二分法求方程的近似解

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1、3.1.23.1.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解复复 习习 引引 入入 函数函数f(x)lnx2x60在区间在区间(2，3)内有零点内有零点如何找出这个零点？如何找出这个零点？ 在一个风雨交加的夜里在一个风雨交加的夜里, 从某水库从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障障.这是一条长这是一条长10 km的线路的线路, 如何迅速如何迅速查出故障所在呢查出故障所在呢?闸房闸房指指挥部挥部待查待查ABCDF区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号 区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点

2、函数值的符号值的符号(2, 3) 区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)0区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0(2.5, 3)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2,

3、3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)0(2.5, 3)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)02.75(2.5, 3)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)02.75f(2.75)0(2.5, 3)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)02.75f(2.75)0(2.5, 3)(2.5, 2.

4、75)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)02.75f(2.75)0f(2.5)0(2.5, 3)(2.5, 2.75)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)02.75f(2.75)0f(2.5)02.625(2.5, 3)(2.5, 2.75)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)02.75f(2.7

5、5)0f(2.5)02.625f(2.625)0(2.5, 3)(2.5, 2.75)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0f(2.5)02.75f(2.75)0f(2.5)02.625f(2.625)0(2.5, 2.625)f(2.5)02.5625f(2.5625)0(2.5, 3)(2.5, 2.75)区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2, 3) f(2)02.5f(2.5)0(2.5, 3)f(2.5)02.75f(2.75)0(2.5, 2.75)f

6、(2.5)02.625f(2.625)0(2.5, 2.625)f(2.5)02.5625f(2.5625)0(2.5, 2.5625)f(2.5)02.53125 f(2.53125)0区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2.53125, 2.5625)f(2.53125)02.546875f(2.546875)0(2.53125,2.5390625)f(2.53125)02.53515625 f(2.53515625)0区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2.53125, 2.5625)f(2.53

7、125)02.546875f(2.546875)0(2.53125,2.546875)f(2.53125)02.5390625f(2.5390625)0(2.53125,2.5390625)f(2.53125)02.53515625 f(2.53515625)0区区 间间 端点的符号端点的符号中点中点的值的值中点函数中点函数值的符号值的符号(2.53125, 2.5625)f(2.53125)02.546875f(2.546875)0(2.53125,2.546875)f(2.53125)02.5390625f(2.5390625)0(2.53125,2.5390625)f(2.53125)0

8、2.53515625f(2.53515625)0 对于在区间对于在区间a，b上连续不断且上连续不断且f (a)f (b)0的函数的函数yf (x)，通过不，通过不断地把函数断地把函数f(x)的零点所在的区间一的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方近零点，进而得到零点近似值的方法叫做法叫做二分法二分法.二分法的定义二分法的定义用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：1.确定区间确定区间a, b, 验证验证f(a)f(b)0,

9、 给定精确度给定精确度 ；1.确定区间确定区间a, b, 验证验证f(a)f(b)0, 给定精确度给定精确度 ；2.求区间求区间(a, b)的中点的中点c；用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：1.确定区间确定区间a, b, 验证验证f(a)f(b)0, 给定精确度给定精确度 ；2.求区间求区间(a, b)的中点的中点c；3.计算计算f(c)；用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：1.确定区间确定区间a, b, 验证验证f(a)f(b)0, 给定精确度给定精确度 ；2.求区间求区间(a, b)的中点的中点c；3.计算计算f(c

10、)；(1) 若若f(c)0, 则则c就是函数的零点；就是函数的零点；用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：1.确定区间确定区间a, b, 验证验证f(a)f(b)0, 给定精确度给定精确度 ；2.求区间求区间(a, b)的中点的中点c；3.计算计算f(c)；(1) 若若f(c)0, 则则c就是函数的零点；就是函数的零点；(2) 若若f(a)f(c)0, 则则令令bc(此时零点此时零点x0(a,c)；用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：1.确定区间确定区间a, b, 验证验证f(a)f(b)0, 给定精确度给定精确度 ；2.求

11、区间求区间(a, b)的中点的中点c；3.计算计算f(c)；(1) 若若f(c)0, 则则c就是函数的零点；就是函数的零点；(2) 若若f(a)f(c)0, 则则令令bc(此时零点此时零点x0(a,c)；(3) 若若f(c)f(b)0, 则令则令ac(此时零点此时零点x0(c,b).用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤：1.确定区间确定区间a, b, 验证验证f(a)f(b)0, 给定精确度给定精确度 ；2.求区间求区间(a, b)的中点的中点c；3.计算计算f(c)；(1) 若若f(c)0, 则则c就是函数的零点；就是函数的零点；(2) 若若f(a)f(c)

12、0, 则则令令bc(此时零点此时零点x0(a,c)；(3) 若若f(c)f(b)0, 则令则令ac(此时零点此时零点x0(c,b).4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度 : 即若即若|ab| ，则得则得到零点近似值到零点近似值a(或或b), 否则重复否则重复24.用用二分法求函数二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：零点近似值的步骤： 例题例题1: 某方程在区间某方程在区间0,1内有一无理根内有一无理根, 若若用二分法求此根的近似值用二分法求此根的近似值, 要使所得近似值要使所得近似值的精确度达到的精确度达到0.1,则将区间则将区间(0,1)等分等分() (A)2次次(B)3次次(C)4次

13、次(D)5次次解析解析: 将区间将区间(0,1)等分等分1次次, 区间长度为区间长度为0.5;等分等分2次次,区间长度为区间长度为0.25;等分等分4次次, 区间长区间长度为度为0.06250.1, 符合题意符合题意,故选故选C. 精确度精确度与等分区间次数之间有什么关系与等分区间次数之间有什么关系? 若初若初始区间选定为始区间选定为(a,b),则区间长度为则区间长度为b- a, 等分等分1次次, 区区间长度变为间长度变为 ; 等分等分2次次, 区间长度变为区间长度变为 ; 则等分则等分n次次, 区间长度变为区间长度变为 . 要想达到精确要想达到精确 度度, 需满足需满足 log2 .例例1

14、用二分法求函数用二分法求函数f (x)x33的一个的一个正实数零点正实数零点(精确到精确到0.1).端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间 端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=5 端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2 端

15、点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.3750端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.37501, 1.5端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端

16、点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.37501, 1.5x1=1.25 f(x1)= 1.04690 1.25, 1.5端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.37501, 1.5x1=1.25 f(x1)= 1.04690 1.25, 1.5x2=1.375 f(x2)= 0.40040 1.375, 1.5端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点

17、的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.37501, 1.5x1=1.25 f(x1)= 1.04690 1.25, 1.5x2=1.375 f(x2)= 0.40040 1.375, 1.5x3=1.4375 f(x3)= 0.02950 1.4375, 1.5端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.37501, 1.5x1=1.25 f(x1)= 1.04690 1.25, 1.5

18、x2=1.375 f(x2)= 0.40040 1.375, 1.5x3=1.4375 f(x3)= 0.02950 1.4375, 1.5x4=1.46875 f(x4)=0.168401.4375, 1.46875端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.37501, 1.5x1=1.25 f(x1)= 1.04690 1.25, 1.5x2=1.375 f(x2)= 0.40040 1.375, 1.5x3=1.4375 f(x3)= 0.02950 1

19、.4375, 1.5x4=1.46875 f(x4)=0.168401.4375, 1.46875x5=1.453125 f(x5)01.4375, 1.453125端点或中点端点或中点的横坐标的横坐标计算端点或中点计算端点或中点的函数值的函数值定区间定区间a0=1，b0=2 f(1)= 2，f(2)=51, 2x0=1.5 f(x0)=0.37501, 1.5x1=1.25 f(x1)= 1.04690 1.25, 1.5x2=1.375 f(x2)= 0.40040 1.375, 1.5x3=1.4375 f(x3)= 0.02950 1.4375, 1.5x4=1.46875 f(x4)

20、=0.168401.4375, 1.46875x5=1.453125 f(x5)01.4375, 1.453125x6=1.4453125 f(x6)01.4375, 1.4453125例例2 借助计算器或计算机用二分法求方借助计算器或计算机用二分法求方程程2x3x7的近似解的近似解(精确度精确度0.1).例例2 借助计算器或计算机用二分法求方借助计算器或计算机用二分法求方程程2x3x7的近似解的近似解(精确度精确度0.1).x012345678f(x)=2x+3x762310214075142273列表列表因为因为f(1)f(2)0，所以，所以 f(x)=2x3x7在在(1, 2)内有零点内

21、有零点x0，取，取(1, 2)的中点的中点x1=1.5， f(1.5)=0.33，因为，因为f(1)f(1.5)0所以所以x0(1, 1.5).取取(1, 1.5)的中点的中点x2=1.25，f(1.25)=0.87，因为因为f(1.25)f(1.5)0，所以所以x0(1.25, 1.5).因为因为f(1)f(2)0，所以，所以 f(x)=2x3x7在在(1, 2)内有零点内有零点x0，取，取(1, 2)的中点的中点x1=1.5， f(1.5)=0.33，因为，因为f(1)f(1.5)0所以所以x0(1, 1.5).同理可得，同理可得， x0(1.375, 1.5)，x0(1.375, 1.4375)，由于由于 |1.3751.4375|=0.06250.1，所以，原方程的近似解可取为所以，原方程的近似解可取为1.4375.取取(1, 1.5)的中点的中点x2=1.25，f(1.25)=0.87，因为因为f(1.25)f(1.5)0，所以所以x0(1.25, 1.5).因为因为f(1)f(2)0，所以，所以 f(x)=2x3x7在在(1, 2)内有零点内有零点x0，取，取(1, 2)的中点的中点x1=1.5， f(1.5)=0.33，因为，因为f(1)f(1.5)0所以所以x0(1, 1.5).作业作业:教材教材P 习题习题 第第 题题