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1、三角形及梯形三角形及梯形 中位线中位线 一、平行线等分线段定理及其推论一、平行线等分线段定理及其推论1.1.定定理理：如如果果一一组组平平行行线线在在一一条条直直线线上上截截得得的的线线段段相相等等，那么在其他直线上截得的线段也相那么在其他直线上截得的线段也相. .2.2.推推论论1 1：经经过过梯梯形形一一腰腰的的中中点点与与底底平平行行的的直直线线，必必平平分另一腰分另一腰. .3.3.推推论论2 2：经经过过三三角角形形一一边边的的中中点点与与另另一一边边平平行行的的直直线线必平分第三边必平分第三边. .二、三角形、梯形中位线二、三角形、梯形中位线1.1.三角形中位线定义：连接三角形两边
2、中点的线段三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段. .2.2.三三角角形形中中位位线线定定理理：三三角角形形的的中中位位线线平平行行于于第第三三边边，并且等于它的一半并且等于它的一半. .3.3.梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段. .4.4.梯梯形形中中位位线线定定理理：梯梯形形中中位位线线平平行行于于两两底底，并并且且等等于于两底和的一半两底和的一半. .5.5.梯梯形形面面积积公公式式：S=1/2(a+b)h=mS=1/2(a+b)h=mh(ah(a、b b为为上上、下下底底，m m为中位线为中位线,h,h为高为高) )1.如如图图所所示示，
3、AD是是 ABC的的高高，DC=BD,MN在在AB上上，且且AM=MN=NB、ME BC于于E，NF BC于于F，则，则FC= ( )C2.梯梯形形的的上上底底长长为为a，下下底底长长是是上上底底长长的的3倍倍，则则梯梯形形的的中位线为中位线为 ( ) A.4a B.2a C.1.5a D.aB3.如图所示，如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够，一位同学帮间的距离，但绳子不够，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到他想了一个主意：先在地上取一个可以直接达到A、B的的点点C，找到，找到AC
4、、BC的中点的中点D、E，并且测出，并且测出DE的长为的长为15米，则米，则A、B两点间的距离为两点间的距离为 米米. 304.如如图图所所示示，已已知知矩矩形形ABCD，R、P分分别别是是DC、BC上上的的点点，E、F分分别别是是AP、RP的的中中点点，当当P在在BC上上从从B向向C移移动动而而R不不动动时时，那那么么下下列列结结论论成成立立的的是是 ( )A.线段线段EF的长逐渐增大的长逐渐增大B.线段线段EF的长逐渐减少的长逐渐减少C.线段线段EF的长不变的长不变D.线段线段EF的长不能确定的长不能确定C5.直直角角梯梯形形的的中中位位线线为为a，一一腰腰长长为为b，这这个个腰腰与与底底
5、边边所所成的角是成的角是30，则它的面积是，则它的面积是( ) A.ab B. C. D.B典型例题解析典型例题解析【例例1】 如如图图所所示示的的梯梯形形ABCD中中，AD BC，对对角角线线AC与与BD垂垂直直相相交交于于O，MN是是中中位位线线， DBC=30，求求证证：AC=MN.【例例2】 (1)如如图图(1)所所示示，在在梯梯形形ABCD中中，已已知知AB CD，点点E为为BC的的中中点点，设设 DEA面面积积为为S1，梯梯形形ABCD的的面面积为积为S2，则，则S1与与S2的关系是的关系是.(2)如如 图图 (2)所所 示示 ， 在在 梯梯 形形 ABCD中中 ， AD BC，
6、且且AD BC=3 5，梯梯形形ABCD的的面面积积为为8cm2，点点M、N分分别别是是AD和和BC上上的的一一点点，E、F分分别别是是BM、CN的的中中点点，则则四四边边形形MENF的面积是的面积是 . 5/2典型例题解析典型例题解析图图(1)图图(2)【例例3】如如图图所所示示，在在四四边边形形ABCD中中， ADC=90，AC=BC， E、 F分分 别别 是是 AC、 AB的的 中中 点点 ， 且且 DEA= ACB=45，BG AC于于G.(1)求证：四边形求证：四边形AFGD是菱形是菱形.(2)若若AC=CB=10cm，求菱形的面积，求菱形的面积. (2) (25 -25)cm2.
7、典型例题解析典型例题解析【例例4】 AB、CD是是两两条条线线段段，M是是AB中中点点，S1，S2，S3分别表示分别表示 DMC、 DAC、 DBC的面积的面积.(1)当当AB CD时，如图时，如图5-5-7(1)所示所示.求证求证S1=1/2 (S2+S3).典型例题解析典型例题解析图图5-5-7(1)证明：证明：(1) AB DC S ADC=S MDC=S BDC， 即即S1=S2=S3 S1= (S2+S3) 图图5-5-7(3) (2)如图如图5-5-7(2)所示，若所示，若AB与与CD不平行，是否有不平行，是否有S1=1/2(S2+S3)?请说明理由请说明理由.(3)如图如图5-5
8、-7(3)所示，若所示，若AB与与CD相交于相交于O点，点，问问S1与与S2、S3有何相等关系有何相等关系?试证明你的结论试证明你的结论.(2)有有(3) S1= (S3-S2). 1.1.不不能能认认为为在在图图形形中中有有第第三三边边的的一一半半，DE=12BCDE=12BC，如图如图5-5-85-5-8所示，就认为所示，就认为DEBC.DEBC.2.2.如如图图5-5-95-5-9所所示示，ADBCADBC，E E、F F分分别别是是DBDB，ACAC的的中中点点，有有的的同同学学延延长长EFEF交交DCDC于于G G，就就下下结结论论G G是是DCDC的的中中点点，这这里里错错误误的的
9、，应应过过E E作作EGBCEGBC交交DCDC于于G G，则则G G是是DCDC中中点点，再再证证E E、F F、G G共线共线. .5-5-85-5-91.梯梯形形的的高高是是6cm，面面积积是是24cm2，那那么么这这个个梯梯形形的的中中位线长是位线长是( )A.8cm B.30cm C.4cm D.18cm2.梯梯形形的的两两条条对对角角线线与与中中位位线线的的交交点点把把中中位位线线分分成成三三等等分，则较短底边与较长底边的比为分，则较短底边与较长底边的比为( )A.1 2 B.2 3 C.1 3 D.2 53.如如图图，EF是是梯梯形形ABCD的的中中位位线线，则则 DEF的的面面
10、积积等等于梯形于梯形ABCD面积的面积的( ) A.1/3 B.1/4 C. 1/5 D.1/6CAB4.连连接接四四边边形形各各边边的的中中点点得得到到的的四四边边形形是是正正方方形形，则则原原四边形的对角线需满足的条件是四边形的对角线需满足的条件是( )A.对角线相等对角线相等 B.对角线垂直对角线垂直C.对角线相等且垂直对角线相等且垂直 D.一条对角线平分另一条对角线一条对角线平分另一条对角线5.已知：四边形已知：四边形ABCD和对角线和对角线AC、BD，顺次连接，顺次连接各各边边中中点点得得四四边边形形MNPQ，给给出出以以下下六六个个命命题题：若若所所得得四四边边形形MNPQ为为矩矩形形，则则原原四四边边形形ABCD是是菱菱形形；若若所所得得四四边边形形MNPQ为为菱菱形形，则则原原四四边边形形ABCD是是矩矩形形；若若所所得得四四边边形形PQMN为为矩矩形形，则则AC BD；若若所所得得四四边边形形MNPQ为为菱菱形形，则则AC=BD；若若所所得得四四边边形形MNPQ为为矩矩形形，则则 BAD=90；若若所所得得四四边边形形MNPQ为为菱菱形形，则则AB=AD，以上命题中正确的是，以上命题中正确的是( ) A. B. C. D.CD
