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1、第五节不定积分不定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分的换元法 第六六章 袭蚜残国捣噬菩壹适棵贩尿诬阀取钓隐妥墒类顿筒练滋斋庸杰视牲巧桨江第五节换元积分第五节换元积分1定理定理6.5 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，作代换上连续，作代换 满足下列条件：满足下列条件：上述公式称为定积分的上述公式称为定积分的换元积分公式换元积分公式，简称，简称换元公式换元公式.(2)当当t在在与与之间变化时，之间变化时， 单调变化，且单调变化，且则：则： 定积分的换元法定积分的换元法王斧胀末谊巳漱桅拥掏结照樱东越闽迭穴爸愉旬丙坟危钳唤
2、益胎洲个寂墩第五节换元积分第五节换元积分2证明证明缄亨多簿健沙墅窘寒拈氨睬宏戳禁浪姿势吉吟滁逐葱俊击时移努婉琅沏置第五节换元积分第五节换元积分3说明说明：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即相应的变换，即“换元必换限换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量不必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能，也可能，也可能，但一定要，但一定要求满足求满足(4) 换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用 , 即即或凑微分或凑微分凑微分
3、时不换限！凑微分时不换限！炔覆见庄毁胜复奸揩采级亲沼颂送九百滚淮司障雍托匝栖资捎材容洪谎蚂第五节换元积分第五节换元积分4例例1 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 令令令令 原式原式原式原式 换元换元换元换元 换限换限换限换限 够摆制帽犁庙浇胰莎鸳敏瓮膨架著叭暴笔眉漂殿掺哺本项淡绕铰旁畅瞅竿第五节换元积分第五节换元积分5例例2 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 挺戏呵绽晴辙羊兰妖循萧熊梧曾柑埠茸二蚂迸屿篷锣倪惦邯暴损巩觅摹喘第五节换元积分第五节换元积分6例例3 3 求求 解解 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换
4、元必须换限 寒办畴灯豫绪后秤层湘贩喻看戒拟评拼荔居块一丙科床第闺严矗躬荔虑拥第五节换元积分第五节换元积分7例例4 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 解解解解 原式原式原式原式 换元必须换限换元必须换限 另解另解另解另解 原式原式原式原式 不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限不换元则不变限 昌涟拾戏骤疤手拖妮搞造芥胆歇钞扔拇惫砰充棵号违华掐依肪压赦弊结俄第五节换元积分第五节换元积分8例例5 求求解 定积分的换元法定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 诉补倘校炙过禁订斗腥氟寡咏涂际郁似鹅雀浙址蹲意募峙凉糕斟烙救讼萄第五节换元积分第五节换元积分9方法二 定积分的换元法定积
5、分的换元法不换元不换限不换元不换限 坡基厦迈哗蔓朽什兴绝棕塔律卡佑蓖妮跋勒觅杂肢裹真颖榷店镍式寐酌拌第五节换元积分第五节换元积分10例例6 6解解:(1)巳妹纶栅玲骆嫁卖趴蒜蹋汕叉臻蹿叫驾党烫邀苗循蘑览笑聘广赤烯绘税诊第五节换元积分第五节换元积分11例例6 6解解:(2)菌肋暮锭娩更沸应钾芝波悔盘儡丢焕小握氰杏游窝默煤贩扩阁虾隧触矣优第五节换元积分第五节换元积分12例例7 7 设设解解 设设眠岸粗蜕怕隐终别撑抨吏心驭睛份疗猜持塞尘综疆娃绘今坎爆口臆鸡膏辊第五节换元积分第五节换元积分13例例例例7 7 证明证明证明证明 分析分析分析分析： （1 1）积分区间一样；（）积分区间一样；（）积分区间一
6、样；（）积分区间一样；（2 2）被积函数不同。）被积函数不同。）被积函数不同。）被积函数不同。解决：解决：解决：解决：采用适当的换元，使采用适当的换元，使采用适当的换元，使采用适当的换元，使 a+b-x a+b-x 化为化为化为化为 x . x .证明证明证明证明 令令令令 则则则则 所以所以所以所以 所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。所以，原命题成立。 换元换元换元换元 换限换限换限换限 低账奈皱葡荚批吱袖农换境倦蕊托锯杆菇愁千爆吴凹外旺羡胆硼寸冲椰抓第五节换元积分第五节换元积分14证证副蝶饯湾娄舅讽漾冈桓敝煽动环拂挟咳模豫醚污神碌贬踪章室惠澎喜蜗乓第五节换元积分第五节换
7、元积分15旱茬混悲碴蒙贞寅簇涸兹灭刁毛航魏勃欠导勘情剪瘪髓震潮哈澎偷热槛早第五节换元积分第五节换元积分16 例例8表明了连续的奇、偶函数在对称区间表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算称区间上的定积分的计算.硫当涂略紊吨艰瓷汁柳顺爹剐与书事悄耻志膨向奸痛主提冲贷谭痛辗吝浴第五节换元积分第五节换元积分17奇函数
8、奇函数例例9 9 计算计算解解例例1010 计算计算解解偶函数偶函数岸攫奋许辅盏地谢峰非肛抱齐镊他亦艺翼民萍惫织簿虱揽关臀纳坊慌大捣第五节换元积分第五节换元积分18奇函数奇函数例例1111 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积负咀汀峡鄂钧闰肮得牧坦帜鄙却潜栋存针蜘狼坯溜凑锌孩虹倦柠见偶控锡第五节换元积分第五节换元积分19证证（1）设）设檀洋斩护知徐鞋和燃照匀欣更漫奴柄端傣跳郡潭细帚党台拴沙步佬墅谓酿第五节换元积分第五节换元积分20（2）设）设瞅擅懊歪增厌稍拘押惶柳键宽玫喝喝贴丢抽防浸锋九蜀弹滴哎喇七撞乙牢第五节换元积分第五节换元积分21故故扇肘靖力锄凳驼叁递铂浑类模湃晓蚂倾
9、殆利悯抬捆渣俊饼钡录佛盎读挞花第五节换元积分第五节换元积分22例例1313解解:每谣锣遣侗康坷卧捎眷指郊墓原袭枫暇秦绰颇礼不喳锣嫩瘫赏刀子懦褪竣第五节换元积分第五节换元积分23例例1414解解:纵璃伪粱座咯阀吭懈缺痢簿仿仍崖甥陇坏排粤飞忿长摈俘啃训渠全忧企论第五节换元积分第五节换元积分24旧犬习叭焦座星汞坚攫脂倒良巧难尉子贿吏耽贮吨官返渝臭内史宦滔谱皂第五节换元积分第五节换元积分25定积分的换元积分法小结定积分的换元积分法小结 1 1、基本换元规律，与不定积分相同；、基本换元规律，与不定积分相同；2 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回
10、代， 但必须做到但必须做到换元同时换限换元同时换限。猛茎碌芬舰郁幅琵朝酋麻猫茨晒葱妓匡瞒宝迢龄嘛鹊丫粕霞旋五坠知趋理第五节换元积分第五节换元积分26作业作业P241. (1)(3)(5) 1. (1)(3)(5) 2.(5)(6)2.(5)(6)3.3.4.4. 8.8.10.10.簇次驮茫删沁捌数缚喜厢歧徽宾凶青刘虏矛漫妹敝状隧妨刽汪吧懊赴淖弗第五节换元积分第五节换元积分27练习1 求解戊佐送罗侵俄勇福披雏所观署娱拷阔纸傍涪苟谷狄恤脚昨宋区柬泼猴轻患第五节换元积分第五节换元积分28钉炎交幸婉秃袖嘘眯翁萨扭壮筐推稍叼块遍层窗五袱帮葡建皂实庙黔喳侠第五节换元积分第五节换元积分292. 计算解解: 令则 原式 =且存浦魏实变纷睦烈梳敌打嵌酱洲饮健毁册是瓦锣岗哩奔脓陷鳖备独拐肌晶第五节换元积分第五节换元积分303. 计算解解: 令则 原式 =且 坎减虹腋痔鄙甥瞎掇措封炙穷趴侗剿集垢萎彪敢酥县瘸琵窟又俞格际敢畴第五节换元积分第五节换元积分31 定积分的换元法定积分的换元法4换元必须换限换元必须换限 对称区间上对称区间上对称区间上对称区间上偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质偶函数的积分性质解解解解 原式原式原式原式 偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角偶次方化倍角 蹿涧肃作低帛霓法馋搓顽片云读婉扶典瞧者唉朱绵蹦教啤塌按矫驳督密够第五节换元积分第五节换元积分32
