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1、习题课一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式: :上方程称为上方程称为齐次的齐次的. .上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的. .一、线性方程一、线性方程例如例如线性的线性的; ;非线性的非线性的. .齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法( (使用分离变量法使用分离变量法) )2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比: :常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数
2、的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .作变换作变换积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: :对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1二、二阶常系数齐次二、二阶常系数齐次线性方程解法线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程, 得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根 (i):(i):有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为(ii):(ii):有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得
3、齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为(iii) (iii) 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合，目的是消去虚部重新组合，目的是消去虚部得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法. .解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1 1解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3例例4 4解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程
4、的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为例例5 5解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为由由解得解得故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即例例6 6解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得（）原方程为（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为第七章：向量代数空间几何第七章：向量代数空间几何定义定义一、两向量的数量积一、两向
5、量的数量积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.设设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 1： 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为2: 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式解解证证定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.二、两向量的向量积二、两向量的向量积 1: 向量积符合下列运算规律向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表
6、达式2: 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式解解解解例例5解解 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有三、平面的点法式方程三、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量其中法向量已知点已知点解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量四、平
7、面的一般方程四、平面的一般方程设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程五五: 平面的截距式方程平面的截距式方程设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. .六、两平面的夹角六、两平面的夹角按照两向
8、量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式A: 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式/B: 两平面位置特征两平面位置特征例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.解解点到平面距离公式点到平面距离公式第五节第五节: : 空间直线及其方程空间直线及其方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：方向向量的定义
9、： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的点向式方程与参数方程直线的点向式直线的点向式(对称对称式式)方程方程令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程解解所以交点为所以
10、交点为取取所求直线方程所求直线方程定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为定义定义直线和
11、它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角或直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：/解解为所求夹角为所求夹角第八章、多元函数微分学第八章、多元函数微分学推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 对比对比, 区别异同区别异同1 1、多元函数的极限、多元函数的极限 ( (本课程以二元函数为例讲解本课程以二元函数为例讲解) )定义定义2. 设设 二二 元函数元函数则称则称 A 为为函数函数f(x,y)f(x,y)(也称为也称为 二二 重极限
12、重极限)若存在常数若存在常数 A ,记作记作使得使得例例1.1.设求证：证证:故总有注意注意: 若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同路径趋于不存在 .例例2. 2.讨论函数函数仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.注意注意: :二重极限不同不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如例如,显然与累次极限但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .解解: : 原式例例4 4. .求例例5. 求
13、函数的连续域.解解:习题习题是否存在是否存在？解解: :所以极限不存在所以极限不存在.第二节一、一、 偏导数概念及其计算偏导数概念及其计算偏偏 导导 数数 二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法定义定义1. 1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意注意:同样可定义对 y的偏导数若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 , 记为或 y 偏导数存在 ,例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z
14、) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .偏导数定义为(请自己写出)其实从以上定义可以看出,求偏导数时,我们总是把另外的变量看作是常量,例如求:时,我们可以把y看作常量,用一元函数求导的方法即可求得偏导数二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义: :是曲线在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线对 y 轴的对于一元函数而言,可导的条件比连续强,就是说要是一个函数在某点可导,那么在该点一定是连续一定是连续注意：注意：函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,但是但是: :但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f (x , y) 在点(0 ,
15、 0)并不连续!例例1.1.求解解:在点(1 , 2) 处的偏导数.例例2. 2.设证证:例例3. 求解解:求证二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为例例5. 5.求函数解解 :注意注意: :此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数
16、及 例如例如, ,二者不等例例6. 6.证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程则定理定理. .例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等(证明略) 第四节第四节第四节第四节: : : :多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则解解解解解解令令记记同理有同理有于是于是解解第五节第五节第五
17、节第五节: : : :隐函数求导公式隐函数求导公式隐函数求导公式隐函数求导公式一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解令令则则解解令令则则解解令令则则思路：思路：解解令令则则第六节第六节第六节第六节: : : : 多元函数微分法在多元函数微分法在多元函数微分法在多元函数微分法在 几何中的应用几何中的应用几何中的应用几何中的应用设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为曲线在曲线在M处的切线方程处的切线
18、方程切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面法平面：过：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线令令则则切平面方程切平面方程为为法线方程法线方程为为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称
19、为曲面的法向量法向量.特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)第七节第七节第七节第七节: : : :多元函数的极值及求法多元函数的极值及求法
20、多元函数的极值及求法多元函数的极值及求法实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁.问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、
21、问题的提出1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：解解求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为
22、最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值解解如图如图,解解 由由无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元
23、，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值解解则则解解可得可得即即第二节：二重积分的计算方法（第二节：二重积分的计算方法（第二节：二重积分的计算方法（第二节：二重积分的计算方法（I I I I）如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为
24、已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,得得如果积分区域为：如果积分区域为：Y型型 X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式则必须分割则必须分割.解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图解解原式原式解解解解解解解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.第二节（第二节（第二节（第二节（2 2 2 2）：）：）：）： 二重积分计算（二重积分计算（二重积分计算（二重积分计算（2 2 2 2）一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图解解解解解解解解解解
