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1、第2课时 命题及其关系、充分 条件与必要条件1命题命题用语言、符号或式子表达的，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作其中判断为真的语句叫作 ，判断为假的语句叫作判断为假的语句叫作 基础知识梳理基础知识梳理真命题真命题假命题假命题2四种命题及其关系四种命题及其关系(1)四种命题四种命题若原命题为若原命题为“若若p，则，则q”，则其逆命题是则其逆命题是 ；否命；否命题是题是 ；逆否命题；逆否命题是是 .基础知识梳理基础知识梳理若若q，则，则p若若p，则，则 q若若 q，则，则 p“否命题否命题”与与“命题的否定命题的否定”有何
2、有何不同？不同？【思考【思考提示提示】“否命题否命题”与与“命命题的否定题的否定”是两个不同的概念，如果是两个不同的概念，如果原命题是原命题是“若若p，则，则q”，那么这个原，那么这个原命题的否定是命题的否定是“若若p，则非，则非q”，即只，即只否定结论，而原命题的否命题是否定结论，而原命题的否命题是“若若 p，则，则 q”，即既否定命题的条件，即既否定命题的条件，又否定命题的结论又否定命题的结论基础知识梳理基础知识梳理(2)四种命题间的关系四种命题间的关系基础知识梳理基础知识梳理 3充要条件充要条件 (1)若若pq且且q/ p，则，则p是是q的的 条件，条件，q是是p的的 条件；条件；若若p
3、q且且qp，则，则p是是q的的 条件，条件，q也是也是p的的 条件条件 (2)若若A、B为两个集合，满足为两个集合，满足AB，设设Ax|p(x)，Bx|q(x)，则，则p是是q的的 条件，条件，q是是p的的 条条件；若件；若AB，则，则p是是q的的 条件条件基础知识梳理基础知识梳理充分不充分不必要必要必要不充分必要不充分充分必要充分必要充分必要充分必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充分必要充分必要1下列命题是假命题的是下列命题是假命题的是()A若若ac2bc2，则，则abB53C若若MN，则，则lnMlnND若若sinsin，则，则的逆命题的逆命题答案：答案：C三基能力强化三基能力强
4、化2(2009年高考湖南卷改编年高考湖南卷改编)对于对于非零向量非零向量a、b，“a2b0”是是“ab”的的()A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A三基能力强化三基能力强化3(教材习题改编教材习题改编)命题命题“若若a2b20，a，bR，则，则ab0”的逆否命题是的逆否命题是()A若若ab0(a，bR)，则，则a2b20B若若ab0(a，bR)，则，则a2b20C若若a0且且b0(a，bR)，则，则a2b20D若若a0或或b0(a，bR)，则，则a2b20答案：答案：D三基能力强化三基能
5、力强化4a1是直线是直线yax1与与y(a2)x3垂直的垂直的_条件条件答案：充要答案：充要三基能力强化三基能力强化5下列命题：下列命题：若一个整数的末尾数字为若一个整数的末尾数字为0，则这个，则这个整数能被整数能被5整除；整除；奇函数的图象关于原点中心对称；奇函数的图象关于原点中心对称；矩形的对角线相等矩形的对角线相等其逆否命题为真命题的序号为其逆否命题为真命题的序号为_答案：答案：三基能力强化三基能力强化(1)判断命题的真假，可先写出判断命题的真假，可先写出命题，分清条件与结论，直接判断；命题，分清条件与结论，直接判断；(2)如果不易判断，可根据互为如果不易判断，可根据互为逆否命题的两个命
6、题是等价命题来逆否命题的两个命题是等价命题来判断判断课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一命题的判定命题的判定课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1判断下列语句是否是命题，若是，判判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由断其真假，并说明理由(1)矩形难道不是平行四边形吗？矩形难道不是平行四边形吗？(2)垂直于同一条直线的两条直线必平垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？行吗？(3)一个数不是合数就是质数；一个数不是合数就是质数；(4)大角所对的边大于小角所对的边；大角所对的边大于小角所对的边；(5)xy是有理数，则是有理数，则x，y也都是有理也都是有理数；数；(6)求证：求证：xR，方
7、程，方程x2x10无无实数根实数根课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨【思路点拨】根据命题、真根据命题、真命题、假命题的概念进行判定命题、假命题的概念进行判定【解【解】(1)通过反意疑问句，通过反意疑问句，对矩形是平行四边形作出判断，是对矩形是平行四边形作出判断，是真命题真命题(2)疑问句，没有对垂直于同一疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线平行作出判断，不直线的两条直线平行作出判断，不是命题是命题(3)是命题，是假命题，是命题，是假命题，1不是合数不是合数也不是质数也不是质数(4)是命题，是假命题，没有考虑是命题，是假命题，没有考虑到必须在同一个三角形中到必须在同一个三角形中(5)是命题，是
8、假命题，若是命题，是假命题，若x ，y .(6)祈使句，不是命题祈使句，不是命题课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评【名师点评】判断一个语句判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句、反意疑问真假，一般地，陈述句、反意疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量的语句问句都不是命题，含有变量的语句叫开语句，不能判断真假的开语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题也不是命题课堂互动讲练课堂互动讲练在判断四种命题之间的关系时，在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再首先要分清命题的条件
9、与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的就相应地有了它的“逆命题逆命题”“否命否命题题”和和“逆否命题逆否命题”课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二四种命题及其关系四种命题及其关系课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假否命题，并判断它们的真假(1)面积相等的两个三角形是全等三角形面积相等的两个三角形是全等三角形(2)若若q1，则方程，则
10、方程x22xq0有实根有实根(3)若若x2y20，则实数，则实数x、y全为零全为零(4)若若x、y都是奇数，则都是奇数，则xy是偶数是偶数课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨【思路点拨】写成写成“若若p，则，则q”的形式的形式写出逆命题、否命题、写出逆命题、否命题、逆否命题逆否命题判断真假判断真假【解【解】(1)逆命题：全等三角逆命题：全等三角形的面积相等，真命题形的面积相等，真命题否命题：面积不相等的两个三否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题角形不是全等三角形，真命题逆否命题：两个不全等的三角逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题形的面积不相等，假命题(2)逆命题：若
11、方程逆命题：若方程x22xq0有实根，则有实根，则q1，真命题，真命题否命题：若否命题：若q1，则方程，则方程x22xq0无实根，真命题无实根，真命题逆否命题：若方程逆否命题：若方程x22xq0无实根，则无实根，则q1，真命题，真命题课堂互动讲练课堂互动讲练(3)逆命题：若实数逆命题：若实数x，y全为零，全为零，则则x2y20，真命题，真命题否命题：若否命题：若x2y20，则实数，则实数x，y不全为零，真命题不全为零，真命题逆否命题：若实数逆否命题：若实数x，y不全为不全为零，则零，则x2y20，真命题，真命题课堂互动讲练课堂互动讲练(4)逆命题：若逆命题：若xy是偶数，则是偶数，则x、y都都
12、是奇数，是假命题；是奇数，是假命题；否命题：若否命题：若x、y不都是奇数，则不都是奇数，则xy不是偶数，是假命题；不是偶数，是假命题；逆否命题：若逆否命题：若xy不是偶数，则不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题不都是奇数，是真命题课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评【名师点评】(1)“都是都是”的否定是的否定是“不都是不都是”，而不是，而不是“都不是都不是”，因为，因为“x、y不不都是奇数都是奇数”包含包含“x是奇数是奇数y不是奇数不是奇数”、“x不是奇数不是奇数y是奇数是奇数”、“x、y都不是奇数都不是奇数”三三种情况；种情况；(2)“x0或或y0”的否定是的否定是“x0且且y0”，而不是，
13、而不是“x0或或y0”，因为，因为“x0或或y0”包含包含“x0且且y0”、“x0且且y0”、“x0且且y0”三种情况三种情况课堂互动讲练课堂互动讲练判断一个命题是另一个命题的什么条判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利用定义如果件，关键是利用定义如果pq，则，则p叫叫做做q的充分条件，原命题的充分条件，原命题(或逆否命题或逆否命题)成立成立，命题中的条件是充分的，也可称，命题中的条件是充分的，也可称q是是p的的必要条件；如果必要条件；如果qp，则，则p叫做叫做q的必要条的必要条件，逆命题件，逆命题(或否命题或否命题)成立，命题中的成立，命题中的课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三充分条
14、件与必要条件的判定充分条件与必要条件的判定课堂互动讲练课堂互动讲练条件为必要的，也可称条件为必要的，也可称q是是p的充分条件；的充分条件；如果既有如果既有pq，又有，又有qp，记作，记作pq，则，则p叫做叫做q的充分必要条件，简称充要条件，的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题原命题和逆命题(或逆否命题和否命题或逆否命题和否命题)都都成立，命题中的条件是充要的成立，命题中的条件是充要的课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3指出下列各组命题中，指出下列各组命题中，p是是q的什么条件？的什么条件？(1)p：ab2，q：直线：直线xy0与圆与圆(xa)2(yb)22相切；相切；(2)p：|x|
15、x，q：x2x0；(3)设设l，m均为直线，均为直线，为平面，其中为平面，其中l ，m，p：l，q：lm；课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨【思路点拨】(1)先分清命题的条先分清命题的条件与结论；件与结论；(2)分析由前者能否推出后者，由后分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证者能否推出前者，也可利用反例来推证【解【解】(1)若若ab2，圆心，圆心(a，b)到到直线直线xy0的距离的距离d r，所以直线与圆相切，所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切，则反之，若直线与圆相切，则|ab|2，ab2，故故p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件课堂互动讲练课堂互动讲练(2)
16、若若|x|x，则，则x2xx2|x|0成立成立反之，若反之，若x2x0，即即x(x1)0，则，则x0或或x1.当当x1时，时，|x|xx，因此，因此，p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件(3)l lm，但，但lml，p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件课堂互动讲练课堂互动讲练且且时，时，tantan，反之也成立，反之也成立p是是q的充要条件的充要条件课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评【名师点评】(1)要分清充分性和要分清充分性和必要性；必要性；(2)注意两种说法注意两种说法“p是是q的必要不充分的必要不充分条件条件”与与“q的必要不充分条件是的必要不充分条件是p”是等价是等价的；的；(
17、3)从集合的角度理解，小范围可以从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围推出大范围，大范围不能推出小范围课堂互动讲练课堂互动讲练 解：解：(1)若若ab2，圆心，圆心(a，b)到直线到直线xy0的距离的距离d r，所以直，所以直线与圆相切，若直线与圆相切，则线与圆相切，若直线与圆相切，则|ab|2，ab2，故，故q是是p的必要不充分条件的必要不充分条件课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究例例3中其他条件不变，中其他条件不变，q是是p的什么条件的什么条件？(2)若若|x|x，则，则x2xx2|x|0成立，成立，若若x2x0，即，即x(x1)0，则则x0或或x1.当当x1时
18、，时，|x|xx，因此，因此，q是是p的必要不充分条件的必要不充分条件(3)l/ lm，lml，q是是p的充分不必要条件的充分不必要条件课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练证明分为两个环节，一是充分性；证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性证明时，不要认为它是二是必要性证明时，不要认为它是推理过程的推理过程的“双向书写双向书写”，而应该进行，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次由条件到结论，由结论到条件的两次证明证明课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四充要条件的证明充要条件的证明课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)求证方程求
19、证方程ax22x10有有且只有一个负数根的充要条件且只有一个负数根的充要条件为为a0或或a1.【思路点拨【思路点拨】(1)注意讨注意讨论论a的不同取值情况；的不同取值情况；(2)利用根的判别式求利用根的判别式求a的取的取值范围值范围课堂互动讲练课堂互动讲练【证明【证明】充分性：充分性：当当a0时，方程变为时，方程变为2x10，其根为其根为x ，方程只有一负根，方程只有一负根. 2分分当当a1时，时，方程为方程为x22x10，其根为，其根为x1，方程只有一负根方程只有一负根. 4分分当当a0时，时，4(1a)0，方程有两个不相等的根，且方程有两个不相等的根，且 0，方，方程有一正一负根程有一正一
20、负根. 6分分必要性：必要性：若方程若方程ax22x10有且仅有一有且仅有一负根负根当当a0时，适合条件时，适合条件当当a0时，方程时，方程ax22x10有有实根，实根，则则44a0，a1， 8分分当当a1时，方程有一负根时，方程有一负根x1.课堂互动讲练课堂互动讲练若方程有且仅有一负根，则若方程有且仅有一负根，则 ，a0.综上，方程综上，方程ax22x10有且仅有有且仅有一负根的充要条件为一负根的充要条件为a0或或a1. 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练【思维总结【思维总结】(1)条件已知证明条件已知证明结论成立是充分性结论已知推出条结论成立是充分性结论已知推出条件成立是必要性；件成立是必要
21、性；(2)证明时易出现必要性与充分性证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论哪是结论课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分10分分)求证：关于求证：关于x的方程的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是有两个负实根的充要条件是m2.证明：证明：(1)充分性：因为充分性：因为m2，所以所以m240，方程方程x2mx10有实根有实根设设x2mx10的两个实根为的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知由根与系数的关系知x1x210，所以所以x1、x2同号同号又因为又因为x1x2m2，所以所以x1、x2同为负根同为负根. 4分分课堂互动讲
22、练课堂互动讲练高考检阅高考检阅(2)必要性：因为必要性：因为x2mx10的两个的两个实根实根x1、x2均为负，且均为负，且x1x21，所以所以m2(x1x2)2(x1 )2 0， 8分分所以所以m2.综合综合(1)(2)知命题得证知命题得证. 10分分课堂互动讲练课堂互动讲练1四种命题间的关系四种命题间的关系在判断四种命题之间的关系时，首先在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就
23、相应地有了它的命题，也就相应地有了它的“逆命题逆命题”“否否命题命题”和和“逆否命题逆否命题”规律方法总结规律方法总结2命题中条件与大前提的关系命题中条件与大前提的关系当一个命题有大前提而要写出其他三当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个在写其他三种命题时，应把其中一个(或或多个多个)作为大前提作为大前提规律方法总结规律方法总结3集合与充要条件的关系集合与充要条件的关系规律方法总结规律方法总结记法记法Ax|p(x)，Bx|q(x)关系关系A BB AABA B且且B A图示图示结论结论p是是q的充分的充分不必要条件不必要条件p是是q的必要的必要不充分条件不充分条件p是是q的充的充要条件要条件p是是q的既不充分的既不充分也不必要条件也不必要条件注意：注意：这里的集合这里的集合A、B分别是分别是使命题使命题p和和q为真命题的对象所组成为真命题的对象所组成的集合的集合规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入
