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1、数学模型MathematicalModelingPStillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望第一章 建立数学模型开设本课程的目的：引起注意、激发兴趣、介绍方法、培养能力数学？n数学有没有用？n数学不是没有用，而是不够用n现有的数学工具不能解决所有实际问题n怎么用？n解决实际问题n数学模型 数学模型与数学建模数学模型数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁
2、的刻划，它或本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。数学模型早就知n我们从小就接触过数学模型：n应用题n“甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速，水速若干？”n物体n“从平静湖面的小船
3、上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？”n数学竞赛n数学模型无所不在n日常生活n投资n决策n各行各业n经济n金融n专业研究领域n物理n计算机研究例1. 手机电话卡的选择n已知：全球通电话卡每分钟0.4元，每月25元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月租金n问：选择哪种卡比较省钱？例2.打水问题n每天晚上5:00 至 5:30 之间开水房的拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目
4、光的谴责。n假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要 1分钟，这是一种很常见的情况。n方法 A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是：2*(2+4+6+8+10)=60 分钟n方法 B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟n结果后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合理的方案。例3.银行问题n去中国工商
5、银行存取钱对每个人来说都决不是一次愉快的经历。我平均每次去取钱都至少要花上半个小时的时间，这促使我考虑是否有办法在现有窗口的情况下提高整个系统的效率。n不同任务量的串行服务队列例4.万有引力定律的发现n开普勒三大定律n行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。 n行星在单位时间内扫过的面积不变。n行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）。n牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出万有引力定律。 Proof数学建模的一般步骤n了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。n在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分
6、析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。n在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 n模型求解。 n模型的分析与检验。 实体信实体信息息(数据数据)假设假设建模建模求解求解验证验证应用应用能力的培养n能力上的能力上的 锻炼锻炼n观察能力观察能力、分析能力、归纳能力分析能力、归纳能力和和数据处理数据处理能力能力n在尽可能短的时间内在尽可能短的时间内查到并学会查到并学会我想应用的知我想应用的知识的本领识的本领nGooglen图书馆n创新的能力创新的能力Course Goalsn让同学们真正能n提高发
7、现问题和解决问题的能力n运用知识和寻找知识的能力n学有所用，增强兴趣和信心n方法n多思考分析n实践预备技能n数学知识n分析，代数，几何，概论，统计，优化n软件使用nMicrosoft Word, Visio, LaTeXnMatlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingon编程nC/C+nGUI ProgrammingGrading PoliciesnGeneral homework and Large projects (?%) nFinal exams (?%)Grading Policies5+方法新颖巧妙，非常好5模型建立求解合理，书写很好4模型建立求解合
8、理，书写规范3模型建立求解基本合理，但书写一般2模型建立求解有问题，书写一般1模型建立不正确，书写糟糕，态度有问题0态度有问题，很遗憾 Requirements(1)n模型报告书写n符合规范n文字，图表清晰n数据说明Requirement(3)n独立完成n相互帮助n团队合作n绝不允许抄袭！Q&A一些简单实例例例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子
9、，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？ 1.51.5 一些简单实例一些简单实例 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎刃而换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这
10、一段路的缘故，故由相遇点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提前了三十分钟到分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？例例2 2 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。问：在什么条件下，地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天可以保证途中至少存在一地，此人在两天中
11、的同一时间到达该地。中的同一时间到达该地。分析分析分析分析 本题多少本题多少本题多少本题多少 有点象有点象有点象有点象 数学中数学中数学中数学中 解的存在解的存在解的存在解的存在 性条件性条件性条件性条件 及证明，当及证明，当及证明，当及证明，当 然然然然 ，这里的情况要简单得多。，这里的情况要简单得多。，这里的情况要简单得多。，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由一天由B B去去A A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只
12、要任何一人的到相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明）请自己据此给出严格证明） 例例3 3 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时
13、间的，在这立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离离 L。这就是说，在离街口距离为。这就是说，在离街口距离为 L处处存在着一条停车线（尽管它没被画在存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。穿过马路。 马路的宽度马路的宽度 D是容易测得是容易测得 的，问题的关键在的，问题的关键在 于于L的确定。为确定的确定。为确定 L，还应当将，还应当将 L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中 L1是司机在发现黄灯
14、亮及判断应当刹是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后为刹车制动后车辆驶过的路程。车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定既可用曲线拟合方法得
15、出，也可利用牛顿第二定律计算出来律计算出来 。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到至少应当达到 （L+D）/v。 DL例例4 4 将形状质量相同的砖块一一向右往外将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设
16、砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖长处，现用砖长处，现用归纳法归纳法推导。推导。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，从而上面，从而上面 n块砖向右推出的块砖向右推出的总距离为总距离为 ，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。 例例5 5 某人住在某公交线附近，该公
17、交线路某人住在某公交线附近，该公交线路为在为在A A、B B两地间运行，每隔两地间运行，每隔 10 10分钟分钟A A、B B两两地各发出一班车，此人常在离家最近的地各发出一班车，此人常在离家最近的 C C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B B去去A A的车，难道由的车，难道由 B B去去A A的车次多些吗？请的车次多些吗？请你帮助他找一下原因你帮助他找一下原因ABABABAB发出车次显然是一样多的，发出车次显然是一样多的，发出车次显然是一样多的，发出车次显然是一样多的， 否则一处
18、的车辆将会越积越多。否则一处的车辆将会越积越多。否则一处的车辆将会越积越多。否则一处的车辆将会越积越多。 由于距离不同，设由于距离不同，设 A A到到C C行驶行驶3131分分钟，钟，B B到到C C要行驶要行驶 3030分钟，考察一分钟，考察一个时间长度个时间长度 为为1010分钟的区间，例分钟的区间，例如，可以从如，可以从 A A方向来的车驶方向来的车驶 离离C C站站时开始，在其后的时开始，在其后的 9 9分钟内到达的分钟内到达的乘客见到先来的车均为乘客见到先来的车均为 B B开往开往A A的，的，仅有最仅有最 后后1 1分钟到达的乘客才见到分钟到达的乘客才见到 由由A A来的车先到。由
19、此可见，如果来的车先到。由此可见，如果此人此人 到到C C站等车的时间是随机的，站等车的时间是随机的，则他先遇则他先遇 上上B B方向来的车的概率为方向来的车的概率为 90%90% 。例例6 6 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑
20、匣子发用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。射射线的强度。方法一方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离距离的平方成反比，即的平方成反比，即 黑匣子所在黑匣子所在 方向方向很容易确定，关键在于确定很容易确定，关键在于确定 距离距离 。设在设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和和I2，两测量点间的距离为两测量点间的距离为 a，则有，则有方法二方法二在在方法一方法一中，两检测点与黑匣子中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易位于一直线上，这一点比较容易 做
21、到，主要缺点是结果对照度测做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A A点测得黑匣子方向后点测得黑匣子方向后 ，到，到B B点再测方向点再测方向 ，ABAB 距距离为离为a ，BACBAC= =，ABCABC= =，利用正弦定理得，利用正弦定理得出出 d = = asinsin/sin (/sin (+ +) ) 。需要指出的是，当。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而黑匣子位于较远处而 又较小时，又较小时，+ +可能非可能非常接近常接近（A
22、CBACB接近于接近于0 0），而），而sinsin（+ +）又又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。也相对较大。BACa例7n将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？ 假设n地面为连续曲面n方桌的四条腿长度相同 n相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 n方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位
23、置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称的对称性性xBADCODC B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位表示椅子位置置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续连续函数函数对
24、任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h(
25、 )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 和和 f( ), g( )的确的确定定模型求解思考n若方桌改为长方形桌子，结论如何？如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程 :矢径所扫过的面矢径所扫过的面 积积A的微分为的微分为:由开普勒第二定由开普勒第二定 律律:常数常数立即得出立即得出
26、:即即:椭圆面积椭圆面积由此得出由此得出常数常数简单推导如下：简单推导如下：行星行星r太阳太阳我们还需算出行星的加速度，为此需要建立我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记沿长轴方向的单位向量记 为为i,沿短轴方向的单位向量记沿短轴方向的单位向量记 为为j，于是：，于是：进而有进而有 加速度加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是量分别是因此得出因此得出由于由于也就是说行星的加速度为也就是说行星的加速度为由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知为常数。若记为常数。若记那么就导出著名的那么就导出著名的 万有引力定律：万有引力定律：再将椭圆方程再将椭圆方程 两边微分两次，得两边微分两次，得将前面得到的结果将前面得到的结果和焦参数和焦参数代入，即得代入，即得
