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1、目录 上页 下页 返回 结束 利用柱坐标计算三重积分的步骤利用柱坐标计算三重积分的步骤考虑是否用柱坐标计算考虑是否用柱坐标计算化为柱坐标系下化为柱坐标系下三重积分三重积分积分次序：积分次序：定限方法：定限方法：化为累次积分化为累次积分计算累次积分计算累次积分注意注意 对一个变量积分时，将其余变量对一个变量积分时，将其余变量视为常数视为常数的投影的投影为圆或圆的一部分为圆或圆的一部分f(x,y,z)中含有中含有或或三三变变、一一勿勿忘忘积分区域积分区域 柱坐标表示柱坐标表示被积函数被积函数体积元素体积元素一个勿忘一个勿忘一般先一般先z后后再再投影、发射投影、发射1目录 上页 下页 返回 结束 利
2、用球坐标计算三重积分的步骤利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下化为球坐标系下三重积分三重积分积分次序：积分次序：定限方法：定限方法：化为累次积分化为累次积分计算累次积分计算累次积分注意注意 对一个变量积分时，将其余变量对一个变量积分时，将其余变量视为常数视为常数的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有三三变变、一一勿勿忘忘积分区域积分区域 球坐标表示球坐标表示被积函数被积函数体积元素体积元素一个勿忘一个勿忘一般先一般先r后后再再观察、想象观察、想象2目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标
3、系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）小结方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”3目录 上页 下页 返回 结束 2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限;1. 把往xoy平面上投影,得积分区域D;3. 先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;4. 再求关于x,y的二重积分.先一后二”积分法的基本步骤:2.对za,b用过点(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截 ，得截面Dz;1. 把向z轴投影,得z的积分限a,b;3. 先求关于x,y的二重积分,得“先二后一”积分法的基本步骤:4. 最后计算单积分4目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、三重积分的概念三重积
4、分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分 第十章 5目录 上页 下页 返回 结束 回忆用投影法（先一后二）计算三重积分如果积分区域 在坐标面上的投影区域 D 是圆域则二重积分应当考虑用极坐标计算.这就等于用柱面坐标计算三重积分.2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 6目录 上页 下页 返回 结束 2. 2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面7目录 上页 下页 返回 结束 在柱面坐标系中体积元素为因此元素区域由六个坐标面围成8目录 上
5、页 下页 返回 结束 如图所示如图所示, , 在柱面坐标系中体积元素在柱面坐标系中体积元素为为因此其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.9目录 上页 下页 返回 结束 常见曲面的柱面坐标方程常见曲面的柱面坐标方程曲面直角坐标方程柱面坐标方程半球面半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面10目录 上页 下页 返回 结束 常见曲面的柱面坐标方程常见曲面的柱面坐标方程11目录 上页 下页 返回 结束 2、利用公式用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：1、将区域往xoy面上投影，确定平面区域D3、过D
6、内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域确定z的上下限；4、在 D上分别确定r、上下限（类同于平面极坐标）次序为：zr将的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；柱面坐标常用于：柱面坐标常用于： 圆柱体和圆锥体上的三重积分。圆柱体和圆锥体上的三重积分。12目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算三重积分所围成 .与平面其中 由抛物面在柱面坐标系下原式 =解解:在xOy面上的投影区域D: 上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .13目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算计算 解：解：故在xOy平面得交线 上投影区域为所围成 .与平面其中 由圆锥
7、面上边界曲面为z 4 下边界曲面为z .14目录 上页 下页 返回 结束 解解:例例3. 计算三重积分所围成 .与抛物面其中 由球面知交线为由原式 =上边界:下边界:15目录 上页 下页 返回 结束 其中 为例例例例4. 4. 计算三重积分计算三重积分所解解: 在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.16目录 上页 下页 返回 结束 3. 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面17目录 上页 下页 返回 结束 半平面 及 + d ； 半径为r及r + dr的球面；圆
8、锥面及+d r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 + d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素18目录 上页 下页 返回 结束 元素区域由六个坐标面围成：球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 + d r drd xz y0 d rd rsin d .dv19目录 上页 下页 返回 结束 如图所示如图所示, , 在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为因此有其中20目录 上页 下页 返回 结束 球
9、面坐标球面坐标直角坐标直角坐标球体球体下面介绍一些区域的球面坐标的描述21目录 上页 下页 返回 结束 球面坐标球面坐标直角坐标直角坐标球体球体22目录 上页 下页 返回 结束 球面坐标球面坐标直角坐标直角坐标球顶锥体球顶锥体23目录 上页 下页 返回 结束 常见的曲面在常见的曲面在球球坐标下的方程坐标下的方程24目录 上页 下页 返回 结束 次序为次序为: r 2. 将区域往xoy面上投影，确定平面区域D，4.过原点做射线，穿区域确定 r 的上下限.1. 关系式关系式3. 对任一，过z轴做半平面，找出角变化最用球面坐标计算三重积分的一般步骤：用球面坐标计算三重积分的一般步骤：将的边界曲面、被
10、积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；由D找出的上下限；大的与的截面，确定的上下限注：当积分区域注：当积分区域 由球面、锥面或其一部分所围时，由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。选用球面坐标计算较简便。25目录 上页 下页 返回 结束 例例例例5. 5. 计算三重积分计算三重积分解解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面26目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为27目录 上页 下页 返回 结束 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成于
11、是所求立体的体积为 此球面的方程为x2y2(za)2a2 即x2y2z22az 例例6. 的立体的体积 由圆锥面和球面围成 ,解解:采用球面坐标，锥面方程为 在球面坐标下球面方程为r2acos , 28目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 计算三重积分解解: 在球面坐标系下所围立体.其中 面是由两个球29目录 上页 下页 返回 结束 30目录 上页 下页 返回 结束 解解: 例例7. 计算三重积分所围立体.其中 面是由两个球原式原式 31目录 上页 下页 返回 结束 z Oxya.M.r 解解: 在球面坐标系下10(2).计算其中 由不等式 所确定. 32目录 上页 下页 返回 结束 .解解
12、: 在球面坐标系下10(2).计算其中 由不等式 所确定. 33目录 上页 下页 返回 结束 所围成的闭区域.11(2).计算其中 是由球面解解: 在球面坐标系下34目录 上页 下页 返回 结束 所围成的闭区域.10(1).计算其中 是由球面解解: 在球面坐标系下35目录 上页 下页 返回 结束 所围成的在第一卦限内的闭区域.11(1).计算其中 为柱面解解: 在柱面坐标系下及平面36目录 上页 下页 返回 结束 11(2).求曲面所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz
13、 37目录 上页 下页 返回 结束 3.3. 设设 由锥面由锥面和球面所围成 , 计算提示提示:利用对称性用球坐标 38目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;39目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P164 9，10，11（1，2）。 第四节 40目录 上页 下页 返回 结束 例例例例7.7.求曲面求曲面所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,利用对称性, 所求
14、立体体积为yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xOz 41目录 上页 下页 返回 结束 3. 3. 计算计算其中解解:利用对称性42目录 上页 下页 返回 结束 1. 将用三次积分表示,其中 由所提示提示:思考与练习思考与练习六个平面围成 ,43目录 上页 下页 返回 结束 44例例8解解1解解244目录 上页 下页 返回 结束 例例9解45目录 上页 下页 返回 结束 例10解46目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.1. 计计算算所围成. 其中 由分析分析：若用“先二后一”, 则有计算较繁! 采用“三次积分”较好.47目录 上页 下页 返回 结束 所围, 故可 思考思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 解解解解: :48目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.49目录 上页 下页 返回 结束 例例例例5.5. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中 由抛物面原式 =50
