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1、-专题专题 3 3搞定空间几何体的外接球与内切球搞定空间几何体的外接球与内切球一、基本方法一、基本方法: :（1）定心：确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解(R r d)；该方法是解决外接球问题的主要的通法， 但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。（2）补形：补成长方体,利用长方体对角线求解（4R a b c);有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分， 其外接球与长方体的外接球是同一个球， 故可利用长方体模型求解。另外有些不规则的几何体还可以选择建系,设球心,利用球心到各顶点的距离相等求出球心坐标求解。但该方法计
2、算量大， 高考一般不会考查。 高考中以模型一、 二、三、四为主。类型一：锥体模型类型一：锥体模型( (P的射影是的射影是ABC的外心即侧棱长相等）的外心即侧棱长相等）第一步：确定球心O的位置,取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线;O OP P2222222第二步:先算出小圆O1的半径AO1 r，再算出棱锥的高PO1 h；A AO O1 1C CD DB B第三步：勾股定理:OA O1A O1OR (h R) r,解出R图图5-45-4222222类型二类型二: :柱体模型柱体模型( (直棱柱、圆柱）直棱柱、圆柱）第一步:确定球心O的位置,O1是ABC的外心，则OO1平面ABC；C C1
3、1A A1 1O O2 2B B1 1F F11第二步：算出小圆O1的半径AO1 r，OO1AA h;122h222222第三步：勾股定理：OA O1A O1OR ( ) r2hR r2( )2,解出R2O OC CA AO O1 1B BE E图图3-13-1类型三类型三: :线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模型线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模型) )第一步:将ABC画在小圆面上,D为小圆上任意的一点,；P P第二步:O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC,算出小圆O1的半径O OO1D r（三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理，得C CA A
4、O O1 1B BD D1abc 2r),d OO1PA;sin AsinBsinC2第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：R r d.222图图5 5-类型四：长方体模型类型四：长方体模型1 1三条棱两两垂直，可补形为长方体三条棱两两垂直，可补形为长方体P PP PP Pc cA Aa aB Bb bC Cc cC CA Ab ba aB BA Ab ba aB Bc cC C图图1-11-1图图1-21-222图图1-31-322方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R) a b c，求出R. .三棱锥三棱锥( (即四面体）中即四面体）中, ,三组对棱分别相等，亦可补形为长方体三组
5、对棱分别相等，亦可补形为长方体第一步:画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱；A A第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, ,AD BC x, ,y yz zx xD Dz zy yc cC Cb bAB CD y，AC BD z，B Ba ax x第三步：由2R a b c 222x2 y2 z2,求出R2图图2-12-1类型五：二面角模型类型五：二面角模型( (两个三角形拼在一起两个三角形拼在一起, ,一般为两等腰三角形或直角三角形一般为两等腰三角形或直角三角形) )当两等腰三角形由公共底边折叠时当两等腰三角形由公共底边折叠时, ,第一步:先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上
6、,找出BCD和AAABD的外心H1和H2;H H2 2O OD DH H1 1E EB BC C第二步：过H1和H2分别作其所在平面的垂线,两垂线的交点即为球心O,连接OE,OC;A A图图6 6第三步：解OEH1，算出OH1,再由勾股定理：OH1CH1 OC,求出球的半径R。2.2. 当两直角三角形由公共斜边折叠时当两直角三角形由公共斜边折叠时, ,其公共斜边就是外接球的直径。其公共斜边就是外接球的直径。类型六类型六: :内切球问题内切球问题1 1正棱锥的内切球正棱锥的内切球. .第一步:先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;222P POEPO第二步：由POE相似于PDH,建立等式:，解出rDHPD2 2任意多面体的内切球：等体积法，任意多面体的内切球：等体积法，E EA AD DB BO OC CH H3V第一步：先求出多面体的表面积和体积;第二步:解出r S表图图8-18-1-
