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1、常用综合评价方法介绍近年来有关评价模型NBA赛程的分析与评价赛程的分析与评价 手机手机“套餐套餐”优惠几何优惠几何 长江水质评价与预测长江水质评价与预测 雨量预报方法的评价雨量预报方法的评价 一、综合评价的基本概念评价（evaluation）：所谓评价，即价值的确定，是通过对照某些标准来判断测量结果，并赋予这种结果以一定的意义和价值的过程。综合评价（syntheticalevaluation）：对一个复杂系统用多个指标进行总体评价的方法。一、综合评价的基本概念综合评价方法：又称为多变量综合评价方法、多指标综合评估技术。综合评价是对一个复杂系统的多个指标信息，应用定量方法（包括数理统计方法），对
2、数据进行加工和提炼，以求得其优劣等级的一种评价方法。一、综合评价的基本概念综合评价一般表现为以下几类问题： 分类对所研究对象的全部个体进行分类； 比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）； 考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。二、综合评价建模的一般步骤 1确定综合评价的目的 2确定评价指标和评价指标体系 3. 求单个指标的评价值4确定各个评价指标的权重 5. 求综合评价值2.指标的选取筛选评价指标主要依据专业知识，即根据有关的专业理论和实践，来分析各评价指标对结果的影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区别能力又相互独立的指标组成评价指标体系
3、。系统分析法（System review）和文献资料分析优选法是常用的评价指标筛选法。3.求单个指标的评价值1. 同向化处理将逆指标转换为正指标的方法通常有：转换为对应的正指标，如中间消耗率增加值率；倒数法：X1/X对于适度指标，通常根据实际值与适度值（K）的差距的倒数1（1|X-K|）。2. 归一化处理4. 权数的确定方法 按权数的表现形式分为：绝对数权数；比重权数。通常采用比重权数归一化权数。 按确定权数的方法分为：主观赋权法；客观赋权法。4. 权数的确定方法主观赋权法德尔菲法（专家法）德尔菲法（专家法）实际上各个专家可以根据自己的理解选择不同的方法相邻指标比较法相邻指标比较法；（先按重要
4、性将全部评价指标排序，再将相邻指标的重要性进行比较层次分析法（）层次分析法（）互反式两两比较构权法。4. 权数的确定方法权数的特性（指主观权数、人工权数） 重要性重要性权数是一种重要性程度的量化值。指权数是一种重要性程度的量化值。指对合成值的影响程度大小。重要性本身是个综合的对合成值的影响程度大小。重要性本身是个综合的概念，表现在多个方面，如可以是概念，表现在多个方面，如可以是“价值判断取向价值判断取向”上的重要性，也可以是合成时上的重要性，也可以是合成时“分辨能力（信息分辨能力（信息含量）高低含量）高低”的重要性，或的重要性，或“可靠度大小可靠度大小”的重要的重要性。性。模糊性模糊性重要性本
5、身就是个模糊的概念；习惯取重要性本身就是个模糊的概念；习惯取点值。人工性点值。人工性没有绝对的正确错误标准；只能没有绝对的正确错误标准；只能尽可能选择相对科学合理的权数。尽可能选择相对科学合理的权数。主观性主观性受评权者主观意识的影响受评权者主观意识的影响4. 权数的确定方法客观赋权法从指标的统计性质来考虑，它是由客观数据决定。客观定权法包括模糊定权法、秩和比法、熵权法和相关系数法等5. 合成方法合成方法 由单项评价值计算综合评价值的方法。1、算术平均法（加法合成、加减法合成）、算术平均法（加法合成、加减法合成）2、几何平均法（乘法合成、乘除法合成）、几何平均法（乘法合成、乘除法合成）3. 混
6、合合成法混合合成法3. 合成方法 1、 加权算术平均法的主要特点（1）对于数据的要求最宽松，用于合成的某一指标数值可以为0、为负；（2）各指标可以相互补偿（等量补偿），即此升彼降，总的评价值不变；（3）突出了评价分数较大、权数较大者的作用，适用于主因素突出性的评价；（对较大数值的变动更为敏感）。3. 合成方法2、几何平均法的主要特点（1）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，（2） 鼓励被评价对象在各方面全面发展，任一方也不能偏废。此合成方法督促“全面发展”，而不是靠重点倾斜的方法取胜；（3） 乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏感。三、综合评价的局限性综综合合评评价价方方法法很很多
7、多，各各种种方方法法得得出出的的结结果果不不可可能能完完全全相相同同，并且都带有一定的相对性和局限性。并且都带有一定的相对性和局限性。 （1）将将若若干干个个指指标标数数值值综综合合成成一一个个数数值值，损损失失了了原原有有指指标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；（2）主主观观性性很很强强，选选择择什什么么指指标标、选选择择多多少少指指标标，权权数数的分配都很主观；的分配都很主观；（3）评评价价的的结结果果不不具具有有惟惟一一性性。选选择择不不同同的的方方法法，可可能能有有不不同同的的结结果果，即即使使采采用用同同样样的的方方法法，由由于
8、于各各指指标标的的赋赋值不同、权重不同等，也有可能使评价结果不同。值不同、权重不同等，也有可能使评价结果不同。第二节 常用综合评价方法一、计分法二、综合指数法三、Topsis法四、秩和比(RSR)法五、层次分析(AHP)法六、模糊评价方法七、灰色系统评价方法八、多元统计分析方法一、计分法1. 综合计分法根据评价目的及评价对象的特征选定必要的评价指标逐个指标定出评价等级，每个等级的标准用分值表示以恰当的方式确定各评价指标的权数选定累计总分的方案以及综合评价等级的总分值范围，以此为准则，对评价对象进行分析和评价，以决定优劣取舍特点：简便易行，过于粗糙。一、计分法2. 排队计分法将评价单位的各项评价
9、指标依优劣秩序排队，再将名次（位置）转化为单项评价值，最后由单项评价值计算各单位的综合评价值（总分）。排队计分法的优缺点优点：简便易行，简便易行，勿须另寻比较标准；勿须另寻比较标准；各单项评价值有统一的值域；各单项评价值有统一的值域；适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据）适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据）缺点：原始数据信息的损失较大。原始数据信息的损失较大。二、综合指数法一个或一组变量对某特定变量值大小的相一个或一组变量对某特定变量值大小的相对数称指数，反映某一事物或现象动态变对数称指数，反映某一事物或现象动态变化的指数称个体指数，综合反映多种事物化的指数称个体指数，综合反映多种事物或
10、现象动态平均变化程度的指数称总指数，或现象动态平均变化程度的指数称总指数，综合指数编制总指数的基本计算形式，定综合指数编制总指数的基本计算形式，定量地对某现象进行综合评价的方法称综合量地对某现象进行综合评价的方法称综合指数法指数法个体指数的计算：个体指数的计算：高优指标的个体指数高优指标的个体指数p，为实测值，为实测值X与标准值与标准值M的商的商pX/M 低优指标的个体指数低优指标的个体指数 pM/X综合指数综合指数I较为复杂，没有统一的表达形式，常见的较为复杂，没有统一的表达形式，常见的有加权求和，算术平均，乘积法等有加权求和，算术平均，乘积法等二、综合指数法Ki为单项评价指数：综合评价指数
11、公式为： 评价指数可以为正指标，也可以为逆指标。但必须同向化。一般是把逆指标转化为正指标采用倒数法，此时，综合评价指数才是越大越好。二、综合指数法（举例：加权指数法）指标名称计量单位全 国标准数权数报告期指标值甲地区乙地区丙地区（甲）（乙）（1）（2）（3 ）（4）（5）社会总成本增加值社会总成本利税率社会劳动生产率商品流通费用率积累效果系数元/百元元/百元万元/人45202155030252551546252.2163548262.4183845211.81428试比较三个地区的综合经济效益。试比较三个地区的综合经济效益。二、综合指数法三个地区的综合经济效益指数分别为：三个地区的综合经济效益
12、指数分别为：=110.31% =116.67%=99.11%二、综合指数法三、Topsis法TOPSIS（Technique for order preference by similarity to ideal solution）法，即逼近理想解排序法，意为与理想方案相似性的顺序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。1. 设有设有n个评价对象、个评价对象、m个评
13、价指标，原始数据可写个评价指标，原始数据可写为矩阵为矩阵X(Xij)nm 2. 对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换 三、Topsis法3. 归一化得到矩阵归一化得到矩阵Z(Zij)nm，其各列最大、最小，其各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别记为值构成的最优、最劣向量分别记为Z(Zmax1 Zmax2 Zmaxm) Z(Zmin1 Zmin2 Zminm) 4. 第第i个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为5. 第第i个评价对象与最优方案的接近程度个评价对象与最优方案的接近程度Ci为为 三、Topsis
14、法例例4 某儿童医院某儿童医院19941998年年7项指标的实际值，用项指标的实际值，用Topsis法比较该医院这法比较该医院这5年的医疗质量年的医疗质量 年份出院人数病床使用率平均住院日病死率抢救成功率治愈好转率院内感染率19942158476.77.31.0178.397.52.019952437286.37.40.8091.198.02.019962204181.87.30.6291.197.33.219972111584.56.90.6090.297.72.919982463390.36.90.2595.597.93.6三、Topsis法变换后，得到矩阵变换后，得到矩阵 平均住院日、病
15、死率、院内感染率为低优指标，其余平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余为高优指标，同向化、归一化变换为高优指标，同向化、归一化变换 三、Topsis法计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为 Z(0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0.4487 0.5612)Z(0.4142 0.4081 0.4321 0.2024 0.3916 0.4455 0.3118)三、Topsis法计算各年与最优、最劣向量的距离（以计算各年与最优、最劣向量的距离（以94年为例）年为例）C10.2497/(0.62890.2
16、497)0.2842计算接近程度（以94年为例）年份D+D-Ci排序19940.62890.24970.2842319950.56400.27540.3281219960.53690.15140.2200519970.51410.17620.2552419980.24940.63020.71641可以看出，可以看出，1998 年综合效益最好，其次为年综合效益最好，其次为 1995年，年，随后为随后为 1994年、年、1997年，年，1996 年最差年最差 三、Topsis法四、秩和比(RSR)法是利用秩和比RSR（Rank-sum ratio）进行统计分析的一组方法。RSR是一个内涵较为丰富的
17、综合性指标，具有01连续变量的特征，它以非参数分析方法为基础，通过指标数（列）、分组数（行）作秩的转换，再运用参数分析的概念和方法研究RSR的分布，解决多指标综合评价问题。设有m个指标，对n组数据进行评价，形成n行m列的数据阵，则各行，其中为分别按列编秩后各行的秩次。最小RSR=1/n，最大RSR=1。四、秩和比(RSR)法分别对要评价的各项指标进行编秩计算各指标的秩和比（RSR）确定RSR的分布求回归方程排序分档四、秩和比(RSR)法采用秩和比法对某病区护士的4项考核指标进行综合评价业务考试成绩（X1）操作考核结果（X2）科内测评（X3）工作量考核（X4）四、秩和比(RSR)法第一步，分别对
18、要评价的各项指标进行编秩遇相等评分时，取平均等级。遇相等评分时，取平均等级。四、秩和比(RSR)法第二步，计算各指标的秩和比（RSR）其中：m为指标个数，n为分组数，Ri为各指标的秩次，RSR值即为多指标的平均秩次，其值越大越优四、秩和比(RSR)法四、秩和比(RSR)法四、秩和比(RSR)法第三步，确定RSR的分布RSR频数f累积频数 秩号范围 平均秩次 累积频率Y（概率单位）。Y为RSR的累积频率对应的概率单位值，Y=u+5，u标准正态分布的上分位点（= /n）四、秩和比(RSR)法RSR值正态性检验：Z=0.4772，双侧检验P=0.9767，说明RSR值呈正态分布第四步，求回归方程：R
19、SR=A+BY经相关和回归分析，应变量RSR 与自变量概率单位Y之间具有线性相关（r=0.9528）线性回归方程为：RSR=0.1877Y-0.4232F=59.078，P=0.0002说明所求线性回归方程有统计学意义四、秩和比(RSR)法第五步，根据RSR值排序分档最佳分类归档的涵义是各档方差一致，相差具有显著性。最佳分档准则为每档至少2例，尽量多分几组。最佳分档步骤，首先进行方差一致性检验，在方差一致的前提下，再作统计检验，方差分析结果判断各类间是否具有统计学差异，然后利用多重比较检验各类间差异是否显著。如果各类间的方差不一致或各类间的差异未达显著，则需考虑重新分档。 四、秩和比(RSR)
20、法将各护士护理考核指标合理分档，分差、良、优三档。四、秩和比(RSR)法经方差齐性检验X2=2.3006，P0.05，说明各档方差一致方差分析显示：F=22.9722,P=0.0030，说明各档间有显著差异两两比较，P0，（ii） （i, j = 1,2,n），）， 则称之称之为正互反矩正互反矩阵（易（易见aii =1, i = 1, , n）。）。五、层次分析法显然判断矩阵是正互反矩阵。从心理学从心理学观点来看，分点来看，分级太多会超越人太多会超越人们的判断能力，既增的判断能力，既增加了作判断的加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人等人还用用
21、实验方法比方法比较了在各种不同了在各种不同标度下人度下人们判断判断结果的正确果的正确性，性，实验结果也表明，采用果也表明，采用19标度最度最为合适。合适。如果在构造成如果在构造成对比比较判断矩判断矩阵时，确，确实感到感到仅用用19及其倒及其倒数数还不不够理想理想时，可以根据情况再采用因子分解聚，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，的方法，先比先比较类，再比，再比较每一每一类中的元素。中的元素。关于如何确定关于如何确定aij的的值，Saaty等建等建议引用数字引用数字19及其倒数作及其倒数作为标度。他度。他们认为，人，人们在成在成对比比较差差别时，用，用5种判断种判断级较为合适。即使用相等、合
22、适。即使用相等、较强强、强强、很、很强强、绝对地地强强表示差表示差别程度，程度，aij相相应地取地取1,3,5,7和和9。在成。在成对事物的差事物的差别介于两者之介于两者之间难以定以定夺时，aij可分可分别取取值2、4、6、8。五、层次分析法步步3 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响，较客观地反映出少其他因素的干扰影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果
23、是前后完全一致的，则性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵矩阵A的元素还应当满足：的元素还应当满足： i、j、k = 1,2,n 五、层次分析法满足该关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。满足该关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。定理定理 若若A A为一致矩一致矩阵，则（1）A必必为正互反矩正互反矩阵。（2）A的的转置矩置矩阵AT也是一致矩也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，从）大于零，从而而rank（A）=1（同（同样，A的任意两列也成比例）。的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根的最大特征根max=n，其中，其中n为矩矩阵A的
24、的阶。A的其余特征的其余特征根均根均为零。零。（5）若）若A的最大特征根的最大特征根max对应的特征向量的特征向量为W=（w1, wn）I，则aij=wi /wj， i,j = 1,2,n。定理定理 正互反矩正互反矩阵A的最大特征根的最大特征根max必必为正正实数，其数，其对应特征向量的所有特征向量的所有分量均分量均为正正实数。数。A的其余特征根的模均的其余特征根的模均严格小于格小于max。（。（证明从略）明从略）五、层次分析法定理定理 n阶正互反矩正互反矩阵A为一致矩一致矩阵当且当且仅当其最大特征根当其最大特征根 max=n，且当正互反矩，且当正互反矩阵A非一致非一致时，必有，必有maxn。
25、根据定理，我根据定理，我们可以由可以由max是否等于是否等于n来来检验判断矩判断矩阵A是否是否为一致矩一致矩阵。由于特征根。由于特征根连续地依地依赖于于aij，故，故max比比n大得越多，大得越多，A的非一致性的非一致性程度也就越程度也就越为严重，重，max对应的的标准化特征向量也就越不能真准化特征向量也就越不能真实地反映地反映出出X=x1,xn在在对因素因素Z的影响中所占的比重。因此，的影响中所占的比重。因此，对决策者提供决策者提供的判断矩的判断矩阵有必要作一次一致性有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。，以决定是否能接受它。 为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，确定多大程度的非一致
26、性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下等人采用了如下办法：法：（1）求出）求出 ，称，称CI为A的一致性指的一致性指标。容易看出，当且容易看出，当且仅当当A为一致矩一致矩阵时，CI = 0。CI的的值越大，越大，A的非一的非一致性越致性越严重。利用重。利用线性代数知性代数知识可以可以证明，明，A的的n个特征根之和等于其个特征根之和等于其对角角线元素之和（即元素之和（即n）故）故CI事事实上是上是A的除的除max以外其余以外其余n1个特征个特征根的平均根的平均值的的绝对值。若。若A是一致矩是一致矩阵，其余，其余n1个特征根均个特征根均为零，故零，故CI=0；否；否则，CI0，其，其值随随A非一
27、致性程度的加重而非一致性程度的加重而连续地增大。当地增大。当CI略大于零略大于零时（对应地，地，max稍大于稍大于n），），A具有具有较为满意的一致性；否意的一致性；否则，A的一致性就的一致性就较差。差。五、层次分析法（2）上面定）上面定义的的CI值虽然能反映出非一致性的然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明重程度，但仍未能指明该非一致性是否非一致性是否应当被当被认为是可以允是可以允许的。事的。事实上，我上，我们还需要一个度量需要一个度量标准。准。为此，此，Saaty等人又研究了他等人又研究了他们认为最不一致的矩最不一致的矩阵用从用从19及及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩其倒数中随机
28、抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子，取充分大的子样，求得最大，求得最大特征根的平均特征根的平均值 ， 并定并定义称称RI为平均随机一致性指平均随机一致性指标。对n =1,11,，Saaty给出了出了RI的的值，如表所示。，如表所示。N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51五、层次分析法（3）将）将CI与与RI作比作比较，定，定义称称CR随机一致性比率。随机一致性比率。经大量大量实例比例比较，Saaty认为，在，在CR0.10时可以可以认为判断矩判断矩阵具有具有较为满意的一致性，否意的一致性，否则就就应当重新当重新调整判断
29、矩整判断矩阵，直至具有直至具有满意的一致性意的一致性为止。止。综上所述，在步上所述，在步3中中应先求出先求出A的最大特征的最大特征根根max及及max对应的特征向量的特征向量W=（w1, wn）T，进行行标准化，准化，使得使得 。再再对A作一致性作一致性检验：计算算 ，查表得到表得到对应于于n的的RI值，求，求 ，若若CR0.1，则一致性一致性较为满意，以意，以 i作作为因子因子xi在上在上层因子因子Z中所具有中所具有的的权值。否。否则必需重新作比必需重新作比较，修正，修正A中的元素。只有在一致性中的元素。只有在一致性较为满意意时，W的分量才可用作的分量才可用作层次次单排序的排序的权重。重。五
30、、层次分析法现对本本节例例7.13（即合理利用利（即合理利用利润问题的例子）的例子）进行行层次次单排序。排序。为求出求出C1、C2、C3在目在目标层A中所占的中所占的权值，构造，构造OC层的成的成对比比较矩矩阵，设构造出的成构造出的成对比比较判断知判断知阵A=于是于是经计算，算，A的最大特征根的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得表得RI = 0.58，故，故CR = 0.033。因。因CR0.1，接受矩，接受矩阵A，求出，求出A对应于于max的的标准化准化特征向量特征向量W= ( 0.105, 0.637， 0.258)T，以，以W的分量作的分量作为C1、C2、C3在在目目
31、标O中所占的中所占的权重。重。311153C1C2C3C1 C2 C30五、层次分析法类似求措施似求措施层中的中的P1、P2在在C1中的中的权值，P2、P3在在 C2中的中的权值及及P1、P2在在C1中的中的权值： 1P231P1P2P1C113max=2，CI = CR = 0W = (0.75, 0.25)T15P31P2P3P2C215max=2，CI = CR = 0W = (0.167, 0.833)T1P221P1P2P1C312max=2，CI = CR = 0W = (0.66, 0.333)T五、层次分析法经层次单排序，得到图经层次单排序，得到图7.8。合理利用企业利润合理利
32、用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332五、层次分析法设上一上一层次（次（A层）包含）包含A1,Am共共m个因素，它个因素，它们的的层次次总排序排序权值分分别为a1,am。又。又设其后的下一其后的下一层次（次（B层）包含）包含n个因素个因素B1,Bn，它，它们关于关于Aj的的层次次单排序排序权值分分别为b1j,bnj（
33、当（当Bi与与Aj无关无关联系系时，bij = 0）。）。现求求B层中各因素关于中各因素关于总目目标的的权值，即求，即求B层各因素的各因素的层次次总排排序序权值b1,bn，计算按表算按表7.11所示方式所示方式进行行,即即 ，i =1,n。表表7.11bn mbn2bn1BnB2 mb22b21B2B1mb12b11B1B层总排序排序权值Ama m A2a 2A1a1层A层B步步4 层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验最后，在步骤（最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。素关于总
34、目标（最高层）的相对重要性权值。例如，例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施的例子，措施层层次次单排排序序权值的的计算如表算如表7.12所示。所示。 层C层PC1C2C3层P的的总排序排序权值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层次次总排序也需作一致性排序也需作一致性检验，检验仍象仍象层次次总排序那排序那样由高由高层到低到低层逐逐层进行。行。这是因是因为虽然各然各层次均已次均已经过层次次单排序的一致性排序的一致性检验，各成各成对比比较判断矩判断矩阵都已
35、具有都已具有较为满意的一致性。但当意的一致性。但当综合考察合考察时，各，各层次的非一致性仍有可能次的非一致性仍有可能积累起来，引起最累起来，引起最终分析分析结果果较严重的非一致重的非一致性。性。五、层次分析法设B层中与中与Aj相关的因素的成相关的因素的成对比比较判断矩判断矩阵在在单排序中排序中经一致性一致性检验，求得求得单排序一致性指排序一致性指标为CI(j)，(j =1,m)，相，相应的平均随机一致性指的平均随机一致性指标为RI(j) (CI(j)、RI(j)已在已在层次次单排序排序时求得求得)，则B层总排序随机一致性比排序随机一致性比率率为CR = 当当CR0，k=0。（步（步2）迭代计算
36、）迭代计算 ，k = 0,1,。若若 ，i = 1,n，则取则取W= 为为A的对应于的对应于max的特征向量的近似，的特征向量的近似，否则转步否则转步2。（步（步3） 将将 标准化，即求标准化，即求 其中其中 为为 的第的第i个分量。个分量。（步（步4）求）求max的近似的近似值对前面例子中的对前面例子中的OC判断矩阵，判断矩阵，若取若取 ， =0.001，利用幂法求近似特征向量如下：，利用幂法求近似特征向量如下：（第一次迭代）（第一次迭代） (0) = (0.511,3,1.444)T， = 4.955，求得，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）（第二次迭代
37、） (2) = (0.321,1.993,0.802)T， = 3.116，求得，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)T（第三次迭代）（第三次迭代） (3) = (0.316,1.925,0.779)T， = 3.02，求得，求得W(3) = (0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）（第四次迭代） (4) = (0.318,1.936,0.785)T， = 3.04，求得，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)T因因 ，取，取W = W(4)。进而，可求得。进而，可求得 。3、和积法、和积法（步（步1）将判断矩阵）将判断矩阵A的每一列标准化，
38、即令的每一列标准化，即令 , i, j =1, ,n令令 。（步（步2）将）将 中元素按行相加得到向量中元素按行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，i = 1, , n。（步（步3）将）将 标准化，得到准化，得到W，即，即 ，i = 1, , nW即为即为A的（对应于的（对应于max的）近似特征向量。的）近似特征向量。（步（步4）求最大特征根近似值）求最大特征根近似值 。仍以前面例子中的仍以前面例子中的OC判断矩阵为例：判断矩阵为例：按列标准化按列标准化 标准化标准化，以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一的非一致性越
39、弱相差越小，而当致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。为一致矩阵时两者完全相同。按行相加按行相加三、层次分析法应用举例三、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如何）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何将某些定性的量）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供加工整理，提出了一套系统分析
40、问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（策者个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（
41、或至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。例例7.14 招聘工作人员招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名
42、，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图7.9所示。所示。招聘人员综合情况招聘人员综合情况知识知识能力能力外表外表经经济济知知识识外外语语知知识识法法律律知知识识组组织织能能力力公公关关能能力力计计算算机机操操作作气气质质身身高高体体形形C层层B层层A层层0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而该单位领导认为，作为
43、外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立AB层成对层成对比较判断矩阵比较判断矩阵 求得求得max =3，CR = 0。1211121B1B2B3B3B2B1A类似建立似建立BC层之之间的三个成的三个成对比比较矩矩阵: 注：注：权系数是根据后面的系数是根据后面的计算添加上去的算添加上去的 1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W = (0.186,0.737,0.077)T = 3.047, = 3.047,
44、 CRCR = 0.08 = 0.08W = ( , , )TW = (0.738,0.168,0.094)T = 3.017, = 3.017, CRCR = 0.08 = 0.08经层次次总排序，可求得排序，可求得C层中各因子中各因子Ci在在总目目标中的中的权重分重分别为：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作九项指标作19级评分。设其得分为级评分。设其得分为X= (x1,x9)T，用公式
45、，用公式y = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4 + x5 + x6 )+ 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9 计算总得分，以计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。例例7.15 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某（挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所示所示。工作满意程度工作满意程度研究研究课题课题发展发展前途前途待待遇遇同事
46、同事情况情况地理地理位置位置单位单位名气名气工作工作1工作工作2工作工作3目标层目标层A准则层准则层B方案层方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案（方案层） 12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1
47、B3(层次次总排序排序)如表如表7.13所示。所示。 表表7.13准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气总排序权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30方案层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。（由于篇幅限。（由于篇幅限止，本例省略了一致性检验）止，本例省略了一致性检验）例例7.16 作品作品评比。比。 电影或文学作品评
48、奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为由此可求得由此可求得W = (0.158,0.187,0.656)T，CR = 0.048 ( 0.1)本例的本例的层次次结构模型如构模型如图7.11所示所示 电影或文学作品评比教育性艺术性娱乐性作品1作品n0.1580.1870.656在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。根据作品的得分数根据作品的得分数X = (x1, x2
49、, x3)T，利用公式，利用公式y = 0.158x1 + 0.187x2 +0.656x3 计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。读者不难看出，读者不难看出，A矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个评矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者的比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者的满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，A矩阵的建矩阵的建立应尽可能合理。立应尽可能合理。例例7.17 教师工作情况考评
50、。教师工作情况考评。某高校为了做好教师工作的综合评估，使晋级、奖励等尽可能科学合理，某高校为了做好教师工作的综合评估，使晋级、奖励等尽可能科学合理，构造了图构造了图7.12所示的层次结构模型。所示的层次结构模型。教育工作评估教育工作评估教教学学工工作作量量指指导导研研究究生生数数教教学学内内容容教教学学效效果果主主要要刊刊物物发发表表论论文文数数一一般般论论文文数数国国家家级级获获奖奖项项目目省省部部级级获获奖奖项项目目出出版版著著作作字字数数翻翻译译著著作作字字数数数量数量质量质量论文论文项目项目著作著作教学教学科研科研OA1A2B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10
51、图7.12在在C层中共列出了十项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示（如层中共列出了十项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示（如教学效果只能分为若干等级）。即使对于可以定量表示的指标，由于各指教学效果只能分为若干等级）。即使对于可以定量表示的指标，由于各指标具有不同的量纲，例如一篇论文并不等同于一个获奖项目，互相之间不标具有不同的量纲，例如一篇论文并不等同于一个获奖项目，互相之间不能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量。能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量。如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数。然后如可将每一指
52、标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数。然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权。再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权。在评估某教师时，只要根据该教师的各项指标，利用由层次分析得到的在评估某教师时，只要根据该教师的各项指标，利用由层次分析得到的评估公式计算其最终得分即可。评估公式计算其最终得分即可。上述诸例有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果上述诸例有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果关系，这些因果关系又可以分成若干个层次。同一层次中的各因素间相关系，这些因果关系又可以分成若干个层次。同一层次中的各因素
53、间相互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系。传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系。更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多的数学知识，本处不准备再作进一步的介绍，有兴趣的读者可以查阅有的数学知识，本处不准备再作进一步的介绍，有兴趣的读者可以查阅有关的书籍和文献。关的书籍
54、和文献。 设设U = u1, u2, , un 为为n种因素种因素( (或指标或指标),),V = v1, v2, , vm 为为m种评判种评判( (或等级或等级).). 由于各种因素所处地位不同由于各种因素所处地位不同, ,作用也不一样作用也不一样, ,可用权可用权重重A = (a1, a2, , an )来描述来描述, ,它是因素集它是因素集U 的一个模糊的一个模糊子集子集. .对于每一个因素对于每一个因素ui , ,单独作出的一个评判单独作出的一个评判 f (ui), ,可可看作是看作是U到到V 的一个模糊映射的一个模糊映射 f , ,由由 f 可诱导出可诱导出U 到到V 的的一个模糊关
55、系一个模糊关系 Rf , ,由由Rf可诱导出可诱导出U 到到V 的的一个模糊线性变一个模糊线性变换换TR(A)= A R = B, ,它是评判集它是评判集V 的一个模糊子集的一个模糊子集, ,即为综合评判即为综合评判. . ( (U, V, R ) )构成构成模糊综合评判决策模型模糊综合评判决策模型, , U, V, R是此是此模型的三个要素模型的三个要素. .六、模糊综合评判决策模糊综合评判决策的方法与步骤是：模糊综合评判决策的方法与步骤是： 建立因素集建立因素集U = u1, u2, , un 与决断集与决断集V = v1, v2, , vm. 建立模糊综合评判矩阵建立模糊综合评判矩阵.
56、. 对于每一个因素对于每一个因素ui , ,先建立单因素评判：先建立单因素评判：( (ri1, ri2, , rim) )即即rij(0(0rij1)1)表示表示vj对因素对因素ui所所作的评判作的评判, ,这样就得到单这样就得到单因素评判矩阵因素评判矩阵R =( (rij) )nm. . 综合评判综合评判. . 根据各因素权重根据各因素权重A =( (a1, a2, , an ) )综合评判综合评判: : B = A R = (b1, b2, , bm )是是V上的一个模糊子集上的一个模糊子集, ,根据运算根据运算的不同定义的不同定义, ,可得到不同的模型可得到不同的模型. . 模型模型：M
57、(,)主因素决定型主因素决定型bj = (airij), 1in ( j = 1, 2, , m ). 由于综合评判的结果由于综合评判的结果bj的值仅由的值仅由ai与与rij (i = 1, 2, , n )中的某一个确定中的某一个确定(先取小先取小, ,后取大运算后取大运算), ,着眼点是考虑主要因素着眼点是考虑主要因素, ,其他因素对结果影响不其他因素对结果影响不大大, ,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型模型：M ( , )主因素突出型主因素突出型bj = (ai rij), 1in ( j = 1, 2, , m ). M ( , )与模
58、型与模型M (,) 较接近较接近, 区别区别在于用在于用ai rij代替了代替了M (,) 中的中的airij . 在模型在模型M ( , )中中,对对rij乘以小于乘以小于1的权重的权重ai表明表明ai是在考虑多因素时是在考虑多因素时rij的修正值的修正值,与主要因素与主要因素有关有关,忽略了次要因素忽略了次要因素.模型模型： M(, )主因素突出型主因素突出型bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型也突出了主要因素也突出了主要因素. . 在实际应用中在实际应用中, ,如果主因素在综合评判中起如果主因素在综合评判中起主导作用主导作用, ,建议采纳建议采纳
59、, , 当模型当模型失效时失效时可采用可采用,.,.模型模型：M( , )加权平均模型加权平均模型bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型M( , )对所有因素依权重大小均对所有因素依权重大小均衡兼顾衡兼顾, ,适用于考虑各因素起作用的情况适用于考虑各因素起作用的情况. .例例1. 服装评判服装评判 因素集因素集U = u1( (花色花色), ), u2( (式样式样), ), u3( (耐穿程度耐穿程度), ), u4( (价格价格)； 评判集评判集V = v1( (很欢迎很欢迎), ), v2( (较欢迎较欢迎), ), v3( (不太欢迎不太欢迎),
60、 ), v4( (不欢迎不欢迎).). 对各因素所作的评判如下：对各因素所作的评判如下：u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)u2 ：(0.7, 0.2, 0.1, 0 )(0.7, 0.2, 0.1, 0 )u3 ：( 0, 0.4, 0.5, 0.1)( 0, 0.4, 0.5, 0.1)u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 )(0.2, 0.3, 0.5, 0 ) 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4), ,分分别用各种模型所作的评判如下：别用各种模型所作的评判如下：M(,)： B =
61、(0.2, 0.3, 0.4, 0.1)M( ,)： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03)M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2)M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04) 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.4, 0.35, 0.15, 0.1), ,分别用各种模型所作的评判如下：分别用各种模型所作的评判如下：M(,)： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1)M( ,)： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04)M(, )：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M(
62、 , )： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055)例例2. “晋升晋升”的数学模的数学模型型. . 以高校老师晋升教授为例：因素集以高校老师晋升教授为例：因素集U = 政治政治表现及工作态度表现及工作态度, ,教学水平教学水平, ,科研水平科研水平, ,外语水平外语水平,评判集评判集V= 好好, ,较好较好, ,一般一般, ,较差较差, ,差差. . 因素因素 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及工作态度政治表现及工作态度 4 2 1 0 04 2 1 0 0教学水平教学水平 6 1 0 0 0 6 1 0 0 0 科研水平科研水平 0 0 5 1 1 0
63、0 5 1 1 外语水平外语水平 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用分别用M(,)、 M( , )模型所作的评判模型所作的评判如下：如下： M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04)模糊数学方法中权重的确定方法模糊数学方法中权重的确定方法 在模糊综合评判决策中在模糊综合评判决策中, ,权重
64、是至关重要的权重是至关重要的, ,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用位或所起的作用, ,它直接影响到综合决策的结果它直接影响到综合决策的结果. . 凭经验给出的权重凭经验给出的权重, ,在一定的程度上能反映在一定的程度上能反映实际情况实际情况, ,评判的结果也比较符合实际评判的结果也比较符合实际, ,但它往往但它往往带有主观性带有主观性, ,是不能客观地反映实际情况是不能客观地反映实际情况, ,评判结评判结果可能果可能“失真失真”. . 加权统计方法加权统计方法因素因素 uj 权重权重 aij 1频数统计方法频数统计方法 (1)
65、(1) 对每一个因素对每一个因素uj , ,在在k个专家所给的权重个专家所给的权重aij中找出最大值中找出最大值Mj和最小值和最小值mj , ,即即Mj =maxaij|1 i k, j =1, 2 , n;mj =minaij|1 i k, j =1, 2 , n. . (2) (2) 选取适当的正整数选取适当的正整数p, ,将因素将因素uj所对应的权所对应的权重重aij从小到大分成从小到大分成p组组, ,组距为组距为( (Mj - - mj)/)/p. . (3) (3) 计算落在每组内权重的频数与频率计算落在每组内权重的频数与频率 (4) (4) 取最大频率所在分组的组中值取最大频率所在
66、分组的组中值( (或邻近的或邻近的值值) )作为因素作为因素uj的权重的权重. . (5) (5) 将所得的结果归一化将所得的结果归一化. .八、八、灰色关联分析法综合评价灰色关联分析法综合评价 利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设n个数据序列形成如下矩阵：其中 为指标的个数， 2确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作3对指标数据进行无量纲化 无量纲化后的数据序列形成如下矩阵： 常用的无量纲化方法有均值化法（见（123）式）、初值化法（见（124）
67、式）和 变换等或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值如80%转化为多少？可进行如下计算： 解之得，即80%转化为74逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值 即 （ , 为被评价对象的个数）5确定 与6计算关联系数 由（125）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数当用各指标的最优值 （或最劣值），构成参考数据列计算关联系数时，也可用改进的更为简便的计算方法：改进后的方法不仅可以省略第三步，使计算简便，而且避免了无
68、量纲化对指标作用的某些负面影响7计算关联序 对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：8如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即 9依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果2.2.灰色关联分析的应用举例灰色关联分析的应用举例 例1：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤2对原始数据经处理后得到以下数值，见下表 编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤1898752927
69、875738397966474688843658669838689576483确定参考数据列： 4计算 ， 见下表编号编号专业专业外语外语教学教学量量科研科研论文论文著作著作出勤出勤1101237022124161302032524311146351330061610422515求最值6依据（125）式， 取计算，得 同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.778 31.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636 40.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538 50.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778 60.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778 7分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）： 8如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号即
