利用“特征点”求三角函数图像的对称轴与对称中心

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1、-利用“特征点”求三角函数图像的对称轴与对称中心利用“特征点”求三角函数图像的对称轴与对称中心（1）函数y Asin(x)(A 0, 0)既是轴对称图形又是中心对称图形：最大值或最小值(kZ Z)，即过函数图像“特征点”2k点且与x轴垂直的直线；对称中心是：(：函数图像与x轴,0)(kZ Z)，即“特征点”对称轴方程是：x k的交点坐标 （2）函数y Acos(x)(A 0, 0)既是轴对称图形又是中心对称图形对称轴方程是：x k：最大值或最小值点且与(kZ Z)，即过函数图像“特征点”x轴垂直的直线；对称中心是：(k：函数图像与x轴,0)(kZ Z)，即“特征点”2的交点坐标 （3）函数y

2、Atan(x)(A 0, 0)是中心对称图形对称中心是：(k,0)(kZ Z)2例 1 函数y cos(2x Ax 2)的图像的一条对称轴方程是（）2Bx 4Cx 8Dx 分析：可以直接根据余弦函数求得最值时的x值求出对称轴方程， 也可以根据诱导公式先进行化简，再根据正弦函数求得最值时的x值解法 1：令2x2 k，k Z Z 当k 0时，得对称轴方程为x 4，故选 B，k Z Z 当解法 2： 已知函数化为y sin2x， 函数图像的对称轴方程是2x k2k 1时，得对称轴方程为x 4，故选 B也可用代入法，若代入得y 1或y 1，则其答案为对称轴方程评注：求三角函数对称轴方程有两种方法： （

3、1）直接根据三角函数对称轴方程的求解方法进行求解； （2）将x值代入三角函数中，看三角函数能否取得最值例 2（2007 福建）已知函数f (x) sin(x3)( 0)的最小正周期为，则该函数的图像（）A关于点(C关于点(34,0)对称B关于直线x ,0)对称D关于直线x 4对称对称3分析：直接根据三角函数对称轴和对称中心的求解方法进行求解或将选项代入验证解： 由函数f (x) sin(x3)( 0)的最小正周期为得 2， 由2x3 k得-11（kZ Z） ，当k 1时为(,0)答案选 Ax k，对称点为(k,0)，0）26263k评注：令x k，解得x ，可求出函数y Asin(x)图像的对

4、称中心为(k,0)(kZ Z)，再对k进行适当赋值，便可得到正确答案例 3（2008 安徽）函数y sin(2xAx 3)图像的对称轴方程可能是（）6Bx 12Cx 6Dx 12分析 1： 代入法， 将四个选项中的值分别代入y sin(2x得最大值或最小值的即为对称轴x 分析 2： 令2x选 D分析 3：应用公式x 使得y sin(2x)取)，3312满足条件，应选 D3 k2解得x (k Z Z)k取k 0时， 有x 故,k Z Z21212k(kZ Z)，此时 2，取k 0时，有23x 12，即x 12为对称轴 故选 D(kZ Z) ， 可 求 出 函 数22ky Asin(x)图像的对称轴方程为x (kZ Z)，再对k进行适当赋值，2评 注 ： 令x k， 解 得x k便可得到相应的答案选项函数y Asin(x)的图像的对称轴是经过其图像的“峰点”或“谷点”且平行于y轴的无穷多条直线 其对称轴方程是：x k(k2Z Z)函数y Asin(x)的图像对称中心即为其图像与x轴的无数个交点坐标，对称中心为：(k,0)(k Z Z)-