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1、微积分的背景、发展与意义微积分的背景、发展与意义 1微积分的背景、发展与意义微积分的背景、发展与意义n微积分建立的时代背景和历史意义微积分建立的时代背景和历史意义n函数概念的建立与发展函数概念的建立与发展n极限与导数极限与导数n积分积分2第一节第一节 微积分建立的微积分建立的时代背景和历史意义时代背景和历史意义n古代至中世纪的有关工作古代至中世纪的有关工作n导致微积分创立的几类基本问题导致微积分创立的几类基本问题n1717世纪前期的工作世纪前期的工作n牛顿创建微积分的工作背景和大致过程牛顿创建微积分的工作背景和大致过程n莱布尼茨创建微积分的工作背景和大致莱布尼茨创建微积分的工作背景和大致过程过
2、程n牛顿、莱布尼茨工作的历史地位牛顿、莱布尼茨工作的历史地位n微积分的历史意义微积分的历史意义3古代至中世纪的有关工作古代至中世纪的有关工作n希腊人的有关工作希腊人的有关工作n中国古代的有关工作中国古代的有关工作n1414世纪的形态幅度研究世纪的形态幅度研究4导致微积分创立的几类基本问题导致微积分创立的几类基本问题n已已知知物物体体移移动动的的距距离离表表为为时时间间的的函函数数的的公公式式，求求物物体体在在任任意意时时刻刻的的速速度度和和加加速速度度；反反之之，已已知知物物体体运运动动的的加加速速度度表表为为时间的函数的公式，求速度和距离。时间的函数的公式，求速度和距离。n求曲线的切线。求曲
3、线的切线。n求函数的最大值和最小值。求函数的最大值和最小值。n求求曲曲线线长长；曲曲线线围围成成的的面面积积；曲曲面面围围成成的的体体积积；物物体体的的重重心心；一一个个体体积积相相当当大大的物体作用于另一物体上的引力。的物体作用于另一物体上的引力。51717世纪前期的工作世纪前期的工作n开开普普勒勒 (Kepler):(Kepler):测定定酒酒桶桶体体积的的新新方法方法 (1615) (1615)n罗伯伯瓦瓦尔尔 (Roberval):(Roberval):不不可可分分法法论 (1634)(1634)n卡卡瓦瓦列列利利（CavalieriCavalieri）：用用新新的的方方法法推推进连续
4、体体的的不不可可分分量量几几何何学学（16351635）；一一百百道道杂题（16391639）；六道几何六道几何练习题（16471647）61717世纪前期的工作世纪前期的工作nCavalieri Cavalieri 原原理理： (1)(1)如如果果两两个个平平面面片片处于于两两条条平平行行线之之间，并并且且平平行行于于这两两条条平平行行线的的任任何何直直线与与这两两个个平平面面片片相相交交，所所截截二二线段段长度度相相等等，则这两两个个平平面面片片的的面面积相相等等；(2)(2)如如果果两两个个立立体体处于于两两个个平平行行平平面面之之间，并并且且平平行行于于这两两个个平平面面的的任任何何平
5、平面面与与这两两个个立立体体相相交交，所所得得二二截截面面面面积相相等等，则这两两个个立立体体的的体体积相等。相等。71717世纪前期的工作世纪前期的工作n费尔尔马 (Fermat):(Fermat):求求极极大大值与与极极小小值的方法的方法 ( (写于写于16361636年以前年以前) )n托托里里切切利利 (Torricelli):(Torricelli):几几何何学学 (1644)(1644)n圣圣文文森森特特的的格格列列戈戈里里 (Gregory (Gregory of of St.Vincent)St.Vincent)：几何著作几何著作（16471647）n沃沃利利斯斯 (J.Wal
6、lis)(J.Wallis)：无无穷的的算算术（16551655）81717世纪前期的工作世纪前期的工作n格格列列戈戈里里 (James (James Gregory) Gregory) ：论圆和和双双曲曲线的的求求积 (1667)(1667)；几何的通用部分几何的通用部分 (1668) (1668)n巴巴罗 (I.Barrow):(I.Barrow):几几何何学学讲义 (1670(1670年出版年出版) )9牛顿创建微积分的牛顿创建微积分的工作背景和大致过程工作背景和大致过程n牛牛顿顿（I.Newton，16431727）的的生平和主要科学成就生平和主要科学成就n牛顿制定微积分的一般过程牛顿
7、制定微积分的一般过程10莱布尼茨创建微积分的莱布尼茨创建微积分的工作背景和大致过程工作背景和大致过程 n莱莱布布尼尼茨茨（G.W.LeibnizG.W.Leibniz，1646164617161716）的的生生平平、主主要要学学术术成成就就与与社社会活动会活动n莱布尼茨制定微积分的一般过程莱布尼茨制定微积分的一般过程n莱布尼茨与无穷小量莱布尼茨与无穷小量 11牛顿、莱布尼茨工作的历史地位牛顿、莱布尼茨工作的历史地位 n牛牛顿顿和和莱莱布布尼尼茨茨大大体体上上完完成成了了微微积积分分n牛顿和莱布尼茨微积分工作的比较牛顿和莱布尼茨微积分工作的比较n关于优先权的争议关于优先权的争议n微积分的发展微积
8、分的发展12微积分的历史意义微积分的历史意义n提提供供了了定定量量处理理与与运运动、变化化等等有有关关的的多种多种现实问题的的强强有力方法。有力方法。n解解析析几几何何与与微微积分分的的建建立立，标志志着着数数学学由由初初等等数数学学（常常量量数数学学）时期期向向变量量数数学学时期的重要期的重要转变。n以以极极限限方方法法为主主要要特特征征的的微微积分分方方法法蕴含着十分基本和重要的数学思想。含着十分基本和重要的数学思想。13微积分的历史意义微积分的历史意义n微微积分分的的建建立立，开开辟辟了了全全新新的的、广广阔的的数学数学领域，其后数学分析大厦逐步建立。域，其后数学分析大厦逐步建立。n微微
9、积分分的的建建立立，使使得得数数学学的的基基本本格格局局发生生了了变化化，在在这之之前前，数数学学主主要要有有代代数数（包包括括算算术）与与几几何何两两大大领域域，而而微微积分分的的建建立立，形形成成了了代代数数、几几何何与与分分析析三三足鼎立的局面。足鼎立的局面。14第二节第二节 函数概念的建立与发展函数概念的建立与发展 n函数概念的起源函数概念的起源n函数概念的演变函数概念的演变n启示启示15第二节第二节 函数概念的建立与发展函数概念的建立与发展 n函函数数概概念念是是现代代数数学学的的核核心心概概念念之之一一，在在现代代数数学学教教育育中中也也是是最最重重要要的的概概念念之之一一。自自从
10、从1717世世纪它它被被正正式式引引入入数数学学中中以以来来，对这个个概概念念的的明明确确化化及及推推广广受受到到了了极极大大的的注注意意。函函数数概概念念的的演演变，既既是是数数学学概概念念起起源源与与发展展的的典典型型例例子子，也也在在相相当当程程度度上上反反映映了数学本身的了数学本身的进步与步与发展。展。16函数概念的起源函数概念的起源n函函数数概概念念起起源源于于对运运动与与变化化的的定定量量研研究究，作作为一一个个明明确确的的数数学学概概念念，它它是是1717世世纪的的数数学学家家们引引入入的的，但但是是，与与之之相相关关的的问题和和方方法法却却至至少少可可以以追追溯溯到中世到中世纪
11、后期。后期。17函数概念的起源函数概念的起源n1414世世纪中中叶叶，法法国国数数学学家家奥奥雷雷姆姆 (N.Oresme(N.Oresme，约1323 1323 1382) 1382) 继续探探讨了了形形态幅幅度度问题，著著有有论均均匀匀与与非非均均匀匀的的强强度度，论质量量与与运运动的的构构型型 ( (写写于于13611361年年以以前前) ) ，论图线等等书，提提出出了了图线原原理理。论质量量与与运运动的的构构型型一一书中中隐含含了了与与函函数概念有关的某些基本思想。数概念有关的某些基本思想。18函数概念的起源函数概念的起源n函函数数概概念念是是17世世纪纪的的数数学学家家们们在在对对运
12、动的研究中逐渐形成的。运动的研究中逐渐形成的。n伽伽利利略略，巴巴罗罗，费费尔尔马马，笛笛卡卡尔尔，牛顿，格列戈利，莱布尼茨牛顿，格列戈利，莱布尼茨 19函数概念的起源函数概念的起源n伽伽利利略略 (Galileo (Galileo ) ) 创创立立近近代代力力学学的的著著作作两两门门新新科科学学一一书书，几几乎乎从从头头至至尾尾包包含含着着这这个个概概念念。他他用用文文字字和和比比例例的的语语言言表表达达相相当当于于我我们们今今天的函数关系的那些内容。天的函数关系的那些内容。20函数概念的起源函数概念的起源n1717世世纪纪引引入入的的绝绝大大部部分分函函数数，在在函函数数概概念念还还没没有
13、有被被充充分分认认识识以以前前，是是被被当当作作曲曲线线来来研研究究的的。与与此此同同时时，数数学学家家们们越越来来越越习习惯惯于于用用运运动动概概念念来引入旧的和新的曲线。来引入旧的和新的曲线。 21函数概念的起源函数概念的起源n“函函 数数 ”一一 词 最最 早早 出出 现 在在 莱莱 布布 尼尼 茨茨 （LeibnizLeibniz）16731673年年的的一一篇篇手手稿稿中中，作作为一一个个一一般般的的术语，表表示示与与曲曲线上上的的动点点相相应的的变动的的几几何何量量，或或者者更更一一般般地地，表表示示与与曲曲线有有联系系的的任任何何量量，例例如如，曲曲线上上点点的的坐坐标，曲曲线的
14、的斜斜率率，曲曲线的的曲曲率率半半径径等等。这一一术语又又出出现在在他他16921692年年和和16941694年年的的手手稿稿中中。16941694年年，雅雅各各伯伯努努利利（Jakob Jakob BernoulliBernoulli）在在同同样意意义上上使用了使用了这一一术语。22函数概念的演变函数概念的演变n从从 约 翰翰 伯伯 努努 利利 （ Johann Johann BernoulliBernoulli，17181718）到到布布尔尔巴巴基基学派学派23函数概念的演变函数概念的演变n约翰翰伯努利伯努利（17181718）：n“在在这里里，一一个个变量量的的函函数数是是指指由由这个
15、个变量量和和常常数数以以任任何何一一种种方方式式构构成成的的一一个个量量。”其其中中的的“任任何何方方式式”一一词，据据他他自自己己说是是包包括括代代数数式式和和超超越越式式而而言言，实际上上就就是是我我们所所说的解析表达式。的解析表达式。24函数概念的演变函数概念的演变n欧拉（欧拉（L.EulerL.Euler，微分学原理微分学原理1755):1755):n“如如果果某某些些量量以以如如下下方方式式依依赖于于另另一一些些量量，即即当当后后者者变化化时，前前者者本本身身也也变化化，则称称前前一一些些量量是是后后一一些些量量的的函函数数。这是是一一个个很很广广泛泛的的概概念念，它它本本身身包包含
16、含各各种种方方式式，通通过这些些方方式式，使使得得一一些些量量得得以以由由另另一一些些量量所所确确定定。因因此此，若若以以 x x记一一个个变量量，则所所有有以以任任何何方方式式依依赖于于 x x的的量量或或由由 x x所确定的量都称做所确定的量都称做 x x的函数。的函数。”25函数概念的演变函数概念的演变n拉克鲁瓦（拉克鲁瓦（LacroixLacroix，17971797）: : n“每每一一个个量量，若若其其值依依赖于于一一个个或或几几个个别的的量量，就就称称它它为后后者者 ( (这个个或或这些些量量) ) 的的函函数数，不不管管人人们知知不不知知道道用用何何种种必必要要的运算可以从后者
17、得到前者。的运算可以从后者得到前者。”26函数概念的演变函数概念的演变n狄里希来（狄里希来（DirichletDirichlet，18371837）: : n“让我我们假假定定 a a和和 b b是是两两个个确确定定的的值， x x是是一一个个变量量，它它顺序序变化化取取遍遍 a a和和 b b之之间所所有有的的值。于于是是，如如果果对于于每每一一个个 x x，有有唯唯一一的的一一个个有有限限的的 y y以以如如下下方方式式同同它它对应，即即当当 x x从从 a a连续地地通通过区区间到到达达 b b时，y y f(x) f(x) 也也类似似地地顺序序变化化，那那么么 y y就就称称为该区区间
18、中中 x x的的连续函函数数。”27函数概念的演变函数概念的演变n“而而且且，完完全全不不必必要要求求 yy在在整整个个区区间中中按按同同一一规律律依依赖于于 x; x; 确确实，没没有有必必要要认为函函数数仅仅是是可可以以用用数数学学运运算算表表示示的的那那种种关关系系。按按几几何何概概念念讲， x x和和 y y可可以以想想象象为横横坐坐标和和纵坐坐标，一一个个连续函函数数呈呈现为一一条条连贯的的曲曲线，对 a a和和 b b之之间的的每每个个横横坐坐标，曲曲线上上仅有有一一个个点点与与之之对应。”28函数概念的演变函数概念的演变n戴德金（戴德金（R.DedekindR.Dedekind，
19、18871887）：）：n“系系统 S S上上的的一一个个映映射射蕴含含了了一一种种规则，按按照照这种种规则， S S中中每每一一个个确确定定的的元元素素 s s都都对应着着一一个个确确定定的的对象象，它它称称为 s s的的映映像像，记作作 (s) (s) 。我我们也也可可以以说，(s) (s) 对应于于元元素素 s s，(s) (s) 由由映映射射作作用用于于 s s而而产生生或或导出出；s s经映映射射变换成成(s)(s)。”29启示：数学概念演进的启示：数学概念演进的一个典型个例一个典型个例 n16161717世纪世纪: : 函数概念的起源函数概念的起源n1818世纪世纪: : 大多数数
20、学家相信一个函数大多数数学家相信一个函数必须处处都有相同的解析表达式必须处处都有相同的解析表达式n1919世纪世纪: : 数学分析严格化过程中的函数学分析严格化过程中的函数概念数概念n2020世纪初世纪初: : 由集合论改进的函数概念由集合论改进的函数概念30第三节第三节 极限与导数极限与导数 n极限思想极限思想n导数概念导数概念31极限思想极限思想n逼近思想的起源与发展逼近思想的起源与发展n无穷小方法无穷小方法n牛顿极限思想的演变牛顿极限思想的演变n莱布尼茨的有关工作莱布尼茨的有关工作n1818世纪的状况世纪的状况n1919世纪：极限理论的确立世纪：极限理论的确立n极限思想在近现代数学中的意
21、义极限思想在近现代数学中的意义32逼近思想的起源与发展逼近思想的起源与发展n埃及人的圆面积计算埃及人的圆面积计算n希腊：割圆术与穷竭法希腊：割圆术与穷竭法n阿基米德的有关工作阿基米德的有关工作n中国：刘徽与祖冲之父子中国：刘徽与祖冲之父子33无穷小方法：无穷小方法：1616世纪后期至世纪后期至1717世纪中叶世纪中叶34牛顿极限思想的演变牛顿极限思想的演变35莱布尼茨的有关工作莱布尼茨的有关工作361818世纪的状况世纪的状况371919世纪：极限理论的确立世纪：极限理论的确立38极限思想在近现代数学中的意义极限思想在近现代数学中的意义39导数概念导数概念n导数概念的现实背景导数概念的现实背景n早期的有关工作早期的有关工作n牛顿、莱布尼茨：导数概念的起源牛顿、莱布尼茨：导数概念的起源n1919世纪：导数概念的严格化世纪：导数概念的严格化40第四节第四节 积分积分n古代的面积与体积计算古代的面积与体积计算n牛顿时代牛顿时代n1919世纪：黎曼积分及其他世纪：黎曼积分及其他n现代：测度与积分现代：测度与积分41
