《高等数学的教学课件12数列的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学的教学课件12数列的极限（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节第二节 数列的极限数列的极限一、数列极限概念的引入一、数列极限概念的引入二、整标函数与数列二、整标函数与数列三、数列极限的概念三、数列极限的概念四、有极限数列的性质四、有极限数列的性质五、子列及其极限五、子列及其极限六、六、小结小结一、数列极限概念的引入一、数列极限概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：播放播放刘徽刘徽正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积二、二、整标函数与数列整标函数与数列定义定义可看作一动点在数轴上依次
2、取可看作一动点在数轴上依次取数列的几何表示法数列的几何表示法:数列对应着数列对应着数轴上一个点列：数轴上一个点列：例例1. 写出通项写出通项1.有界性有界性如如,有界有界无界无界注：注：2.单调单调性性如如,是单调增数列是单调增数列都是单调减数列都是单调减数列单调减三、数列极限的概念三、数列极限的概念问题问题当当 无限增大无限增大时时, 是否是否无限接近无限接近于某一于某一确定的数值确定的数值? 如果是如果是, 该数值等于多少该数值等于多少?播放播放当当n无限增大无限增大时时, 无限接近无限接近于于1.问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么? 如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划?
3、我们知：我们知：可以要多么小就多么小可以要多么小就多么小,看看只要只要n充分大充分大,小到什么要求小到什么要求.度量度量有极限有极限A的数列也称为的数列也称为收敛收敛于于A, 没极限称为没极限称为发散发散.定义定义注注数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1证证所以所以,注意：注意：(1)(2)(3)(4)给出度量给出度量考察接近程度考察接近程度套用定义格式套用定义格式下结论下结论例例2证证典型极限典型极限简化证明简化证明甚至更简化为甚至更简化为例例3 证证例例4证证典型极限典型极限例例5证证从而从而四、有极限数列的简单性质四、有极限数列的简单性质性质性质1(唯
4、一性唯一性)若数列有极限，则极限是惟一的若数列有极限，则极限是惟一的. .证证 (反证法反证法)性质性质2(有界性有界性)证证由定义由定义,有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件, 推论推论注注收敛收敛的数列必定有界的数列必定有界. .无界数列必定发散无界数列必定发散. .不是充分条件不是充分条件.例例6证证区间长度为区间长度为1.不可能不可能同时同时位于位于长度为长度为1的区间内的区间内. 反证法反证法假设数列假设数列收敛收敛， 则有唯一极限则有唯一极限a 存在存在. .但却发散但却发散. .证毕证毕.性质3 （保号性）推论3推论4五、子列及其极限五、子列及其极限注意：注意：例
5、如，例如，是数列是数列的一个子数列。的一个子数列。定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证证毕证毕 由此定理可知由此定理可知,但若已知一个子数列发散但若已知一个子数列发散, 或有两个子数列或有两个子数列收敛于不同的极限值收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的可断定原数列是发散的.一般不能断定原数列的收敛性一般不能断定原数列的收敛性;仅从某一个子数列的收敛仅从某一个子数列的收敛例例 试证数列试证数列 不收敛不收敛.证证 因为因为 的奇子数列的奇子数列不收敛不收敛.收敛于收敛于而偶子数列而偶子数列 所以数列所以数列 收敛于收敛于例 对数列，若证明：证明：由又由证毕证毕敛于敛于a .数列数列的奇子数列的奇子数列和偶子数列和偶子数列均收敛于同一常数均收敛于同一常数a 时时,则数列则数列也收也收六、小结六、小结 作业作业数列数列数列极限数列极限收敛数列的性质收敛数列的性质收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系.研究其变化规律研究其变化规律;有界性有界性, 唯一性唯一性,保号性保号性,小结小结极限思想极限思想, 精确定义精确定义, 几何意义几何意义;
