实际问题与二次函数课件7

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1、21.3实际问题与二次函数实际问题与二次函数张家窝中学张家窝中学 刘金玉刘金玉 主要内容：主要内容：本节内容是如何用二次函数解决现实生活中本节内容是如何用二次函数解决现实生活中的实际问题的实际问题,或如何用二次函数解释现实世界中的一些现或如何用二次函数解释现实世界中的一些现象象.主要涉及以下三个现实世界中运用二次函数的问题：主要涉及以下三个现实世界中运用二次函数的问题： 探究探究1.最大利润问题书最大利润问题书P99； 2.磁盘储存量问题书磁盘储存量问题书P100； 3.水位问题书水位问题书P101。课时安排：课时安排： 第一课时第一课时 探究探究1.1.最大利润问题书最大利润问题书P99P9

2、9； 第二课时第二课时 探究探究 2. 2.磁盘储存量问题书磁盘储存量问题书P100P100； 第三课时第三课时 探究探究 3.3.水位问题书水位问题书P101P101。教学目标教学目标知识技能：知识技能：进一步运用二次函数的概念解决实际问题。进一步运用二次函数的概念解决实际问题。数学思考：数学思考：在运用二次函数解决实际问题中的最大利润问在运用二次函数解决实际问题中的最大利润问 题的过程中，进一步体会数学建模思想，培养题的过程中，进一步体会数学建模思想，培养 学生的数学应用意识。学生的数学应用意识。解决问题：解决问题：经历经历“实际问题实际问题建立模型建立模型拓展应用拓展应用”的过的过 程，

3、发展学生分析问题、解决问题的能力。程，发展学生分析问题、解决问题的能力。情感态度：情感态度：运用二次函数解决实际问题的过程中，体验运用二次函数解决实际问题的过程中，体验 数学的实用性，提高学习数学的兴趣。数学的实用性，提高学习数学的兴趣。教学重难点教学重难点教学重点：教学重点：运用二次函数的意义和性质解决实际运用二次函数的意义和性质解决实际 问题。问题。教学难点：教学难点：运用二次例函数的思想方法分析解决实运用二次例函数的思想方法分析解决实 际问题，在解决实际问题的过程中进一际问题，在解决实际问题的过程中进一 步巩固二次函数的性质。步巩固二次函数的性质。同学们，今天就让我们一同学们，今天就让我

4、们一起去体会生活中的数学给起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！我们带来的乐趣吧！-202462-4xy若若3x3，该函数的最大值、最小值，该函数的最大值、最小值分别为分别为（ ）、（）、（ ）。）。 又若又若0x3，该函数的最大值、最小，该函数的最大值、最小值分别为（值分别为（ ）、（）、（ ）。）。求函数的最值问题，应注意什么求函数的最值问题，应注意什么? ?55 555 132、图中所示的二次函数图像的、图中所示的二次函数图像的解析式为：解析式为： 1 1、求下列二次函数的最大值或最小值：、求下列二次函数的最大值或最小值： y=x22x3; y=x24x 某商品现在的售价为每件某商品现

5、在的售价为每件6060元，每元，每星期可卖出星期可卖出300300件，市场调查反映：件，市场调查反映：每涨价每涨价1 1元，每星期少卖出元，每星期少卖出1010件；每件；每降价降价1 1元，每星期可多卖出元，每星期可多卖出1818件，已件，已知商品的进价为每件知商品的进价为每件4040元，如何定元，如何定价才能使利润最大？价才能使利润最大？请大家带着以下几个问题读题请大家带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？自变量？哪些量随之发生了变化？ 某商品现

6、在的售价为每件某商品现在的售价为每件6060元，每星期元，每星期可卖出可卖出300300件，市场调查反映：每涨价件，市场调查反映：每涨价1 1元，每星期少卖出元，每星期少卖出1010件；每降价件；每降价1 1元，每元，每星期可多卖出星期可多卖出1818件，已知商品的进价为件，已知商品的进价为每件每件4040元，如何定价才能使利润最大？元，如何定价才能使利润最大？分析分析:调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：先来看涨价的情况：设每件涨价设每件涨价x元，则每星期售出商元，则每星期售出商品的利润品的利润y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y与与

7、x的函数关系式。的函数关系式。涨价涨价x元时则每星期少卖元时则每星期少卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件,销销额为额为 元，买进商品需付元，买进商品需付 元因因此，所得利润为此，所得利润为元元10x(300-10x)(60+x)(300-10x)40(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)即即(0X30)(0X30)可以看出，这个函数的可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，点是函数图像的最高点，也就是说当也就是说当x取顶点坐取顶点坐标的横坐标时，这个函标的横坐标时，这个函数有

8、最大值。由公式可数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐标以求出顶点的横坐标.所以，当定价为所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为6250元元在降价的情况下，最大利润是多少？在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考请你参考（1）的过程得出答案。的过程得出答案。解：设降价解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实件，实际卖出（际卖出（300+18x)件，销售额为件，销售额为(60-x)(300+18x)元，元，买进商品需付买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润元，因此，得利润答：定价为答：定价为 元时，利润最大，最大利

9、润为元时，利润最大，最大利润为6050元元 做一做做一做由由(1)(2)的讨论及现在的销的讨论及现在的销售情况售情况,你知道应该如何定价你知道应该如何定价能使利润最大了吗能使利润最大了吗?(0x20)（1）列出二次函数的解析式，并根）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。大值或最小值。w我们还曾经利用列表的方法得到一个数据，现在请我们还曾经利用列表的方法得到一个数据，现在请你验证一下你的

10、猜测你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时增种多少棵橙子树时,总产量最总产量最大大?)是否正确是否正确.w与同伴进行交流你是怎么做的与同伴进行交流你是怎么做的.何时橙子总产量最大w还记得本章一开始涉及的还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树种多少棵橙子树”的问的问题吗？题吗？想一想想一想驶向胜利的彼岸何时橙子总产量最大w某果园有某果园有100100棵橙子树棵橙子树, ,每一棵树平均结每一棵树平均结600600个橙子个橙子. .现准现准备多种一些橙子树以提高产量备多种一些橙子树以提高产量, ,但是如果多种树但是如果多种树, ,那么树那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少之间的距离和每一棵

11、树所接受的阳光就会减少. .根据经验根据经验估计估计, ,每多种一棵树每多种一棵树, ,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙子个橙子. . 做一做做一做w(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？驶向胜利的彼岸w(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？w(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.何时橙子总产量最大w果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量 想一想想一想你能根据表格中的数据作出猜想吗？驶向胜利的彼岸wy=(100+x)(600-5x)=-5x+1

12、00x+60000.y=(100+x)(600-5x)=-5x+100x+60000.在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？X/棵123456789 10 11 12 13 14Y/个w2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系棵数之间的关系?何时橙子总产量最大w1.1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系棵数之间的关系. .议一议议一议驶向胜利的彼岸w3.增种多少棵橙子增种多少棵橙子, ,可以使橙子的总产量在可以使橙子的总产量在6040060400

13、个个以上以上?如图，建立平面如图，建立平面 直角坐标直角坐标系，点（系，点（4，4）是图中这段）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：段抛物线对应的函数为：(0x8)(0x8)篮圈中心距离地面篮圈中心距离地面3米米此球不能投中此球不能投中8（4，4）若假设出手的角度和力度都不变若假设出手的角度和力度都不变, ,则如何才能使此球命中则如何才能使此球命中? ?探究（1）跳得高一点）跳得高一点（2）向前平移一点）向前平移一点yx（4，4）（8，3）v在出手角度和力度都不变的情况下在出手角度和力度都不变的情况下, ,小明的出手高度为小明的出手高度为多少时能将篮

14、球投入篮圈多少时能将篮球投入篮圈? ?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9yX（8，3）（5，4）（4，4）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9v在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？入篮圈？(，），） 用抛物线的知识解决运动场上或者生用抛物线的知识解决运动场上或者生活中的一些实际问题的一般步骤：活中的一些实际问题的一般步骤：建立直角坐标系建立直角坐标系二次函数二次函数 问题求解问题求解找出实际问题的答案找出实际问题的答案生活是数学的源泉

15、，生活是数学的源泉，探索是数学的生命线探索是数学的生命线.寄语寄语作业作业P28:2、3、4探究探究 计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，如图，现有一张半径为如图，现有一张半径为45mm45mm的磁盘的磁盘（3 3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同最）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同最内磁道的半径内磁道的半径r r是多少时，磁盘的存储量最大？是多少时，磁盘的存储量最大？（1 1）磁盘最内磁道的半径为）磁盘最内磁道的半径为r r mmmm，其上每，其

16、上每0.015mm0.015mm的弧长的弧长为为1 1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2 2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm0.3mm，磁盘，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（2 2）由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于）由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm0.3mm，磁盘，磁盘的外圆不是磁道，各磁道分布在磁盘上内径为的外圆不是磁道，各磁道分布在磁盘上内径为r r外径为外径为4545的的圆环区域，所以这张磁盘最多有圆环区域，所以这张磁

17、盘最多有 条磁道条磁道（3 3）当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面存）当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面存储量每条磁道的存储单元数储量每条磁道的存储单元数磁道数，设磁盘每面存储量为磁道数，设磁盘每面存储量为y y，则，则（1 1）最内磁道的周长为）最内磁道的周长为2 2r mmr mm，它上面的存储单元的个数不，它上面的存储单元的个数不超过超过即即分析分析根据上面这个函数式，你能得出当根据上面这个函数式，你能得出当r r为何值时磁盘的存储量为何值时磁盘的存储量最大吗？最大吗？当当mm 用一段长为用一段长为30m30m的篱笆围成一个一边靠的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜

18、园，墙长为墙的矩形菜园，墙长为18m18m，这个矩形的长，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？多少？ABCDa例例1:1:如图，有长为如图，有长为2424米的篱笆，围成中间隔有一米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度墙体（墙体的最大可用长度a=10a=10米）：米）：（1 1）如果所围成的花圃的面积为）如果所围成的花圃的面积为4545平方米，试求宽平方米，试求宽ABAB的值；的值；（2 2）按题目的设计要求，能围成面积比）按题目的设计要求，能围成

19、面积比4545平方米更大平方米更大吗？吗？变式变式1 1：如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为2424米米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽设花圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S平方米。平方米。(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)(2)当当x x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，则求围成花圃的最大面米，则求围成花圃的最

20、大面积。积。 ABCD解解: (1) AB(1) AB为为x x米、篱笆长为米、篱笆长为2424米米 花圃宽为（花圃宽为（24244x4x）米）米 (3) (3) 墙的可用长度为墙的可用长度为8 8米米 Sx（244x） 4x224 x （0x6）当当x x4cm4cm时，时，S S最大值最大值32 32 平方米平方米(2)(2)当当x x 时，时，S S最大值最大值 3636（平方米）（平方米） 0244x 6 4x6ABCD例一养例一养鸡专业户计划用划用116m116m长的的篱笆笆围成如成如图所示的三所示的三间长方形方形鸡舍，舍，门MNMN宽2m2m，门PQPQ和和RSRS的的宽都是都是1

21、m1m，怎，怎样设计才能使才能使围成的成的鸡舍面舍面积最大？最大？ 变式变式： 小明的家门前有一块空地，空地外有一面长小明的家门前有一块空地，空地外有一面长1010米米的围墙，为了充分利用空间，小明的爸爸准备靠墙的围墙，为了充分利用空间，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形养鸡场，他买回了修建一个矩形养鸡场，他买回了3232米长的米长的篱笆笆准备准备作为养鸡场的围栏，为了喂鸡方便，准备在养鸡场作为养鸡场的围栏，为了喂鸡方便，准备在养鸡场的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右养鸡场的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右养鸡场各放一个各放一个1 1米宽的门（其它材料）。养鸡场的宽米宽的门（其它材料）。养

22、鸡场的宽ADAD究竟应为多少米才能使养鸡场的面积最大？究竟应为多少米才能使养鸡场的面积最大？BDAHEGFCBDAHEGFCBDAHEGFC解：设解：设AD=x,AD=x,则则AB=32-4x+3=35-4xAB=32-4x+3=35-4x 从而从而S=x(35-4x)-x=-4xS=x(35-4x)-x=-4x2 2+34x+34x AB10 6.25x AB10 6.25x S=-4x S=-4x2 2+34x+34x，对称轴，对称轴x=4.25,x=4.25,开口朝下开口朝下 当当x4.25x4.25时时S S随随x x的增大而减小的增大而减小 故当故当x=6.25x=6.25时，时，S

23、 S取最大值取最大值56.2556.25 BDAHEGFC何时窗户通过的光线最多1.1.某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半圆它的上半部是半圆, ,下下半部是矩形半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有的黑线图中所有的黑线的长度和的长度和) )为为15m.15m.当当x x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线最窗户通过的光线最多多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?xxy（1）列出二次函数的解析式，并根）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的据自变

24、量的实际意义，确定自变量的取值范围；取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。大值或最小值。最大利润问题，面积问题最大利润问题，面积问题一座拱桥的示意图如图，当水面在一座拱桥的示意图如图，当水面在 时，拱顶离水时，拱顶离水面面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，已知桥洞的拱形是抛物线，当，已知桥洞的拱形是抛物线，当水面下降水面下降1m1m时，水面宽度增加多少？时，水面宽度增加多少？xy0(2,-2)(-2,-2) 抛物线形拱桥，当水面在抛物线形拱桥，当水面在 时，时，拱顶离水面拱顶离水面

25、2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水面，水面下降下降1m1m，水面宽度增加多少？，水面宽度增加多少？xy0(2,-2)(-2,-2)解：设这条抛物线表示的二次解：设这条抛物线表示的二次函数为函数为 由抛物线经过点（由抛物线经过点（2，2），），可得可得 所以，这条抛物线的二次函数所以，这条抛物线的二次函数为：为：当水面下降当水面下降1m时，水面的纵时，水面的纵坐标为坐标为当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的，水面的宽度为宽度为 m水面的宽度增加了水面的宽度增加了m练习练习：1.你知道吗？平时我们在跳长绳时，绳甩到最高你知道吗？平时我们在跳长绳时，绳甩到最高处的形状可近似地

26、视为抛物线，如图所示，正在甩绳处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 4米，距地面均为米，距地面均为1 1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 1米、米、2.52.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是知学生丙的身高是1.51.5米，请你算一算学生丁的身高。米，请你算一算学生丁的身高。 1m2.5m4m1m甲乙丙丁oA AAB BBC CCD DD练习练习：2. 如图，一单杠高如图，一单杠高2.2米，两立柱米

27、，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。自然下垂呈抛物线状。一身高一身高0.70.7米米的小孩站在离立柱的小孩站在离立柱0.40.4米处，其头部米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。面的距离。 ABCD0.71.62.20.4EFOxy解二次函数应用题的一般步骤：解二次函数应用题的一般步骤：1 . 审题审题,弄清已知和未知。弄清已知和未知。2 . 将实际问题转化为数学问题。建立适将实际问题转化为数学问题。建立适当的平面直角坐标系当的平面直角坐标系小结反思小结反思3 .3 .根据题意找出点的坐标，求出抛物线根据题意找出点的坐标，求出抛物线根据题意找出点的坐标，求出抛物线根据题意找出点的坐标，求出抛物线 解析式解析式解析式解析式。分析图象分析图象分析图象分析图象( (并注意变量的取值范围并注意变量的取值范围并注意变量的取值范围并注意变量的取值范围), ), 解决实际问题。解决实际问题。解决实际问题。解决实际问题。4 .4 .返回实际背景检验返回实际背景检验返回实际背景检验返回实际背景检验。