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1、第三节复化求积公式背景：背景：由于由于 的的Newton-CotesNewton-Cotes公式公式不稳定不稳定，一般不宜使用；而在较，一般不宜使用；而在较大的积分区间上采用低阶的大的积分区间上采用低阶的Newton-CotesNewton-Cotes公式进行计算，公式进行计算，精度又比较低精度又比较低。改进：改进：把积分区间分成若干相等的子区间（把积分区间分成若干相等的子区间（分段分段），在每个子区间上使），在每个子区间上使用用低阶低阶求积公式，最后把结果加起来。求积公式，最后把结果加起来。定步长积分法定步长积分法称称 为为复化梯形公式复化梯形公式，下标，下标n n表示将区间表示将区间n n
2、等分。等分。称称 为为复化复化SimpsonSimpson公式公式，下标，下标n n表示将区间表示将区间n n等分。等分。类似地类似地，我们有复化，我们有复化SimpsonSimpson公式的余项：公式的余项：（N=2，三点插值三点插值）3 3 复化复化CotesCotes公式公式（N=4，五点插值五点插值）（梯形公式、（梯形公式、Simpson公式、公式、Cotes公式）公式）例例3.1解：解：由复化梯形公式的截断误差，有由复化梯形公式的截断误差，有q.q.q.第第4 4节节 变步长复化求积法变步长复化求积法逐次分半算法逐次分半算法变步长积分法变步长积分法G.绿绿 蓝蓝 红（由红（由粗粗到到
3、细细逐次逐次减半减半）误差的这种估计法称为误差的这种估计法称为事后估计事后估计（或（或后天估计后天估计）A.q.第第5 5节节 龙贝格（龙贝格（RombergRomberg）求积法）求积法- -逐次分半加速收敛算法逐次分半加速收敛算法提出问题：提出问题：能否通过能否通过求积公式的截断误差求积公式的截断误差，构造出，构造出一个新的序列一个新的序列，它逼近，它逼近I的阶更高？的阶更高？或者或者如何提高收敛速度以节省计算量？如何提高收敛速度以节省计算量？q.“修正修正”的想法！的想法！这说明这说明用用梯形法梯形法二分前后的两个积二分前后的两个积分值分值Tn与与T2n的的线性线性组合的结果组合的结果得
4、到得到复复化辛普森法求积公化辛普森法求积公式式复化梯形公式复化梯形公式复化辛普森公式复化辛普森公式.复化复化Simpson公式公式复化复化Cotes公式公式Romberg公式公式q.1 1）同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式；同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式；2 2）同一列求积公式的代数精度相同；同一列求积公式的代数精度相同；3 3）表中对角线上相邻元素之差小于允许误差时，停止计算。表中对角线上相邻元素之差小于允许误差时，停止计算。加速公式加速公式在变步长的过程中在变步长的过程中运用加速公式，就运用加速公式，就能将粗糙的梯形值能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度逐步加工成精度较高的
5、辛普森值较高的辛普森值Sn 、柯特斯值、柯特斯值Cn和龙和龙贝格值贝格值Rn .第第6 6节节 高斯（高斯（GaussGauss）求积公式）求积公式在构造在构造Newton-Cotes公式公式时，限定时，限定用积分区间用积分区间a,b的等分点的等分点作为求积节点作为求积节点(等等距划分距划分)，这样做虽，这样做虽简化了问题的处理过程简化了问题的处理过程，但同时也，但同时也限制了精度限制了精度。在在节点数目固定节点数目固定为为n+1+1的条件下，能否通过的条件下，能否通过适当选取适当选取求积节点求积节点x xk k的位置的位置以及以及相应的求积系数相应的求积系数A Ak k，使求积公式，使求积公
6、式具有尽可能高具有尽可能高( (最高最高) )的代数精度的代数精度( (记为记为,m,m）？ 提出问题：提出问题：1)2)为了使问题具有一般性，我为了使问题具有一般性，我们主要考虑如下带权积分：们主要考虑如下带权积分：问问 (1) 最高最高可达多少？可达多少？ (2) 如何构造如何构造这样的公式？这样的公式？插值型求积公式插值型求积公式(*)(*)求积公式含有求积公式含有2n+2个待定参数个待定参数xk、Ak(k0,1,n)若用若用待定系数法待定系数法确定它们确定它们, 则最好需要则最好需要2n+2个独立的条件个独立的条件, 根据代数精度的定义根据代数精度的定义, 令令 f (x) = 1,
7、x, x2, , x2n+1 ，代入上面求积公式，代入上面求积公式, 得到非线性方程组得到非线性方程组若解存在若解存在(? 可证可证), 求解求解. 从而求积公式的代数精度从从而求积公式的代数精度从n次次提高到提高到2n+1次次. 这类求这类求积公式称为高斯（积公式称为高斯（Gauss）求积公式）求积公式. 将节点将节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。令都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入上面公式求解（解存在！），得到的公式具有代入上面公式求解（解存在！），得到的公式具有2n+1 次代数次代数精度。这样的节点称为精度。这样的节
8、点称为Gauss 点点，公式称为，公式称为Gauss 型求积公式型求积公式。定义定义6.1. 6.1. 分析上面的公式，易见分析上面的公式，易见问题问题6. 6. 方法一令公式对于令公式对于f (x) = 1, x, x2, x3 ，准确成立，则有，准确成立，则有两点两点Gauss公式公式第一步第一步第二步第二步1 1）3 3）2 2）4 4）1 1）2 2）3 3）4 4）代入代入1 1）、）、2 2）第三步第三步称上面的公式为称上面的公式为两点两点Gauss求积公式求积公式。注释：注释：从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常n2就很
9、就很难求解故一般不通过解方程来求待定难求解故一般不通过解方程来求待定 系数系数xk 及及 Ak (k0,1, , n) 从分析从分析高斯点的特性高斯点的特性着手，来构造着手，来构造Gauss 求积公式求积公式. 怎怎么么办办？即即方法二由于由于前面的前面的求积公式是插值型的求积公式是插值型的，故，故至少具有至少具有1次代数精次代数精度度，从而有，从而有另一方面，易见另一方面，易见于是于是故要使故要使只需只需据正交多项式的性质可知据正交多项式的性质可知从几何直观上看，是从几何直观上看，是寻找两点，使通过该寻找两点，使通过该两点的直线在两点的直线在-1,1上上围成的面积与围成的面积与f(x)在在该
10、区间上围成的面积该区间上围成的面积相等！相等！解之，得解之，得上面所得到的求积公式称为上面所得到的求积公式称为Gauss-Legendre求积公式求积公式.一般积分区间一般积分区间a,ba,b上的两点上的两点Gauss-LegendreGauss-Legendre求积公式求积公式: :例：用两点高斯公式求例：用两点高斯公式求 的近似值。的近似值。解：解：定理定理6.1.节点节点xk(k=0,1,n)为为Gauss点点一、一般的高斯一、一般的高斯(Gauss)(Gauss)求积公式求积公式关键在于求高斯点关键在于求高斯点. .这就是高斯这就是高斯(Gauss)点所应满足的条件点所应满足的条件!换
11、一句话说换一句话说，在，在a,ba,b上带权上带权(x)(x)的的n+1n+1次正交多项次正交多项式的零点就是式的零点就是求积公式的求积公式的GaussGauss点点. .有了高斯点有了高斯点xk，再使用如下线性方程组，再使用如下线性方程组可解得可解得Ak.二、高斯求积公式的余项二、高斯求积公式的余项/* 设设H为为f 的过的过x0 xn的插值多项式的插值多项式 */*只要只要H 的阶数不大于的阶数不大于2n+1，则下，则下一步等式成立一步等式成立*/插值多项式的余项插值多项式的余项Q：什么样的什么样的插值多项式插值多项式在在 x0 xn 上有上有 2n+1 阶？阶？A：Hermite 多项式
12、！多项式！满足满足二、高斯求积公式的稳定性与收敛性二、高斯求积公式的稳定性与收敛性定理定理6.2. Gauss求积公式的系数都是求积公式的系数都是正的正的，且，且定理定理6.3. 设设f(x) Ca,b，则，则Gauss求积公式是求积公式是收敛的收敛的，即，即三、常用的高斯求积公式三、常用的高斯求积公式 Gauss-Legendre求积公式求积公式：其中其中直接计算上式直接计算上式比较困难比较困难。我们可得到。我们可得到更简便的系数公式更简便的系数公式：由于由于Ak与与f(x)无关，我们可取：无关，我们可取：2n次多项式次多项式注意到积分端点注意到积分端点 1 可能是积分的可能是积分的奇点奇点，用普通，用普通Newton-Cotes公式公式在端点会出问题。而在端点会出问题。而Gauss公式可公式可能避免此问题的发生。能避免此问题的发生。 Gauss-Chebyshev求积公式求积公式：其中其中于是于是上式的分子：上式的分子：于是于是上式的分母：上式的分母：
