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1、第三章第三章 证明证明(三三)第二节第二节 等腰梯形的性质与判定等腰梯形的性质与判定一一.梯形的定义梯形的定义一组对边一组对边平行平行而另一组对边而另一组对边不平行不平行的四边形叫做梯形的四边形叫做梯形.如图如图,平行的两边平行的两边叫做梯形的底叫做梯形的底,其中较短的底叫做上其中较短的底叫做上底底,较长的底叫做下底较长的底叫做下底.不平行的两边不平行的两边叫做腰叫做腰,夹在两底之间的夹在两底之间的垂线段垂线段叫做梯形叫做梯形的高。的高。底底底底腰腰腰腰高高一组对边平行而一组对边平行而另一组对边不平行另一组对边不平行四边形四边形梯形梯形有一个角是直角有一个角是直角直角梯形直角梯形两腰相等两腰相
2、等等腰梯形等腰梯形如图如图1,两条腰相等的梯形叫做等腰梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.图图1ABCD如图如图2,一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.图图2ABCD二、等腰梯形的性质二、等腰梯形的性质二、等腰梯形的性质二、等腰梯形的性质(1)两底平行两底平行,两腰相等两腰相等 ADBC, AB=CD(2)同底上两角相等同底上两角相等A= D, B= C(3)对角线相等对角线相等 AC=BD(4)是轴对称图形是轴对称图形ABCD证明：等腰梯形：等腰梯形同一底上两个角相等同一底上两个角相等已知：如图，在梯形已知：如图，在梯形ABCD中，中， ADBC, AB=CD.求
3、证：求证：A= D, B= C.证明：如图，过点D作DE/AB，交BC于点E，则1=B.AD/BC, DE/AB.四边形ABED是平行四边形.AB=DE(平行四边形对边相等).AB=DC(已知）DE=DC（等量代换）1=C（等边对等角） B =C （等量代换）A+B=180，ADC+ C =180 A= ADC（等角的补角相等）EABCD1辅助线：平移一腰平移一腰EABCDF证明2：分别过点A、D作AEBC，DFBC，垂足为E、F. 则AE=DF， AEB= DFC=90，在 RtABE和 RtDCF 中 AB=CD, AE=DF RtABE RtDCF(HL) B =C(全等三角形对应角相等
4、)A+B=180，ADC+ C =180 A= ADC（等角的补角相等） 辅助线：作高作高证明：等腰梯形：等腰梯形同一底上两个角相等同一底上两个角相等证明：等腰梯形的两条：等腰梯形的两条对角线相等对角线相等ABCD已知：如图，在梯形已知：如图，在梯形ABCD中，中， ADBC, AB=CD.求证：求证：AC=BD证明：如图，在梯形在梯形ABCD中，中， ADBC, AB=CD ABC= DCB（等腰梯形等腰梯形同一底上两个角相等同一底上两个角相等）在ABC和DCB中 AB=CD， ABC= DCB，BC=CB. ABCDCB(SAS) AC=BD等腰梯形的判定方法等腰梯形的判定方法1、定义法：
5、定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。两条腰相等的梯形是等腰梯形。2、定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。3、定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。、定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形已知：如图，已知：如图，已知：如图，已知：如图， 在梯形在梯形在梯形在梯形ABCDABCD中，中，中，中，ADADBCBC，B=B=C C。求证：梯形求证：梯形求证：梯形求证：梯形ABCDABCD是等腰梯形。是等腰梯形。是等腰梯形。是等腰梯形。ABCDE1证明：如图，过点D作DE/AB，交
6、BC于点E，则1=B.AD/BC, DE/AB.四边形ABED是平行四边形.AB=DE(平行四边形对边相等). B =C 1=CDE=DC（等角对等边） AB=DC（等量代换）梯形ABCD是等腰梯形辅助线：平移一腰平移一腰EABCDF证明2：分别过点A、D作AEBC，DFBC，垂足为E、F. 则AE=DF， AEB= DFC=90，在 RtABE和 RtDCF 中 B= C, AEB= DFC=90， AE=DF RtABE RtDCF(AAS) AB=CD(全等三角形对应边相等)辅助线：作高作高定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形ABCDE
7、12证明3：延长BA，CD相交点E. B =C BE=CE(等角对等边) 1 =B, 2 =C (两直线平行，同位角相等) 1 =2 （等量代换） AE=DE(等角对等边) BE -AE=DE-CE即AB=DC梯形ABCD是等腰梯形作辅助线：延长两腰延长两腰对角线相等的梯形是等腰梯形。对角线相等的梯形是等腰梯形。辅助线：平移对角线平移对角线梯形问题中经常用到的辅助线梯形问题中经常用到的辅助线: :如图示如图示:学习了本节课学习了本节课, ,你有什么收获你有什么收获? ?1.梯形的定义及类型梯形的定义及类型：一组对边平行而一组对边平行而另一组对边不平行另一组对边不平行四边形四边形梯形梯形有一个角是直角有一个角是直角直角梯形直角梯形两腰相等两腰相等等腰梯形等腰梯形2.等腰梯形的性质等腰梯形的性质(1)两底平行两底平行,两腰相等两腰相等(2)同底上两角相等同底上两角相等(3)对角线相等对角线相等(4)是轴对称图形是轴对称图形ABCD3.等腰梯形的判定等腰梯形的判定（1）定义法：定义法：两条腰相等的梯形是等腰梯形。两条腰相等的梯形是等腰梯形。（2）定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。定理：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。（3）定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。）定理：对角线相等的梯形是等腰梯形。
