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1、第三章第三章 静电能静电能 3.1 真空中点真空中点电荷荷间的相互作用能的相互作用能 3.2 连续电荷分布的静荷分布的静电能能 3.3 电荷体系在外荷体系在外电场中的静中的静电能能 3.4 电场的能量和能量密度电场的能量和能量密度*3.5 非非线性介性介质及及电滞滞损耗耗*3.6 利用静利用静电能求静能求静电力力能量的基本概念能量的基本概念一、一、引入的目的引入的目的： 1. 能量是物质的共同属性能量是物质的共同属性，是物质运动的普遍量度是物质运动的普遍量度； 2. 能量守恒定律能量守恒定律是最有意义、最有用的发现之一；是最有意义、最有用的发现之一； 3. 便于研究不同形式能量的转换。便于研究
2、不同形式能量的转换。二、二、特点特点： 1. 是状态的单值函数是状态的单值函数, , 属于整个系统；属于整个系统； 2. 能量差能量差才有意义；才有意义； 3. 用做功来量度能量。用做功来量度能量。三、三、描述的方法描述的方法： 要要引入引入状态参量，状态参量，规定规定零点能，然后用零点能，然后用做功做功来计算来计算 能量。能量。 建立一个带电系统的过程中，建立一个带电系统的过程中，总伴随着总伴随着电荷相对运动电荷相对运动，需要外力克服电荷间的相互，需要外力克服电荷间的相互作用而作功。作用而作功。外力作功外力作功所消耗的能量所消耗的能量将转换将转换为为带电系统的能量带电系统的能量，该能量该能量
3、定义为定义为带电系统带电系统的静电能的静电能。显然，静电能应由系统的电荷分。显然，静电能应由系统的电荷分布决定。布决定。 例如，第一章中已讲到的例如，第一章中已讲到的点电荷在外电点电荷在外电场中的场中的电势能电势能就是就是静电能静电能。 定义定义3.1 真空中点电荷间真空中点电荷间 的相互作用能的相互作用能n设想设想空间中有多个点电荷空间中有多个点电荷, , 其带电量用其带电量用 qi 表表示示, , 相应的位置用相应的位置用 ri 表示表示, , 任意两个点电荷任意两个点电荷间的距离可以由间的距离可以由 rijij= =| |rijij| |= =| |rj j-ri i| |给出给出, ,
4、所谓所谓点电荷之间的相互作用能点电荷之间的相互作用能，指的是与，指的是与点电荷点电荷间的相对位置有关的静电能间的相对位置有关的静电能。n状状态参量参量取取为rijij（i, j = 1,2,N），）， 时，它们之间的静电相互作用消失，它们之间的静电相互作用消失，很自然很自然地取地取这时的的相互作用能相互作用能为零零。 n我们用一种我们用一种类似于数学归纳法类似于数学归纳法的办法来计算的办法来计算由由N N个点电荷组成的静电体系的静电能个点电荷组成的静电体系的静电能. . 两个点电荷时两个点电荷时n一个点电荷一个点电荷q在电场在电场U中的电势能中的电势能W=qUn设设电场电场U是由另一个点电荷是
5、由另一个点电荷Q产生的产生的, , 于是点电于是点电 荷荷q具有的电势能可以写作具有的电势能可以写作 同样地同样地, , 上式也表示了上式也表示了Q在在q q的电场中的电势能；的电场中的电势能； 这电势能这电势能W属于属于点电荷点电荷q与与Q组成的系成的系统。n当两个点电荷当两个点电荷分别分别为为q q1 1和和q q2 2时时, , 静电能为：静电能为： 同样地同样地, , 可将可将两个点电荷两个点电荷的静电能记为的静电能记为W2 , ,为方便为方便写成：写成：n三三个点电荷的静电能个点电荷的静电能记为记为W3 ，便便为： 于是可写成：于是可写成： U 代入代入W ：对对N N个点电荷系统个
6、点电荷系统：同理，将同理，将U 代入代入W 得：得：对对N+1N+1个点电荷系统个点电荷系统，可证（见书，可证（见书p68）：）：3.2 连续电荷分布的静电能连续电荷分布的静电能 首先讨论空间首先讨论空间只有自由电荷只有自由电荷的情形，这的情形，这意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒等意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒等于于 的物体（包括真空）存在。的物体（包括真空）存在。 1. 先考虑体电荷分布先考虑体电荷分布的情况，电荷密的情况，电荷密度设为度设为 。将该。将该体电荷无限分割体电荷无限分割并把每一小并把每一小部分当作点电荷处理，则部分当作点电荷处理，则由前页结论可得由前页结论可得：U
7、1(r)表示除表示除 外其余所有电荷在外其余所有电荷在r处处产生的电势。产生的电势。 (3.2.1) 分析分析U1(r)和总电势和总电势U(r)的关系。的关系。设设dV为一球体为一球体元元，由第由第1.7节例节例1.11的结果的结果( (P28) )，取，取R1 = 0，R2 = a。可求得电荷密度为可求得电荷密度为 、半径为、半径为a的均匀带的均匀带电球体在球内产生的电势为：电球体在球内产生的电势为：它在球心处取极大值它在球心处取极大值 ，故当，故当 时有时有 即即 。于是，。于是， U1(r) U(r)(3.2.2) 2. 对面电荷分布的情形对面电荷分布的情形，设面电荷密度，设面电荷密度为
8、为 。类似类似，将面电荷无限，将面电荷无限分割为圆状面电分割为圆状面电荷元荷元 ，它在自身产生的电势不会大于，它在自身产生的电势不会大于 （a为面元半径，为面元半径，见见P26的的第第1.7节例节例1.10），该电势随），该电势随 ( )而趋于零。而趋于零。于是于是 ，U1(r) U(r) ，其静电能为：，其静电能为：(3.2.3)3. 线电荷分布的情况线电荷分布的情况，不能不能将静电能写为：将静电能写为：或或因为因为 在自身所在处产生的电势不仅不趋在自身所在处产生的电势不仅不趋于零，而且会按于零，而且会按 （r为离线元为离线元dl的垂直距离）的垂直距离）趋于无穷。进一步，可证趋于无穷。进一步
9、，可证U1(l)也会趋于无穷大。也会趋于无穷大。这在这在物理上意味着物理上意味着：要把电荷从极端分散状态压：要把电荷从极端分散状态压缩到一条几何线上，外界需要作无穷大的功。这缩到一条几何线上，外界需要作无穷大的功。这显然是办不到的。因此，在计算静电能时，显然是办不到的。因此，在计算静电能时，无论无论线径怎样小的带电体线径怎样小的带电体均不能均不能当作线电荷处理当作线电荷处理。 4. 多个带电体组成的系统多个带电体组成的系统的静电能。设有的静电能。设有N个个带电体带电体，体积分别为，体积分别为V1，V2，VN。可将空。可将空间的间的总电势总电势U(r)分为两部分分为两部分(请思考！为什麽请思考！
10、为什麽?)式中式中Ui (r)表示除第表示除第i个带电体外其余所有带电体个带电体外其余所有带电体在在 r 处产生的电势，处产生的电势， 则表示第则表示第i个带电体个带电体在在 r 处产生的电势。按照前述结论，可得：处产生的电势。按照前述结论，可得： 可写成：可写成：其中，其中，叫叫自能自能叫叫互能互能点电荷间点电荷间、线电荷间线电荷间可以计算可以计算互能互能。但是，不。但是，不能计算点电荷、线电荷的自能（为无穷大）。能计算点电荷、线电荷的自能（为无穷大）。例例3.1求体电荷密度为求体电荷密度为 、半径为、半径为R 的均匀带电的均匀带电球的静电能（带电体的介电常量设为球的静电能（带电体的介电常量
11、设为 ）。）。解解以球心为原点，取球坐标（以球心为原点，取球坐标（ ）。）。根据第根据第一章一章1.7节例节例1.11的结果的结果取取R1 = 0，R2 = R，可得：，可得：于是，积分得：于是，积分得：当当 固定时固定时，We将随将随 而趋于零而趋于零。 如果如果用总电量用总电量 表示，上述结果可写成：表示，上述结果可写成：这时这时若固定若固定q，令，令 ，则，则 ，即，即点电荷的自能发散点电荷的自能发散。5. 对带电导体对带电导体，静电能公式可进一步简化。，静电能公式可进一步简化。导体的特点是导体的特点是电荷分布在外表面电荷分布在外表面，整个导体是等整个导体是等势体势体。当求。当求 N 个
12、带电导体组成的体系的静电能个带电导体组成的体系的静电能时，应用前式可得如下结果：时，应用前式可得如下结果： 式中式中qi和和Ui为第为第 i 个导体的电量和电势。个导体的电量和电势。 例例3.2一孤立带电导体球电量为一孤立带电导体球电量为q，半径为，半径为R，求其静电能。，求其静电能。解解对孤立导体球有对孤立导体球有U = q/C， 。应用上式得：应用上式得：与例与例3.1的结果比较可知，对电量及半径相同的带电球，的结果比较可知，对电量及半径相同的带电球，其其静电自能与电荷分布有关静电自能与电荷分布有关。电荷集中分布于球面比。电荷集中分布于球面比均匀分布于整个球体的自能要小。均匀分布于整个球体
13、的自能要小。如果如果假设电子的能量假设电子的能量 全部来自静电自能全部来自静电自能We，并取并取 ，则可求得电子的半径：，则可求得电子的半径：re称为称为电子的经典半径电子的经典半径。当然，电子的实际半径比。当然，电子的实际半径比re要小得多，因此不能作以上假设。要小得多，因此不能作以上假设。 电容器充电时电源做功电容器充电时电源做功例例3.3求平行板电容器的静电能公式。求平行板电容器的静电能公式。解解如上页图如上页图所示，极板间的均匀各向同性电介质的所示，极板间的均匀各向同性电介质的介电常量为介电常量为 ，极板面积为，极板面积为S，两极板间的间距为，两极板间的间距为d。接。接通电源后，极板带
14、电分别为通电源后，极板带电分别为Q1和和Q2，且，且Q2 = - Q1 = Q；两极板电势分别为两极板电势分别为U1和和U2，电势差为，电势差为U = U2 -U1。 分析电容器充电过程分析电容器充电过程，电源对电容器作功，使电源能，电源对电容器作功，使电源能量转化为电容器的静电能。在量转化为电容器的静电能。在q由由0增至增至Q的过程中，电的过程中，电源作功为：源作功为：或写成：或写成：这与前面的普适公式的结果一致（两极板组合体系）。这与前面的普适公式的结果一致（两极板组合体系）。考虑线形无损考虑线形无损耗介质，能量耗介质，能量守恒守恒*6.简单介绍简单介绍空间存在电介质空间存在电介质的情形，
15、我们限于的情形，我们限于线性无损耗介质线性无损耗介质。对于这种情形，随着自由电荷的搬。对于这种情形，随着自由电荷的搬运和电场的建立，介质将会产生极化并出现极化电荷。运和电场的建立，介质将会产生极化并出现极化电荷。 一种一种简单而自然的而自然的办法法是把极化是把极化电荷和自由荷和自由电荷荷同等看待，将看成是同等看待，将看成是总电荷密度荷密度 ，即自由，即自由电荷密荷密度度 和极化和极化电荷密度荷密度 之和，然后按前式定之和，然后按前式定义系系统的能量，即：的能量，即： 式中式中V0和和V 分别分别表示自由电荷和极化电荷所在的空间表示自由电荷和极化电荷所在的空间区域。我们将上面定义的能量记为区域。
16、我们将上面定义的能量记为We0，并把它称作，并把它称作系系统的统的“宏观静电能宏观静电能”，它，它可以理解为可以理解为在建立宏观电荷在建立宏观电荷分布分布 和和 过程中系统所贮存的静电能。过程中系统所贮存的静电能。 *从另一个角度来分析从另一个角度来分析，系统的能量，系统的能量We应等于在建应等于在建立该指定状态过程中外界对系统所作的功立该指定状态过程中外界对系统所作的功A，即：，即：We0 是否等于是否等于We 呢？呢？否否理由在于理由在于，在介质中建立电场时，外界，在介质中建立电场时，外界不仅要不仅要克服宏克服宏观电荷（包括自由电荷和极化电荷）之间的静电力作观电荷（包括自由电荷和极化电荷）
17、之间的静电力作功，功，而且要而且要克服分子内部（对位移极化情形）或分子克服分子内部（对位移极化情形）或分子之间（对取向极化情形）的相互作用作功。之间（对取向极化情形）的相互作用作功。第一部分第一部分功转化为系统的宏观静电能功转化为系统的宏观静电能We0；第二部分第二部分功称为功称为“极化功极化功”，它使介质极化，它使介质极化。对线性无损耗介质，通过极化功转换到介质的能量称对线性无损耗介质，通过极化功转换到介质的能量称为极化能，记为为极化能，记为 。所以：。所以： *例如例如 填充了均匀介质的平行板电容器（见右下图）填充了均匀介质的平行板电容器（见右下图），极板自由面电荷，极板自由面电荷 和介质
18、极化面电荷和介质极化面电荷 对宏观静对宏观静电能电能We0都有贡献；而介质体内都有贡献；而介质体内 ，虽然对，虽然对We0无无贡献，贡献，但但介质内部介质内部那些因极化发生变形或改变排列状那些因极化发生变形或改变排列状态的原子、分子也贮存了一部分能量，并造成态的原子、分子也贮存了一部分能量，并造成 ，它，它们相当于极化能们相当于极化能 。 电容器充电时电源作功电容器充电时电源作功 一定的电场一定的电场对应于对应于一定的一定的介质极化状态介质极化状态。与此相应，。与此相应，宏观静电能宏观静电能与与极化能极化能存在着存在着密切的关系密切的关系。正如前页所述，。正如前页所述，可定义系统的静电能为：可
19、定义系统的静电能为：在这种定义下，在这种定义下，外界作功正外界作功正好等于系统静电能的变化好等于系统静电能的变化。 *例例3.3启发我们，启发我们，系统的静电能系统的静电能可用自由电荷与总可用自由电荷与总电势来表达。可以一般地证明（电势来表达。可以一般地证明（参见本书下册第二参见本书下册第二章章P64）为：）为： 进一步可推出进一步可推出极化能极化能的表达式：的表达式：式中右边的式中右边的负号负号正好表示系统（即电场）对极化电荷正好表示系统（即电场）对极化电荷作功，而不是外界克服静电力作功。作功，而不是外界克服静电力作功。 物理解释物理解释：上式表示，外界在移动自由电荷过程中克：上式表示，外界
20、在移动自由电荷过程中克服静电力作功，即服静电力作功，即对电场作功对电场作功，转化为系统的静电能。，转化为系统的静电能。注意注意：U（r）为总电势，自由电荷和极化电荷对它都）为总电势，自由电荷和极化电荷对它都有贡献。有贡献。 3.3 电荷体系在外电场中电荷体系在外电场中 的静电能的静电能 当当已知外场已知外场U时时 ，点电荷点电荷q 在在U中的电势能可中的电势能可 以以直接计算直接计算： We是是q 在外场在外场U 中的静电能，中的静电能，属于属于相互作用能相互作用能。 当电荷体系为当电荷体系为N个点电荷个点电荷q1，q2，qN构成的构成的点电荷系统时，它在外电场点电荷系统时，它在外电场U中的静
21、电能为：中的静电能为： 电荷密度为电荷密度为 、体积为、体积为V 的的带电体带电体，在外，在外 电场电场U中的静电能应为：中的静电能应为：例例3.4求电偶极子在外电场中的静电能公式。求电偶极子在外电场中的静电能公式。解解设电偶极子的电偶极矩为设电偶极子的电偶极矩为p = q l，则由上，则由上式可算得它在外电场式可算得它在外电场E 中的静电能为：中的静电能为：即即这也是电偶极子这也是电偶极子p在外场在外场E中的中的电势能电势能。3.4 电场的能量和能量密度电场的能量和能量密度n静电能贮存在哪里？静电能贮存在哪里？ 前面导出的静电能公式都与电荷相联系。前面导出的静电能公式都与电荷相联系。这给人一
22、种印象，似乎静电能只贮存在电荷上；这给人一种印象，似乎静电能只贮存在电荷上；而电荷周围的空间而电荷周围的空间存在电场，其静电能为存在电场，其静电能为零！这是早期零！这是早期“超距作用超距作用”的观点。的观点。 其后人们发现能量应当贮存在电场中，其后人们发现能量应当贮存在电场中，电相互作用是通过电场传递，同时应传递能量，电相互作用是通过电场传递，同时应传递能量，这就是这就是“近距作用近距作用”的观点。直到的观点。直到电磁波电磁波（电（电磁场在空间的传播）传递能量被证实磁场在空间的传播）传递能量被证实后，才被后，才被广泛采纳。广泛采纳。 为与近距作用观点一致，下面我们设法将为与近距作用观点一致，下
23、面我们设法将有关有关静电能的公式用电场强度表示静电能的公式用电场强度表示出来。出来。 矿石收音机先从平行板电容器的静电能公式入手先从平行板电容器的静电能公式入手： 前面已得：前面已得：设电容器极板间填满设电容器极板间填满均匀线性各向同性介质均匀线性各向同性介质，则，则有有 和和U = Ed，从而上述静电能公式，从而上述静电能公式可改用电场强度表示：可改用电场强度表示：(3.4.1)式中式中V = Sd为两极板间的体积，即电场空间的体为两极板间的体积，即电场空间的体积。定义单位体积的静电能为积。定义单位体积的静电能为电能密度电能密度，则有：，则有： (3.4.2) 写成矢量式如下，对写成矢量式如
24、下，对线性无损耗介质线性无损耗介质都适用：都适用： (3.4.3)式（式（3.4.3）表明，原认为局限于极板表面电荷）表明，原认为局限于极板表面电荷之中的之中的静电能静电能，实际上实际上是以电能密度是以电能密度贮存于电贮存于电场之中场之中。当空间电场不均匀时，总静电能应为：。当空间电场不均匀时，总静电能应为： (3.4.4) 这样定义的静电能密度和静电能计入了介质的这样定义的静电能密度和静电能计入了介质的极化能，它极化能，它要求介质是线性无损耗的要求介质是线性无损耗的。 例例3.5从电场的能量公式（从电场的能量公式（3.4.4）出发，重新计算）出发，重新计算孤立带电导体球（电量为孤立带电导体球
25、（电量为q，半径为，半径为R）的静电能。）的静电能。解解由高斯定理可求得该导体球的电场强度大小为：由高斯定理可求得该导体球的电场强度大小为：于是于是：上述结果上述结果与例与例3.2所得结果一致所得结果一致。这说明，在静电场。这说明，在静电场范围内，式（范围内，式（3.2.3）和式（）和式（3.4.4）完全等效。）完全等效。最后我们由式（最后我们由式（3.4.4）进一步定义）进一步定义宏观静电能宏观静电能 和和介质极化能介质极化能 。将。将 代入式（代入式（3.4.4）得：）得：(3.4.5) 式中：式中：(3.4.6) (3.4.7)在静电学范围内，介质中在静电学范围内，介质中 为为宏观静电能
26、密度宏观静电能密度， 为为极化能密度极化能密度，二者之和等于静电能密度：，二者之和等于静电能密度： 3.5 非线性介质及电滞损耗非线性介质及电滞损耗 前面我们一再强调，所导出的静电能公式仅适用前面我们一再强调，所导出的静电能公式仅适用于线性无损耗介质。下面自然要问：于线性无损耗介质。下面自然要问：对非线性有对非线性有损耗介质损耗介质又该又该作何处理呢？作何处理呢？ 仍仍限于平行板电容器填满限于平行板电容器填满均匀各向异性均匀各向异性介质的情介质的情况况。在例。在例3.3中，我们曾对电容器中，我们曾对电容器充电过程充电过程中电源所中电源所作的元功作过分析，结果为：作的元功作过分析，结果为： 由极
27、板内部由极板内部 E=0和极板内、外侧电场强度切向和极板内、外侧电场强度切向分量连续的条件，电场强度切向分量为零，可推断分量连续的条件，电场强度切向分量为零，可推断 只只有垂直于极板的分量有垂直于极板的分量。因此，如下关系式成立：。因此，如下关系式成立： (3.5.1)代入式（代入式（3.5.1）得：）得： (3.5.2) 于是于是对单位体积对单位体积的电介质，的电介质，电源所作的元功为电源所作的元功为： (3.5.3)由由 ，可将上式改写为：，可将上式改写为： (3.5.4)物理意义物理意义是：电源所作的功是：电源所作的功一部分一部分用来增加宏观静电用来增加宏观静电能密度，能密度，另一部分另
28、一部分为对介质所作的为对介质所作的极化元功极化元功。 要要分析极化功分析极化功的具体形式及其后果，的具体形式及其后果，必须考虑必须考虑介质的介质的极化规律，即极化规律，即P 和和E 的函数关系。的函数关系。对线性无损耗介质对线性无损耗介质，可将极化规律写成如下一般，可将极化规律写成如下一般形式：形式： (3.5.5)特别对特别对各向同性介质各向同性介质有：有： 由式（由式（3.5.5）可证：）可证： 于是有于是有或或 (3.5.6) 上式表明，上式表明，极化功极化功全部转换为全部转换为介质的极化能介质的极化能。将式（将式（3.5.6）代入式（）代入式（3.5.4），并由），并由静电能密度静电能
29、密度表表达式：达式： 推得如下关系式：推得如下关系式：(3.5.7) 即电源作功全部转化为电容器的静电能。即电源作功全部转化为电容器的静电能。 对非线性有损耗介质对非线性有损耗介质，式（，式（3.5.5）与（）与（3.5.6）不再成立，不再成立，显然不会得到上述简单结果显然不会得到上述简单结果。当介质为非线。当介质为非线性时，极化能密度的表达式将会发生变化，这时一般性时，极化能密度的表达式将会发生变化，这时一般不不再把宏观静电能再把宏观静电能和和极化能合在一起考虑极化能合在一起考虑。当当存在介质损耗存在介质损耗时，极化功中只有时，极化功中只有一部分一部分转化为极化能，转化为极化能，另一部分另一
30、部分则转化为热量。则转化为热量。例如例如铁电体铁电体就属于这种情况。铁电体的就属于这种情况。铁电体的 P 和和 E 的关的关系不仅是系不仅是非线性非线性的，而且是的，而且是非单值非单值的，一定的的，一定的 E 所对应所对应的的 P 值值依赖于极化过程依赖于极化过程。 极化过程是不可逆过程。极化过程是不可逆过程。当从某点当从某点A出发出发沿着电滞回线沿着电滞回线循环一周循环一周回到回到A点时，电源对点时，电源对单位体积单位体积铁电体所作的功可铁电体所作的功可由式（由式（3.5.4）求得：）求得： (3.5.8)0式中式中右边右边沿电滞回线的闭路积分正好沿电滞回线的闭路积分正好等于等于电电滞回线所
31、围的滞回线所围的“面积面积”。这部分功。这部分功既不改变既不改变电场电场E，又不改变又不改变介质的极化状态介质的极化状态P，而是，而是转转化为热量化为热量，使介质发热。这部分因电滞现象，使介质发热。这部分因电滞现象而消耗的能量，称为而消耗的能量，称为电滞损耗电滞损耗。 (3.5.8)*3.6 利用静电能求静电力利用静电能求静电力n利用静电能可求得静电场中的静电力利用静电能可求得静电场中的静电力. nN个带电导体组成的带电系统，设想某一个导个带电导体组成的带电系统，设想某一个导体在其他导体的作用下，受到静电力体在其他导体的作用下，受到静电力 F , 位移位移 r , 则则静电力静电力F 所作的功
32、所作的功为：为： A=F r =Fx x +Fyy +Fzzn分两种情形讨论分两种情形讨论: （1）带电体的）带电体的电量不变电量不变，即，即不接电源不接电源，为孤立，为孤立系统；系统；（2）带电体的）带电体的电势不变电势不变，接电源接电源。(3.6.1)（1）孤立系统孤立系统，带电体的电量不变，带电体的电量不变n位移位移 r只改变各导体的电势，使系统的静电能只改变各导体的电势，使系统的静电能发生变化，发生变化， n由能量守恒：由能量守恒：即即静电力所作的功静电力所作的功等于等于系统静电系统静电能的减少能的减少， （ We)Q = A于是有于是有 （ We)Q= (Fx x +Fyy +Fzz
33、 ) 由数学知：由数学知：(下标下标Q电量不变）电量不变）(3.6.2)(3.6.3) （2）接电源接电源，带电体的电势不变，带电体的电势不变n系统不是孤立的，系统不是孤立的，外界外界（电源）通过给系统的（电源）通过给系统的导体提供电荷而导体提供电荷而作功作功 A， 由由能量守恒定律能量守恒定律知知系统静电能的变化系统静电能的变化为：为： We= A+ A (3.6.4) n电源使各导体的电势电源使各导体的电势 Ui 保持恒定，保持恒定，设设当导体当导体位移位移r 时，各导体的时，各导体的电量会电量会在电源的作用下在电源的作用下变化变化Qi , 则则电源对系统作功电源对系统作功为：为： 又又系
34、统静电能变化系统静电能变化，由前，由前静电能公式可得：静电能公式可得：(3.6.5) (3.6.6)比较上两式，比较上两式，得得外接电源作功外接电源作功是是静电能变化静电能变化的的两倍两倍：(3.6.7) 代入式代入式（3.6.4）右边，并将该式左边的）右边，并将该式左边的 代代之以之以 得：得： (3.6.8)它表示当维持各导体的电势不变时，它表示当维持各导体的电势不变时，静电力作静电力作功等于系统静电能的增加功等于系统静电能的增加。按（按（1）中推导）中推导 (3.6.9)说明说明： 所有由静电能求静电力的表达式，包所有由静电能求静电力的表达式，包括已经得到的括已经得到的式（式（3.6.3
35、）和和式（式（3.6.9），是，是彼此等效彼此等效的，即对的，即对同一个静电力计算问题同一个静电力计算问题会给会给出同一答案。出同一答案。原因很简单原因很简单，对任何给定的带电系统，其中某，对任何给定的带电系统，其中某个带电导体所受的静电力是由个带电导体所受的静电力是由当时系统的电荷当时系统的电荷分布状态分布状态通过通过库仑定律唯一决定库仑定律唯一决定的，它与系统的，它与系统状态以后的变化无关。因此，就状态以后的变化无关。因此，就可以随意设想可以随意设想一种系统状态的变化，只要便于计算。一种系统状态的变化，只要便于计算。同理可推得同理可推得静电力矩公式静电力矩公式n只要将位移只要将位移 r换成
36、角位移换成角位移，静电力静电力做功：做功： A=L n L为静电力矩为静电力矩例例3.6真空平行板电容器，极板面真空平行板电容器，极板面积为积为S, , 相距为相距为 x , 充电至电压充电至电压U=V, 求带正电极板所受的力。求带正电极板所受的力。解解电容器的电容器的 静电能静电能:若若K K断开断开， Q Q不变不变若若K K闭合闭合， U U不变不变将将c=c= 0 0S/xS/x代入，代入，两式的计算结果两式的计算结果相同相同，负号表示负极板对正极板的，负号表示负极板对正极板的引力：引力：例例3.7 平行板电容器极板面积为平行板电容器极板面积为S, 极板间距为极板间距为d, 其其间充满
37、介电常数为间充满介电常数为 的介质，求将介质从极板间完全取的介质，求将介质从极板间完全取出时外力所作的功：出时外力所作的功：( (1) ) U不变；不变；( (2) ) Q 不变。不变。解解用用 x 表示介质从极板间移出表示介质从极板间移出的距离的距离nX=0时，时，C1=S/d, , 介质充满；介质充满；nX=d时，时，C2=0S/d, , 介质全部介质全部抽出。抽出。（1）U不变时不变时，静电力：静电力：外力作功外力作功：（2） Q 不变时不变时，静电力：，静电力： 外力作功外力作功：说明说明: : 这是两种不同的真实物理过程这是两种不同的真实物理过程（1）U不变不变，接电源。外力作正功，
38、接电源。外力作正功, 系统静电能却减少。系统静电能却减少。抽出电介质时抽出电介质时, 电容减小电容减小,极板电量变小极板电量变小, 对电源充电对电源充电. 外外力作功和电容器减少的静电能全部转化为电源的储能力作功和电容器减少的静电能全部转化为电源的储能.（2）Q不变不变, 孤立系。外力作功等于系统静电能的增加。孤立系。外力作功等于系统静电能的增加。例例3.8平行板电容器极板面积为平行板电容器极板面积为S, 极板间距为极板间距为d, 插入插入介电常数为介电常数为 、密度为、密度为 的液体介质中，的液体介质中， 维持电容器的电维持电容器的电压压U不变不变，求液面在电容器中上升的高度，求液面在电容器
39、中上升的高度h。解解 这是静电力与重力平衡的问题这是静电力与重力平衡的问题，设设极板高为极板高为b=b1+b2 , ,宽为宽为a, S=ab, b1为电容器中液柱高为电容器中液柱高, b2 为电容器中空气柱高为电容器中空气柱高平衡时平衡时, ,F=mg, , g为重力加速度为重力加速度m = dah, , 因此因此例例3.9求在电场求在电场E(r)中，电偶极子中，电偶极子p所受的力和力矩。所受的力和力矩。解解式（式（3.3.6）给出了电偶极子在外场中的）给出了电偶极子在外场中的静电能静电能：电偶极子在外电场中的平移电偶极子在外电场中的平移和旋转和旋转 设设电偶极子作一电偶极子作一平移平移，由由
40、A点移到点移到B点（右图点（右图(a)）。由于是平移（即）。由于是平移（即平行移动），平行移动），p的的方向方向应保持不变应保持不变。另外，。另外，电电荷分布不变荷分布不变，即，即p的的大大小也应保持不变小也应保持不变。于是，。于是，静电力静电力为：为：根据矢量微分公式：根据矢量微分公式：考虑到考虑到 ，有，有与例与例2-2结果一致。结果一致。 在偶极子平移过程中，由于在偶极子平移过程中，由于E 的方向的方向随空间变化，随空间变化， 也也会发生相应变化，一般会有会发生相应变化，一般会有 。基于上述分析，。基于上述分析，当直接计算时当直接计算时, 应应将上式中的将上式中的 p E 代以代以 , , 不能从梯度运算符号中提出，应为：不能从梯度运算符号中提出，应为： 下面下面求电偶极子所受的力矩求电偶极子所受的力矩。为此。为此，设电偶极子作一，设电偶极子作一角位移角位移 ，如前页图，如前页图(b)所示。此时所示。此时p的的大小不变大小不变，但，但方向方向会发生会发生变化变化。于是得：。于是得：注意注意电偶极子的位置并未挪动，故电偶极子的位置并未挪动，故E被当作被当作“常数常数”从微分号下提出。上式表明，在从微分号下提出。上式表明，在 作用下，角作用下，角 减减小，写成矢量形式有：小，写成矢量形式有：此结果也与第二章的例此结果也与第二章的例2.2的结果一致。的结果一致。
