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1、因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma mb mc m(a b c)(2)运用公式法：平方差公式：a2 b2 (a b)(a b);完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3)十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步骤：(1) 如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2) 提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3) 对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4) 最后考虑用分组分
2、解法5、 同底数籍的乘法法则：amgan am n( m, n 都是正整数)同底数籍相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：(a b)2g(a b)3 (a b)56、籍的乘方法则：(am)n amn( m,n 都是正整数)籍的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35)2 310籍的乘方法则可以逆用：即amn (am)n (an)m如：46(42 )3 (43)27、 积的乘方法则：(ab)n anbn( n是正整数)积的乘方，等丁各因数乘方的积。/ c325 / c5 c /3 5c /2 5c5c c15IU5如：(2x y z)=( 2) ?(x ) ?(y ) ?z32
3、x y z8、 同底数籍的除法法则：am an am n ( a 0,m,n都是正整数，且m n)同底数籍相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4 (ab) (ab)3 a3b39、零指数和负指数；a01 ,即任何不等丁零的数的零次方等丁1。0, p是正整数)，即一个不等丁零的数的p 次方等丁这个数的 p 次方的倒数。如:2(2)10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对丁 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。汪息： 积的系数等丁各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数籍的乘法法则。 只在一个单项式里含有的
4、字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对丁三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2y3z?3xy11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，1 3_ 3即m(a b c) ma mb mc(m, a, b,c者K是单项式)汪息： 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x 3y) 3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的
5、每一项，再把所的的积相加。(3a 2b)(a 3b)如.(x 5)(x 6)三、知识点分析：1.同底数籍、籍的运算：am an=am+n(m, n都是正整数).(am)n=amn(m, n都是正整数).例题1.若2a 2 64 ,贝U a=;若27 3n(3)8，贝U n=例题2.若52x 1125，求(x 2)2009x的值。例题3.计算 x 2y3 n2y x2 m练习1若a2n 3,则a6n=.2.设4x=8y-1,且*27妇，则x-y等于2.积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的藉相乘3 Pn m例题1.计算:3.乘法公式平方差公
6、式：a完全平方和公式:完全平方差公式:a2b222abb2abb2例题 1.利用平方差公式计算:2009X2007 20082例题 2.利用平方差公式计算:2007200722008 2006 3. (a 2b+ 3c d) (a + 2b 3c d)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是()2A. x(a-b)=ax-bx B. x-1+y2=(x-1)(x+1)+y2C. x2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c 2、若4a2 kab 9b2可以因式分解
7、为(2a 3b)2,则 k 的值为3、已知 a 为正整数，试判断a2 a是奇数还是偶数4、已知关丁 x 的二次三项式x2 mx n有一个因式(x 5),且 m+n=17,试求 m, n 的值考点二提取公因式法提取公因式法：ma mb mc m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2 、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数 习题1、解因式，应提取的公因式是(22.将多项式20a3b2 12a2bc分)A、abB、4a bC、4ab D、4a bc2、 已知(19x 31)(13x 17) (13
8、x 17)(11x 23)可因式分解为(ax b)(8x c),其中 a, b, c均为整数，M a+b+c 等丁()A、-12B、-32C、38D、723、分解因式(1)6a(a b) 4b(a b)/O n n 1 n 2(2) 3a(x y) 6b(y x)(4) ( 3)2011 ( 3)2010(3) x x x4、先分解因式，在计算求值(1)(2x 1)2(3x 2) (2x 1)(3x 2)2(2)(a 2)(a2 a 1) (a2 1)(2 a)x(1 2x)(3x 2)其中 x=1.5其中 a=185、已知多项式x4 2012x22011x 2012有一个因式为x2ax 1,
9、另一个因式为x2 bx 2012，求 a+b 的值6、 若ab2 1 0,用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值7、已知 a, b, c 满足 ab a b bc b c ca c a 3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a,b, c 都是正整数)考点三、用乘法公式分解因式平方差公式a2 b2 (a b)(a b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是(A、x 4yB、x 2y 1C、2、分解下列因式(1) 3x 12(6) 9(a b)2 30(a2 b2) 25(a b)22009 2011
10、3、若 n 为正整数，则(2n 1)2 (2n 1)2(7)20102 12)x 4y222222x 4yD、22(2) (x 2)( x 4) x 42(3) (x y)2 (x y)2定能被 8 整除完全平方式a2 2ab b2 (a b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中问放的特 点，其中首尾两项的符号必须相同，中问项的符号正负均可。习题1、在多项式x2 2xy y2x2 2xy y2x2 xy+y24x21+4x 中，能用完全平方公式分解因式的有(A、 B 、 C 、 D 、解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1-12、下列因式分
11、解中，正确的有(3. 2,2 22)4a a b a(4 a b )x y 2xy xy xy(x 2)a ab ac9abc 6a2b 3abc(3 2a)x2y xy2 xy(x y)333a(a b c)A 0 个 B 、1 个 C 、2 个 D、5 个3、如果x2 2(m 3)x 16是一个完全平方式，那么 m 应为(A、-5 B、3 C、74、分解因式D、7 或-1(1)mx2 4mx 2m(4) (2x 3) (x 3) _.八、._)(2)22r 1、2a2-4a 2(5) 8x y 8xy 2y2(3)x3 2x2 xO O *1 Q5、已知 a b 2 , ab2,求a b
12、a b/ c、 / 22224(6) (x -2xy) +2y (x -2xy)+y(7) 4x2 12xy+9y2 4x+6y-3ab226、证明代数式x2 y2 10x 8y 45的值总是正数7、已知 a, b, c 分别是 ABC 的三边长，试比较(a2 b2 c2)2与4a2b2的大小考点四、十字相乘法2(1)二次项系数为 1 的二次三项式ax px q中，如果能把常数项 分解成两个因式2q、b的积，并且a b等丁一次项系数p的值，那么它就可以把二次三项式x px q分解成例题讲解 1、分解因式：x2 5x 6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等丁 5。由丁 6=2X 3=
13、(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X 3 的分解适合，即-2+3=512解：x2 5x 6=x2(2 3)x 2 313=(x 2)(x 3)1 X 2+1X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等丁一次项的系数。例题讲解 2、分解因式：x2 7x 6=(x 1)(x 6)练习-6(-1 ) +(-6) = -7(2)y 2y2分解因式(1)(5)2(4)x x2x2 14x 24a15215a 36(6)bx cx2 4x 510x242、二次项系数不为 1 的二次三项式aa1a2条件：(1)(2)c
14、c1c2(3)b a1c2a2c1分解结果：ax2bx c=(a1x 例题讲解 1、分解因式：3x分析：2ax211x 10-5-21(-6 ) + (-5 ) = -11310=(x 2)(3x 5)解：3x2 11x分解因7x 6(4)(2) 3x27x 2 6y211y 102式：(1) 5x2(3) 10x217x 33、 二次项系数为 1 的多项式例题讲解、分解因式：a 8ab分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关丁a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 一一 1-16b8b+(-16b)= -8b 解：a2 8ab分解因式(1)x2 3xy128b2=a24、二次项系数
15、不为 122y的多2例题讲解2x 7xy项式2-，、6y2应用 1、分解下列因式8b ( 16b)a 8bm2 6mn 8n22128b2(16b)=(a 8b)(a 16b)a2 ab 6b22 3xy 2x y把xy看作一个整-1考点五、因式分解的(-3y)+(-4y)= -7y 解：原式=(x 2y)(2x 3y)分解因式：(1) 15x2 7xy为(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)( xy 2)4y2(2)a2x2 6ax(1) 3x2 3(3) x3 6x2 27x(2)(4)b24x2b 12、计算下列各题(1) (4a 4a 1) (2a 1)2(a b22c 2a
16、b) (a b c)2-3、解方程(1) 16(x 1)225(x2)2(2) (2x 3)2(2x 3)4、如果实数 ab,且10a b10b a沮，那么 a+b 的值等丁b 120092201022009 201020112201222011 2012c 1 22 321 2425262345 66、 若多项式x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数的值(写出 3 个)7、 先变形再求值(1)已知2x y , xy 4,求2x4y3 x3y4的值16(2)已知3x2 8x 2 0,求12x2 32x的值a8、 已知 a、b、c 为三角形三边，且满足 a2+b2+c2-ab-bc-ac=0 ，试说明该三角形是等边三9、 两个正整数的平方差等丁 195,求出这两个正整数10、阅读下列因式分解的过程，回答问题(1)上述分解因式的方式是共用了。(2)若分解1 x x(x 1) x(x 1)2. x(x 1)2012,则需上述方法 次，结果为(3)分解因式1 x x(x 1) x(x 1)2. x(x 1)n (n为正整数)(4)x3 xy2(5) (a b)2 1
