一次函数二次函数与幂函数

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1、要点梳理要点梳理1.1.一次函数、二次函数的图象及性质一次函数、二次函数的图象及性质 (1) (1)一次函数一次函数y y= =kxkx+ +b b，当，当k k00时，在实数集时，在实数集R R上是增函上是增函 数数, ,当当k k000=0=000)0)方程方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的解的解_无解无解axax2 2+ +bxbx+ +c c00的解集的解集_axax2 2+ +bxbx+ +c c00的解集的解集_x x1 1, ,x x2 2( (x x1 1 x x2 2或或x x x x1 1 x x| |x xR R且且x xx x0 0 R R x x|

2、 |x x1 1 x x 00时，时， 排除排除A.A. 当当a a000，而二次函数，而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除开口向下，相互矛盾，排除A.A.同理排除同理排除D,D, y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c的对称轴为的对称轴为 当当a a0,0,b b00时，时， 排除排除B.B. 当当a a0,0,b b00时，时， 故选故选C.C.C93.3.设设 则使函数则使函数 的定义域为的定义域为 R R且为奇函数的所有且为奇函数的所有 值为值为 （ ） A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.1,3 A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.1,3， 解析解析 当

3、当 =1 =1，3 3时，时， 的定义域为的定义域为R R且为奇函且为奇函 数，当数，当 =-1 =-1时，时， 的定义域为的定义域为 x x| |x x0,0,x xR R, 淘汰淘汰B B、C,C,当当 时时, , 的定义域为的定义域为0,+0,+),), 排除排除D.D.故选故选A. A. A104.4.已知二次函数已知二次函数y y= =x x2 2-2-2axax+1+1在区间（在区间（2 2，3 3）内是单调）内是单调 函数，则实数函数，则实数a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A. A.a a22或或a a3 B.23 B.2a a33 C. C.a a-3-3或或a a-2

4、 D.-3-2 D.-3a a-2-2 解析解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次本题考查二次函数图象及其性质，由于二次 函数的开口向上函数的开口向上, ,对称轴为对称轴为x x= =a a, ,若使其在区间若使其在区间(2,3)(2,3) 内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧， 即即a a22或或a a3. 3. A115.5.方程方程x x2 2- -mxmx+1=0+1=0的两根为的两根为 且且 则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 方法一方法一12方法二方法二 设设f f( (x x)=)=x x2 2-

5、-mxmx+1,+1,则则f f(0)=1.(0)=1. 由图可知，由图可知， f f(1)(1)f f(2)=(2-(2)=(2-m m)(5-2)(5-2m m)0,)0,22m m 答案答案 13题型一题型一 二次函数的解析式的求法二次函数的解析式的求法 【例例1 1】已知二次函数已知二次函数f f( (x x) )满足满足f f(2)=-1,(2)=-1,f f(-1)=-1,(-1)=-1,且且 f f( (x x) )的最大值是的最大值是8 8，试确定此二次函数，试确定此二次函数. . 确定二次函数采用待定系数法，有三种确定二次函数采用待定系数法，有三种 形式，可根据条件灵活运用形

6、式，可根据条件灵活运用. .思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析14解解 方法一方法一 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0),0),依题意有依题意有所求二次函数为所求二次函数为y y=-4=-4x x2 2+4+4x x+7.+7.方法二方法二 设设f f( (x x)=)=a a( (x x- -m m) )2 2+ +n n. .f f(2)=(2)=f f(-1),(-1),抛物线对称轴为抛物线对称轴为 m m= = 15又根据题意函数有最大值为又根据题意函数有最大值为n n=8=8，y y= =f f（x x）= = f

7、 f（2 2）=-1=-1， 解之，得解之，得a a=-4.=-4.方法三方法三 依题意知：依题意知：f f( (x x)+1=0)+1=0的两根为的两根为x x1 1=2,=2,x x2 2=-1,=-1,故可设故可设f f( (x x)+1=)+1=a a( (x x-2)(-2)(x x+1),+1),即即f f( (x x)=)=axax2 2- -axax-2-2a a-1.-1.又函数有最大值又函数有最大值y ymaxmax=8,=8,即即 16解之，得解之，得a a=-4=-4或或a a=0(=0(舍去）舍去）. .函数解析式为函数解析式为f f( (x x)=-4)=-4x x

8、2 2+4+4x x+7.+7. 二次函数的解析式有三种形式：二次函数的解析式有三种形式：(1)(1)一般式：一般式：f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0)0)(2)(2)顶点式：顶点式：f f( (x x)=)=a a( (x x- -h h) )2 2+ +k k ( (a a0)0)(3)(3)两点式：两点式：f f( (x x)=)=a a( (x x- -x x1 1)()(x x- -x x2 2)()(a a0)0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定具体用哪种形式，可根据具体情况而定. . 探究提高探究提高17知能迁移知能迁移1 1

9、设二次函数设二次函数f f( (x x) )满足满足f f( (x x+2)=+2)=f f(2-(2-x x) )，且，且 f f（x x）=0=0的两实数根平方和为的两实数根平方和为1010，图象过点，图象过点(0,3),(0,3), 求求f f（x x）的解析式）的解析式. . 解解 设设f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c ( (a a0).0). 由由f f( (x x+2)=+2)=f f(2-(2-x x) )知，该函数图象关于直线知，该函数图象关于直线x x=2=2对称对称, , 即即b b=-4=-4a a. . 又又图象过（图象过（0 0，3

10、3）点，）点，c c=3. =3. 18 b b2 2-2-2acac=10=10a a2 2. . 由由得得a a=1,=1,b b=-4,=-4,c c=3.=3.故故f f（x x）= =x x2 2-4-4x x+3. +3. 19题型二题型二 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 【例例2 2】 已知函数已知函数 在区间在区间0,10,1 上的最大值是上的最大值是2 2，求实数，求实数a a的值的值. . 研究二次函数在给定区间上的最值问研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系题，要讨论对称轴与给定区间的关系. . 解解 对称轴为对称轴为 思维启迪思维启

11、迪20(1)(1)当当0 10 1，即，即00a a22时，时， 得得a a=3=3或或a a=-2,=-2,与与00a a22矛盾矛盾. .不合要求；不合要求；(2)(2)当当 0 0，即，即a a01 1，即，即a a22时，时，y y在在00，11上单调递增，上单调递增，有有y ymaxmax= =f f(1),(1),f f(1)=2 (1)=2 综上，得综上，得a a=-6=-6或或a a= = 21探究提高探究提高 (1)(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响函数最值的影响. .(2)(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二解二

12、次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为次函数化为y y= =a a( (x x- -m m) )2 2+ +n n的形式，得顶点（的形式，得顶点（m m，n n）或）或对称轴方程对称轴方程x x= =m m，分三个类型：，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动顶点固定，区间变动. . 22知能迁移知能迁移2 2 已知函数已知函数f f( (x x)=-)=-x x2 2+8+8x x, ,求函数求函数f f( (x x) )在区间在区间 t t, ,t t+1+1上的最大值上的最大值h h( (t t).).

13、 解解 f f（x x）=-=-x x2 2+8+8x x=-(=-(x x-4)-4)2 2+16+16 当当t t+14,+14,即即t t344时，时，f f( (x x) )在在 t t, ,t t+1+1上单调递减上单调递减. . 此时此时h h( (t t)=)=f f( (t t)=-)=-t t2 2+8+8t t. . 综上可知综上可知23题型三题型三 幂函数的图象及应用幂函数的图象及应用 【例例3 3】 点点( ,2)( ,2)在幂函数在幂函数f f( (x x) )的图象上的图象上, ,点点 在幂函数在幂函数g g（x x）的图象上，问当）的图象上，问当x x为何值时，有

14、为何值时，有 f f( (x x) )g g( (x x) )，f f( (x x)=)=g g( (x x) )，f f( (x x) )g g( (x x).). 由幂函数的定义，求出由幂函数的定义，求出f f( (x x) )与与g g( (x x) ) 的解析式，再利用图象判断即可的解析式，再利用图象判断即可. . 解解 设设 则由题意得则由题意得 =2 =2，即，即f f（x x）= =x x2 2，再设，再设 则由题意得则由题意得 =-2 =-2，即，即g g（x x）= =x x-2-2， 思维启迪思维启迪24在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出f f( (x x) )与与g g

15、( (x x) )的图象，如图所示的图象，如图所示. . 由图象可知：由图象可知：当当x x1 1或或x x-1-1时，时， f f（x x）g g（x x）; ;当当x x=1=1时时, ,f f( (x x)=)=g g( (x x););当当-1-1x x1 1且且x x00时，时， f f（x x）g g（x x）. . (1)(1)函数图象在解方程和不等式时有着函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用重要的应用. .(2)(2)注意本题中，注意本题中，g g（x x）的定义域为）的定义域为 x x| |x x00，所以，所以中不包含中不包含x x=0=0这一元素这一元素. . 探究提

16、高探究提高25知能迁移知能迁移3 3 已知幂函数已知幂函数 的图象与的图象与x x、y y 轴都无公共点，且关于轴都无公共点，且关于y y轴对称，求整数轴对称，求整数n n的值并画的值并画 出该函数的草图出该函数的草图. . 解解 函数图象与函数图象与x x、y y轴都无公共点，轴都无公共点， n n2 2-2-2n n-30-30，-1-1n n3.3. 又又n n为整数，为整数，n n-1-1，0 0，1 1，2 2，3.3. 又图象关于又图象关于y y轴对称，轴对称，n n2 2-2-2n n-3-3为偶数为偶数. . n n=-1=-1，1 1，3.3.26 当当n n=-1=-1和和

17、3 3时时, ,n n2 2-2-2n n-3=0-3=0，y y= =x x0 0图象如图（图象如图（1 1）所示）所示; ; 当当n n=1=1时，时，y y= =x x-4-4，图象如图（，图象如图（2 2）所示）所示. . 图（图（1 1） 图（图（2 2） 27题型四题型四 幂函数的性质幂函数的性质 【例例4 4】 （1212分）已知幂函数分）已知幂函数 ( (m mN N* *) ) 的图象关于的图象关于y y轴对称，且在（轴对称，且在（0 0，+）上是减函数，）上是减函数， 求满足求满足 的的a a的取值范围的取值范围. . 由由 ( (m mN N* *) )的图象关于的图象关

18、于y y 轴对称知轴对称知m m2 2-2-2m m-3-3为偶数为偶数, ,又在（又在（0 0，+）上是减函）上是减函 数，数，m m2 2-2-2m m-30-30，从而确定，从而确定m m值，再由函数值，再由函数f f( (x x)=)= 的单调性求的单调性求a a的值的值. . 思维启迪思维启迪28解解 函数在函数在(0(0，+)+)上递减，上递减， m m2 2-2-2m m-30-30，解得，解得-1-1m m3.3-2+13-2a a00或或00a a+13-2+13-2a a或或a a+103-2+109)9)的图象可能是（的图象可能是（ ）37解析解析 函数为偶函数，图象关于

19、函数为偶函数，图象关于y y轴对称，故排除轴对称，故排除A A、B.B.令令n n=18=18，则，则 当当x x00时，时， 由其在由其在第一象限的图象知选第一象限的图象知选C.C.答案答案 C C 383.3.（20092009湖北理，湖北理，9 9）设球的半径为时间设球的半径为时间t t的函数的函数 R R（t t）. .若球的体积以均匀速度若球的体积以均匀速度c c增长，则球的表面增长，则球的表面 积的增长速度与球半径积的增长速度与球半径 （ ） A. A.成正比，比例系数为成正比，比例系数为c c B. B.成正比，比例系数为成正比，比例系数为2 2c c C. C.成反比，比例系数

20、为成反比，比例系数为c c D. D.成反比，比例系数为成反比，比例系数为2 2c c 39解析解析 V V(t t)=4)=4 R R2 2( (t t)R R(t t)=)=c c. . S S( (t t)=4 )=4 R R2 2( (t t),),S S(t t)=8 )=8 R R( (t t) )R R(t t) )答案答案 D D404.4.函数函数f f( (x x)=-)=-x x2 2+(2+(2a a-1)|-1)|x x|+1|+1的定义域被分成了四个的定义域被分成了四个 不同的单调区间，则实数不同的单调区间，则实数a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A. B.

21、A. B. C. D. C. D. 41解析解析 f f（x x）=-=-x x2 2+(2+(2a a-1)|-1)|x x|+1|+1是由函数是由函数f f( (x x)=-)=-x x2 2+ +(2(2a a-1)-1)x x+1+1变化得到，第一步保留变化得到，第一步保留y y轴右侧的图象，再轴右侧的图象，再作关于作关于y y轴对称的图象轴对称的图象. .因为定义域被分成四个单调区因为定义域被分成四个单调区间，所以间，所以f f( (x x)=-)=-x x2 2+(2+(2a a-1)-1)x x+1+1的对称轴在的对称轴在y y轴的右侧，轴的右侧，使使y y轴右侧有两个单调区间，

22、对称后有四个单调区间轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间. .所以所以答案答案 C C425.5.若若00a a1, y y1,1,则下列关系式中正确的个数是则下列关系式中正确的个数是 （ ） a ax x a ay y x xa a y ya a logloga ax xlogloga ay y loglogx xa aloglogy ya a A.4 B.3 C.2 D.1 A.4 B.3 C.2 D.1 解析解析 0 0a a1, y y1,1, y y= =a ax x递减，故递减，故不正确；不正确；y y= =x xa a递增，故递增，故正确；正确； y y=log=loga

23、ax x递减，故递减，故不正确不正确. . log logx xa a0,log0,logy ya a0,loglogy ya a log loga ax xlog00时，时，y y00，故不过第四象限；，故不过第四象限； 当当x x00时，时，y y00或无意义或无意义. . 故不过第二象限故不过第二象限. . 综上，不过二、四象限综上，不过二、四象限. .也可画图观察也可画图观察. . 二、四二、四458.8.函数函数 在区间在区间0,40,4上的最大值上的最大值MM与最小与最小 值值N N的和的和MM+ +N N=_.=_. 解析解析 令令t t= = 0,20,2,y y= =t t2

24、 2+2+2t t=(=(t t+1)+1)2 2-1,-1, 在在t t0,20,2上递增上递增. . 当当t t=0=0时时, ,N N=0,=0,当当t t=2=2时时, ,MM=8.=8. MM+ +N N=8. =8. 8 8469.9.已知已知(0.7(0.71.31.3) )m m(1.3(1.30.70.7) )m m, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 _. _. 解析解析 00.7 00.71.31.30.71.31.30 0=1,=1, 0.7 0.71.31.31.31.30.70.7. .而而(0.7(0.71.31.3) )m m(1.30. 0. （0

25、,+) 0,+) 47三、解答题三、解答题 10.10.已知函数已知函数f f( (x x)=()=(m m2 2- -m m-1)-1)x x-5-5m m-3-3，m m为何值时，为何值时， f f( (x x):(1):(1)是正比例函数是正比例函数;(2);(2)是反比例函数是反比例函数; ; (3) (3)是二次函数是二次函数;(4);(4)是幂函数是幂函数. . 解解 (1) (1)若若f f( (x x) )是正比例函数，是正比例函数， 则则-5-5m m-3=1,-3=1,解得解得 此时此时m m2 2- -m m-10,-10,故故 (2) (2)若若f f( (x x) )

26、是反比例函数，则是反比例函数，则-5-5m m-3=-1,-3=-1, 则则m m= = 此时此时m m2 2- -m m-10-10，故，故m m= = 48(3)(3)若若f f( (x x) )是二次函数，则是二次函数，则-5-5m m-3=2,-3=2,即即m m=-1,=-1,此时此时m m2 2- -m m-10-10，故，故m m=-1,=-1,(4)(4)若若f f( (x x) )是幂函数，则是幂函数，则m m2 2- -m m-1=1-1=1，即即m m2 2- -m m-2=0,-2=0,解得解得m m=2=2或或m m=-1.=-1.综上所述，综上所述，(1)(1)当当

27、m m= = 时，时，f f( (x x) )是正比例函数是正比例函数. .(2)(2)当当m m= = 时，时，f f( (x x) )是反比例函数是反比例函数. .(3)(3)当当m m=-1=-1时，时，f f( (x x) )是二次函数是二次函数. .(4)(4)当当m m=2=2或或m m=-1=-1时，时，f f( (x x) )是幂函数是幂函数. . 4911.11.即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将 大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通. .根据根据 测算，如果一列火车每次拖测算，如果一列

28、火车每次拖4 4节车厢，每天能来回节车厢，每天能来回 16 16次；如果每次拖次；如果每次拖7 7节车厢，则每天能来回节车厢，则每天能来回1010次，次， 每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数, ,每每 节车厢一次能载客节车厢一次能载客110110人，试问每次应拖挂多少节人，试问每次应拖挂多少节 车厢才能使每天营运人数最多车厢才能使每天营运人数最多? ?并求出每天最多的并求出每天最多的 营运人数营运人数. .（注（注: :营运人数指火车运送的人数）营运人数指火车运送的人数） 50解解 设这列火车每天来回次数为设这列火车每天来回次数为t t次次, ,每

29、次拖挂车厢每次拖挂车厢 n n节，节，则设则设t t= =knkn+ +b b. .由由t t=-2=-2n n+24.+24.设每次拖挂设每次拖挂n n节车厢每天营运人数为节车厢每天营运人数为y y，则则y y= =tn tn1102=440(-1102=440(-n n2 2+12+12n n) )，当当n n=6=6时，总人数最多为时，总人数最多为15 84015 840人人. .答答 每次应拖挂每次应拖挂6 6节车厢才能使每天的营运人数最多节车厢才能使每天的营运人数最多 为为15 84015 840人人. . 5112.12.已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x2 2, ,

30、g g( (x x)=)=x x-1.-1. (1) (1)若存在若存在x xR R使使f f( (x x)b bg g( (x x) )，求实数，求实数b b的取值范的取值范 围；围； (2) (2)设设F F（x x）= =f f( (x x)-)-mgmg( (x x)+1-)+1-m m- -m m2 2, ,且且| |F F( (x x)|)|在在 0 0，1 1上单调递增，求实数上单调递增，求实数m m的取值范围的取值范围. . 解解 （1 1） x xR R, ,f f( (x x)bgbg( (x x) ) x xR R, ,x x2 2- -bxbx+ +b b000 b b04. 4. 52(2)(2)F F（x x）= =x x2 2- -mxmx+1-+1-m m2 2, ,=m m2 2-4(1-4(1-m m2 2）=5=5m m2 2-4.-4.当当00，即，即 时，则必需时，则必需当当0,0,即即 时时, ,设方程设方程F F( (x x)=0)=0的根为的根为x x1 1, ,x x2 2( (x x1 1 x x2 2). ). 53若若 1, 1,则则x x1 10,0,若若 0, 0,则则x x2 20,0,综上所述：综上所述：-1-1m m00或或m m2. 2. 返回返回 54