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1、第三章第三章 勾股定理勾股定理1 1 探索勾股定理探索勾股定理1.1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法及其内在联系股定理的探究方法及其内在联系. .2.2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题题. .这是这是19551955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票. .P PR RQ Q正方形正方形P P的面积的面积正方形正方形Q Q的面积的面积正方形正方形R R的面积的面积A AB BC C9 91616？怎么求怎么求S SR R的
2、大小？的大小？有几种方案？有几种方案？如图，小方格的边长为如图，小方格的边长为1.1.P PQ QC C R R用用“补补”的方法的方法SRP PQ QC C R R用用“割割”的方法的方法Q QSRABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1个单位面积）个单位面积）（1 1）在图中，正方形）在图中，正方形A A中含中含有有 个小方格，即个小方格，即A A的面积的面积是是 个单位面积个单位面积. . 正方形正方形B B的面积是的面积是_个单位面积个单位面积. . 正方形正方形C C的面积是的面积是_个单位面积个单位面积. .9 99 99 91818探究勾股定理探究勾股定理ABC （图中每
3、个小方格代表（图中每个小方格代表1 1个单位面积）个单位面积）把正方形把正方形C C分割成若干分割成若干个直角边为整数的三角个直角边为整数的三角形来求形来求（单位面积）（单位面积）ABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1 1个单位面积）个单位面积）（单位面积）（单位面积）把正方形把正方形C C可以看成边可以看成边长为长为6 6的正方形面积的的正方形面积的一半一半ABCABC（图中每个小方格代表（图中每个小方格代表1个单位面积）个单位面积）图图1 1图2（2 2）在图）在图2 2中，正方形中，正方形A A，B B，C C中各含有多少个小方中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少格？它们的
4、面积各是多少？（3 3）你能发现图）你能发现图1 1中三个中三个正方形正方形A A，B B，C C的面积之的面积之间有什么关系吗？图间有什么关系吗？图2 2呢呢？S SA A+S+SB B=S=SC C即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积的正方形的面积. .A AB BC C图图1 1A AB BC C图图2 2（2 2）右图中正方形）右图中正方形A,BA,B，C C的面积之间有的面积之间有什么关系？什么关系？S SA A+S+SB B=S=SC C即：两条直角边上即：两条直角边上的正方形面积之和的正方形面积之和等于斜边上的正方等于
5、斜边上的正方形的面积形的面积. .勾股定理勾股定理如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a a，b,b,斜边为斜边为c c，那么，那么直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. .a ab bc c勾勾股股弦弦 中国古代把直角三角形中较短的中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾直角边叫做勾, ,较长的直角边叫做股较长的直角边叫做股，斜边叫做弦斜边叫做弦. . 据据周髀算经周髀算经记载，西周战国记载，西周战国时期（约公元前时期（约公元前1 1千多年）有个叫商高千多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，的人对周公说，把一根直尺折
6、成直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾两端连接得一个直角三角形，如果勾是是3 3，股是，股是4 4，那么弦等于，那么弦等于5.5.3 34 45 5勾勾股股弦弦人们还发现，人们还发现，在直角三角形中，在直角三角形中，勾是勾是6 6，股是股是8 8，勾是勾是5 5， 股是股是1212，弦一定是弦一定是1313， 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论结论. . 我国把它称为勾股定理我国把它称为勾股定理. .6 62 2=36,=36,8 82 2=64,=64,6 62
7、 2+8+82 2=10=102 210102 2=100=100等等. . 5 52 2=25,=25,12122 2=144,=144,5 52 2+12+122 2=13=132 213132 2=169=169弦一定是弦一定是1010；【例题例题】如图如图, ,一根旗杆在离地面一根旗杆在离地面9 m9 m处折断处折断, ,旗杆旗杆顶部落在离旗杆底部顶部落在离旗杆底部12 m12 m处处. .旗杆原来有多高旗杆原来有多高? ?12 m12 m9 m9 m【解析解析】设旗杆顶部到折断处的距离为设旗杆顶部到折断处的距离为x mx m，根据勾，根据勾股定理得股定理得x=15, 15+9=24(
8、m).x=15, 15+9=24(m).答：答：旗杆原来高旗杆原来高2424 m m. .1.1.（义乌（义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是长可以是 ( (写出一组即可写出一组即可) )【解析解析】答案不唯一，只要满足式子答案不唯一，只要满足式子a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，且是，且是正整数即可正整数即可. .答案：答案：3 3，4 4，5 5（满足题意的均可）（满足题意的均可） 3.3.求斜边长求斜边长17 cm17 cm、一条直角边长、一条直角边长15 cm15 cm的直角三角形的直角三角形的面积的面积. .【解析解析】设另一条
9、直角边长是设另一条直角边长是x cm.x cm.由勾股定理得由勾股定理得: :15152 2+ x+ x2 2 =17=172 2，而x x2 2=17=172 2-15-152 2=289=289225=64225=64，所以所以 x=x=8 8（负值舍去），（负值舍去），所以另一直角边长为所以另一直角边长为8 cm8 cm，直角三角形的面积是直角三角形的面积是: : (cm(cm2 2).).4.4.若一直角三角形两边长分别为若一直角三角形两边长分别为1212和和5 5，则第三边长的平方，则第三边长的平方是是( () )(A)169(A)169(B)169(B)169或或119119(C)
10、13(C)13或或1515(D)15(D)15【解析解析】选选B.B.若第三边是直角边，则它的平方是若第三边是直角边，则它的平方是12122 2-5-52 2=144-=144-25=11925=119；若第三边是斜边，则它的平方是若第三边是斜边，则它的平方是12122 2+5+52 2=144+25=169.=144+25=169.故选故选B.B. 5.5.在在ABCABC中，中，C=90C=90，若，若BCAC=34BCAC=34，AB=10AB=10，则该三角，则该三角形的面积为形的面积为_._.【解析解析】设设AC=4kAC=4k，BC=3kBC=3k，则，则(4k)(4k)2 2+(
11、3k)+(3k)2 2=10=102 2，解得解得k=2k=2，所以，所以AC=8AC=8，BC=6BC=6，所以三角形的面积为所以三角形的面积为 6 68=24.8=24.答案：答案：2424知识点知识点1 1 运用勾股定理解决有关线段或面积的问题运用勾股定理解决有关线段或面积的问题 【例例1 1】如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，AB=13AB=13，BC=14BC=14，AC=15AC=15，求，求BCBC边上的高线边上的高线ADAD的长的长. .拓展延伸【解题探究解题探究】(1)(1)因为图中没有高线因为图中没有高线ADAD，作出高线，作出高线ADAD，则得则得ABDABD和
12、和ACDACD是什么样的特殊三角形？是什么样的特殊三角形？它们的三边满足的关系式分别是什么？它们的三边满足的关系式分别是什么？答：答：_. .(2)(2)已知已知ABAB，ACAC和和BCBC，要根据勾股定理求，要根据勾股定理求ADAD，只需求出，只需求出线段线段_的长的长. .直角三角形直角三角形. .在在RtABDRtABD和和RtACDRtACD中，关系式为中，关系式为ADAD2+BD+BD2=AB=AB2，ADAD2+CD+CD2=AC=AC2BDBD或或CDCD(3)(3)因为因为ADAD是是RtABDRtABD和和RtACDRtACD的公共边，所以可以得的公共边，所以可以得ADAD
13、2 2=AB=AB2 2-BD-BD2 2，还可以得，还可以得ADAD2 2= =_，进而能得到怎样，进而能得到怎样的等式？的等式？答：答：_. .(4)(4)如果设如果设BD=xBD=x，则，则CD=CD=_，可得方程，可得方程_，解方程得解方程得_，再由勾股定理得，再由勾股定理得AD=AD=_. .ACAC2 2-CD-CD2 2ABAB2 2-BD-BD2 2= AC= AC2 2-CD-CD2 214-x14-x13132 2-x-x2 2=15=152 2-(14-x)-(14-x)2 2x=5x=51212【互动探究互动探究】本例本例(4)(4)中得到的方程整理后是什么方程？怎样中
14、得到的方程整理后是什么方程？怎样求解？求解？提示：提示：整理后为一元一次方程整理后为一元一次方程. .先化简整理为一元一次方程，先化简整理为一元一次方程，然后移项、合并同类项、化系数为然后移项、合并同类项、化系数为1.1.【跟踪训练跟踪训练】1.1.如图，阴影部分是一个正方形，则此如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为正方形的面积为( () )(A)32(A)32(B)64(B)64(C)16(C)16(D)128(D)128【解析解析】选选B.B.设正方形的边长为设正方形的边长为a a，由勾股定理可得，由勾股定理可得，a a2 2=17=172 2-15-152 2=64=64，所以
15、正方形的面积为，所以正方形的面积为64.64.2.2.如图，直线如图，直线l上有三个正方形上有三个正方形a a，b b，c c，若，若a a，c c的面积分别为的面积分别为5 5和和1111，则，则b b的面积为的面积为_._.【解析解析】如图，因为如图，因为ACB+ECD=90ACB+ECD=90，DEC+ECD=90DEC+ECD=90，所以所以ACB=DEC.ACB=DEC.因为因为ABC=CDEABC=CDE，AC=CEAC=CE，所以所以ABCCDEABCCDE，所以所以BC=DEBC=DE，所以，根据勾股定理的几何意义，所以，根据勾股定理的几何意义，S Sb b= =S Sa a+
16、S+Sc c，所以所以S Sb b= =S Sa a+S+Sc c=5+11=16=5+11=16答案：答案：1616知识点知识点2 2 勾股定理的变式与应用勾股定理的变式与应用【例例2 2】(8(8分分) )在在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，两条直角边的和为，两条直角边的和为17 cm17 cm，面积为，面积为30 cm30 cm2 2，试求这个直角三角形的斜边长，试求这个直角三角形的斜边长. .【规范解答规范解答】设直角设直角ABCABC的两条直角边长分别为的两条直角边长分别为a a，b b，斜边，斜边为为c c， 1 1分分由题意可得由题意可得_=17=17，_=30=3
17、0， 3 3分分所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2= = _=17=172 2-2-260=169,60=169,5 5分分所以所以c=c=_. . 7 7分分即该直角三角形的斜边长为即该直角三角形的斜边长为_ cm. cm. 8 8分分a+ba+b(a+b)(a+b)2 2-2ab-2ab13131313【规律总结规律总结】勾股定理的变式应用勾股定理的变式应用 勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个重要定理，其勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个重要定理，其基本形式是基本形式是a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .因此在涉及直角三角形的边之间的和、差、因此在涉及直角三
18、角形的边之间的和、差、积时，考虑用变式来解决问题，往往快捷方便，能达到事半功积时，考虑用变式来解决问题，往往快捷方便，能达到事半功倍的效果倍的效果. .其中常用的两种变式为：其中常用的两种变式为： (1)(a+b)(1)(a+b)2 2-2ab=c-2ab=c2 2. . (2)(a-b) (2)(a-b)2 2+2ab=c+2ab=c2 2. .通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a a2 2+b+b2 2=c=c2 2(a,b(a,b和和c c分别表示直角三角形的两直角边和斜分别表示直角三角形的两直角边和斜边边) )
