2); y(end)=0; x=eps, x; y=0,y; fill(x,y,g)为减少视觉上的误差，对端点与间断点（有跳跃）进行处理。调用quad( ): f=inline(exp(x.2).*(x2)./(4-sin(16*pi*x),x); I1=quad(f,0,4)I1 = 57.76435412
40、500863调用quadl( ): I2=quadl(f,0,4)I2 = 57.76445016946768 syms x; I=vpa(int(exp(x2),0,2)+int(80/(4-sin(16*pi*x),2,4) I =3.4.3 Gauss求积公式为使求积公式得到较高的代数精度对求积区间a,b，通过变换有以n=2的高斯公式为例：function g=gauss2(fun,a,b)h=(b-a)/2;c=(a+b)/2;x=h*(-0.7745967)+c, c, h*0.7745967+c;g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3)+0.
41、88888889*gaussf(x(2);function y=gaussf(x)y=cos(x); gauss2(gaussf,0,1)ans = 0.84153.4.4 基于样条插值的数值微积分运算基于样条插值的数值微分运算格式： Sd=fnder(S,k)该函数可以求取S的k阶导数。格式： Sd=fnder(S,k1,kn)可以求取多变量函数的偏导数例： syms x; f=(x2-3*x+5)*exp(-5*x)*sin(x); ezplot(diff(f),0,1), hold on x=0:.12:1; y=(x.2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); sp1=c
42、sapi(x,y);建立三次样条函数 dsp1=fnder(sp1,1); fnplt(dsp1,-)绘制样条图 sp2=spapi(5,x,y);5阶次B样条 dsp2=fnder(sp2,1); fnplt(dsp2,:); axis(0,1,-0.8,5)例：拟合曲面 x0=-3:.3:3; y0=-2:.2:2; x,y=ndgrid(x0,y0); z=(x.2-2*x).*exp(-x.2-y.2-x.*y); sp=spapi(5,5,x0,y0,z); B样条dspxy=fnder(sp,1,1); fnplt(dspxy)%生成样条图理论方法： syms x y; z=(x2
43、-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); ezsurf(diff(diff(z,x),y),-3 3,-2 2)对符号变量表达式做三维表面图基于样条插值的数值积分运算格式： f=fnint(S)其中S为样条函数。例：考虑 中较稀疏的样本点,用样条积分的方式求出定积分及积分函数。 x=0,0.4,1 2,pi; y=sin(x); sp1=csapi(x,y); a=fnint(sp1,1); 建立三次样条函数并积分 xx=fnval(a,0,pi); xx(2)-xx(1)ans = 2.0191 sp2=spapi(5,x,y); b=fnint(sp2,1); xx=fnval(b,0
44、,pi); xx(2)-xx(1)ans = 1.9999绘制曲线 ezplot(-cos(t)+2,0,pi); hold on不定积分可上下平移 fnplt(a,-); fnplt(b,:)3.4.5 双重积分问题的数值解矩形区域上的二重积分的数值计算格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM) 限定精度的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM， )例：求解 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); y=dblquad(f,-2,2,-1,1)y = 1.57449318974494任意区域上
45、二元函数的数值积分 (调用工具箱NIT），该函数指定顺序先x后y.例 fh=inline(sqrt(1-x.2/2),x); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-x.2/2),x); % 内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),y,x); % 交换顺序的被积函数 y=quad2dggen(f,fl,fh,-1/2,1,eps)y =解析解方法： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), y, -sqrt(1-x2/2), sqrt(1-x2/2); int(i1, x, -1/2, 1)Warning: E
46、xplicit integral could not be found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58 ans = int(2*exp(-1/2*x2)*sin(x2)*sin(1/2*(4-2*x2)(1/2), x = -1/2 . 1) vpa(ans) ans = 例：计算单位圆域上的积分： 先把二重积分转化： syms x y i1=int(exp(-x2/2)*sin(x2+y), x, -sqrt(1-y.2), sqrt(1-y.2);Warning: Explicit integral could not b
47、e found. In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicsymint.m at line 58对x是不可积的，故调用解析解方法不会得出结果，而数值解求解不受此影响。 fh=inline(sqrt(1-y.2),y); % 内积分上限 fl=inline(-sqrt(1-y.2),y); % 内积分下限 f=inline(exp(-x.2/2).*sin(x.2+y),x,y); %交换顺序的被积函数 I=quad2dggen(f,fl,fh,-1,1,eps)Integral did not converge-singularity likelyI = 0.53686038
48、2697953.4.6 三重定积分的数值求解格式: I=triplequad(Fun,xm,xM,ym,yM, zm,zM， ,quadl) 其中quadl为具体求解一元积分的数值函数,也可选用quad或自编积分函数,但调用格式要与quadl一致。例： triplequad(inline(4*x.*z.*exp(-x.*x.*y-z.*z), x,y,z), 0, 1, 0, pi, 0, pi,1e-7,quadl)ans = 1.73283.5 曲线积分与曲面积分的计算3.5.1 曲线积分及MATLAB求解第一类曲线积分 起源于对不均匀分布的空间曲线总质量的求取.设空间曲线L的密度函数为f
49、(x,y,z),则其总质量 其中s为曲线上某点的弧长,又称这类曲线积分为对弧长的曲线积分.数学表示 若弧长表示为例： syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); z=a*t; I=int(z2/(x2+y2)*sqrt(diff(x,t)2+diff(y,t)2+ diff(z,t)2),t,0,2*pi) I =8/3*pi3*a*2(1/2) pretty(I) 3 1/2 8/3 pi a 2例： x=0:.001:1.2; y1=x; y2=x.2; plot(x,y1,x,y2)绘出两条曲线 syms x; y1=x; y2=x2
50、; I1=int(x2+y22)*sqrt(1+diff(y2,x)2),x,0,1); I2=int(x2+y12)*sqrt(1+diff(y1,x)2),x,1,0); I=I2+I1I =-2/3*2(1/2)+349/768*5(1/2)+7/512*log(-2+5(1/2)3.5.1.2 第二类曲线积分又称对坐标的曲线积分，起源于变力沿曲线 移动时作功的研究曲线 亦为向量,若曲线可以由参数方程表示则两个向量的点乘可由这两个向量直接得出.例：求曲线积分 syms t; syms a positive; x=a*cos(t); y=a*sin(t); F=(x+y)/(x2+y2),
51、-(x-y)/(x2+y2); ds=diff(x,t);diff(y,t); I=int(F*ds,t,2*pi,0) % 正向圆周 I =2*pi例： syms x; y=x2; F=x2-2*x*y,y2-2*x*y; ds=1; diff(y,x); I=int(F*ds,x,-1,1) I = -14/15曲面积分与MATLAB语言求解3.5.2.1 第一类曲面积分 其中 为小区域的面积，故又称为对面积的曲面积分。曲面 由 给出，则该积分可转换成x-y平面的二重积分为例：四个平面，其中三个被积函数的值为0，只须计算一个即可。 syms x y; syms a positive; z=
52、a-x-y; I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(z,x)2+ diff(z,y)2),y,0,a-x),x,0,a) I =1/120*3(1/2)*a5 若曲面由参数方程曲面积分例： syms u v; syms a positive; x=u*cos(v); y=u*sin(v); z=v;f=x2*y+z*y2; E=simple(diff(x,u)2+diff(y,u)2+diff(z,u)2); F=diff(x,u)*diff(x,v)+diff(y,u)*diff(y,v)+diff(z,u)* diff(z,v); G=simple(diff(x,v)2+
53、diff(y,v)2+diff(z,v)2); I=int(int(f*sqrt(E*G-F2),u,0,a),v,0,2*pi) I =1/4*a*(a2+1)(3/2)*pi2+1/8*log(-a+(a2+1)(1/2) *pi2-1/8*(a2+1)(1/2)*a*pi2 3.5.2.2 第二类曲面积分又称对坐标的曲面积分可转化成第一类曲面积分若曲面由参数方程给出例：的上半部，且积分沿椭球面的上面。引入参数方程 x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u)， u0,pi/2, v0,2*pi. syms u v; syms a b c positive; x=a*sin(u)*cos(v); y=b*sin(u)*sin(v); z=c*cos(u); A=diff(y,u)*diff(z,v)-diff(z,u)*diff(y,v); I=int(int(x3*A,u,0,pi/2),v,0,2*pi) I = 2/5*pi*a3*c*b
