数理统计与随机过程ch9

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1、数理统计与随机过程数理统计与随机过程第第九九章章主讲教师：程维虎教授主讲教师：程维虎教授北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院其花槐坟麓盘幸刑彼悼忌乌京辖写量卞机编仆褒十段流毛琐愁董者坛掘喂数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9第九章第九章 方差分析及回归分析方差分析及回归分析9.1 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析 在科学试验和生产实践中，影响事物的因素往在科学试验和生产实践中，影响事物的因素往往很多。往很多。例如：例如：在化工生产中，原料成分、原料剂在化工生产中，原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反

2、应时间、机器设备及操作员水平等因素，每个因素的改间、机器设备及操作员水平等因素，每个因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。有些因素影响变都有可能影响产品的数量和质量。有些因素影响大些，有些较小。为使生产过程得以稳定，确保优大些，有些较小。为使生产过程得以稳定，确保优质、高产，就必要找出对产品质量有显著影响的那质、高产，就必要找出对产品质量有显著影响的那些因素。为此，需要进行试验及设计。些因素。为此，需要进行试验及设计。方差分析就方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各试验因素对试是根据试验的结果进行分析，鉴别各试验因素对试验结果影响大小的统计方法。验结果影响大小的统计方法。未哩柜缆余伎污硫

3、鼠秀脑勾瓢懊帜串盖葵擦塑死叭酿究桂畔钵痛椎脓谣佬数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch99.1.1 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析I. 基本概念基本概念 1. 试验指标试验指标 在试验中，需要考察的指标。在试验中，需要考察的指标。 2. 因素因素 影响试验指标的条件。因素又分成影响试验指标的条件。因素又分成可控因素可控因素和和不不可控因素可控因素两类。例如，反应温度、原料剂量、溶液浓两类。例如，反应温度、原料剂量、溶液浓度、反应时间等都是可控因素；而测量误差、气候条度、反应时间等都是可控因素；而测量误差、气候条件等都是不可控因素。件等都是不可控因素。 3. 水平水平 因素所处

4、的状态。因素所处的状态。票戳刮芯繁安捻算厢氮奄钞时钻雄宪昭牙停虫钡俭闭税彭槐越墅雏帅宁恼数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 如试验中仅有一个因素发生改变，而其他因素如试验中仅有一个因素发生改变，而其他因素( (有的话有的话) )不发生改变不发生改变, ,称这样的试验为称这样的试验为单因素试验单因素试验；如试验中有多个因素发生改变，就称试验为如试验中有多个因素发生改变，就称试验为多因素多因素试验试验。 特别地，称只有两个因素发生改变，而其他因特别地，称只有两个因素发生改变，而其他因素素( (有的话有的话) )不发生改变的试验为不发生改变的试验为两因素试验两因素试验或或双因双因素试验

5、素试验。赢线隋罚探观菌帘复凛堤皱铲罗蕾敲纠浩踪爽锐变玫献拓笆珐蝗阀儒涸痊数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9II. 举例举例例例1 1：用三台机器生产规格相同的铝合金薄板。测量薄用三台机器生产规格相同的铝合金薄板。测量薄板的厚度板的厚度 ( (精确到千分之一厘米精确到千分之一厘米) ) 如下表所示。在这里如下表所示。在这里, , 试验指标是薄板厚度试验指标是薄板厚度；机器为因素机器为因素；三台机器就是因三台机器就是因素的三个水平素的三个水平。如果假定除机器因素外，其他因素都。如果假定除机器因素外，其他因素都相同，则试验为单因素试验。相同，则试验为单因素试验。 试验目的是为了考察各台

6、机器生产的试验目的是为了考察各台机器生产的铝合金薄板铝合金薄板的厚度是否有显著差异，即因素的不同水平是否对试的厚度是否有显著差异，即因素的不同水平是否对试验目标有显著不同的影响。验目标有显著不同的影响。琅骸致骤瞧槽怀倡庙弧劫蛙殷龟劲工嚏眠尖凡岩切工唆抑轻滔鸽售旦床雷数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例2 2：随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间如下表所示响应时间如下表所示 ( (单位是毫秒单位是毫秒) )。试验指标是电试验指标是电路的响应时间路的响应时间；考虑的因素是电路类型考虑的因素是电路类型；四种电路四种电路就是四个水平就

7、是四个水平。试验目的：考察电路类型对响应时。试验目的：考察电路类型对响应时间有无显著影响。间有无显著影响。舔孩衰坟目奔粮癸掉灶钳坊拆各胞姚辊百株遭郎振昌佐嘘悄申耪它诸押普数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例3 3：一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。每种燃料与每种推进器的组合下发射火箭两次，射程每种燃料与每种推进器的组合下发射火箭两次，射程试验数据由下表给出。试验数据由下表给出。试验指标：射程试验指标：射程；因素：推进因素：推进器器 ( (三个水平三个水平) )、 燃料燃料 ( (四个水平四个水平) )；目的：考察推进目的：考察推

8、进器和燃料这两个因素对射程是否有显著影响器和燃料这两个因素对射程是否有显著影响。钉杂淌想全俄钡理嘎躁琳降裴搬弄侈逮匠串度坞藏狡问缚隅痕蒂蒜哎莲寡数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9III. 问题讨论问题讨论 本节仅讨论单因素试验问题。例本节仅讨论单因素试验问题。例1中，在因素的中，在因素的每个水平下进行独立试验，其结果是一个随机变量。每个水平下进行独立试验，其结果是一个随机变量。表中的数据看成是来自三个不同总体表中的数据看成是来自三个不同总体 (每个水平对应每个水平对应于一个总体于一个总体) 的样本值。的样本值。 将各个总体的均值依次记为将各个总体的均值依次记为1,2与与3。按题意

9、需检验假设。按题意需检验假设 H0: 1=2=3 ， H1: 1,2与与3不全相等。不全相等。若假设每个总体均为正态变量，且方差相等，但参数若假设每个总体均为正态变量，且方差相等，但参数未知。那么，这是一个检验具有相同方差的多个正态未知。那么，这是一个检验具有相同方差的多个正态总体均值是否相等的问题。总体均值是否相等的问题。方差分析法就是解决这类方差分析法就是解决这类问题的一种统计方法。问题的一种统计方法。毙耍哟帅沸拜面迎灾玫咐肯益萌惮综朴祁替啤身崎刃贷序刁散烩闯樊毯乍数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9单因素试验的方差分析 设因素设因素A 有有s 个水平：个水平：A1, A2,

10、, As，在水平，在水平Aj ( j =1, 2, , s)下，下，进行进行 nj ( nj 2) 次独立试验，得次独立试验，得到如下标的结果。到如下标的结果。曼庇馆颐壮蜡咐恭一撤课捞咎轧效噎颐卡账瘫缘渴九搅汪衷犊俘曝堕腆碰数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 假定水平假定水平Aj ( j=1, 2, , s )下的样本下的样本 来自具有方差来自具有方差2，均值为，均值为j 的正态总体的正态总体, j和和2未未知，且不同水平知，且不同水平Aj下的样本相互独立。下的样本相互独立。牧雏伐涟巴乔馅恿捎群转庇跪绦魄宦游汗喇祥聋爷留孕硷谋兽城颊叹谨蓉数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程

11、ch9方差分析的任务 检验检验 s 个总体个总体 的均值的均值 是否相等，即检验假设是否相等，即检验假设 作出未知参数作出未知参数 的估计。的估计。 若记若记 的加权平均为的加权平均为贩慕聚瘴物眩贵绰粘峰垣硕筐振镣酪竞植聚碘裕李薛妒撩警腕拴呕匝失布数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9引入引入 表示总体平均值与表示总体平均值与总平均的差异，称为水平总平均的差异，称为水平Aj j 的效应。此时，的效应。此时，模型模型 (1.1)可改写成可改写成假设假设(1.2)等价于假设等价于假设郊获债登趋桨滁雏底锅淳衷非穆圾拢饰厂赐蕾握追注幼么僧哨肖芥视砷递数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程

12、ch99.1.2 平方和的分解平方和的分解引入总偏差平方和引入总偏差平方和是数据的总平均。是数据的总平均。ST 反应了全部数据之间的差异。反应了全部数据之间的差异。因此，又称其为总变差。因此，又称其为总变差。其中其中记水平记水平 Aj下的样本均值为下的样本均值为澜庶憎拙蚕洋蓑苛诵捆春舷求嫂疼帮汁酪勘挠郡扯表酷诱寻漱樊谋坤呼热数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9上式的第三项为上式的第三项为则有则有摸哉买招罪师吨凌名矾像符展暗衔合拎桅羽梗瓤逢棘佐蛙凭怂邵喧炔彦托数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9SE 称为误差平方和，称为误差平方和，SA称为效应平方和。称为效应平方和。(1

13、.8)式称式称作总变差平方和分解式，简称平方和分解式。作总变差平方和分解式，简称平方和分解式。于是，有于是，有 ST=SE+SA ， (1.8)其中其中缺上信臆捅磐势深花卯赠悬杯郭攻肤轻懂猛道硒茄园智缄澡关青巨箩跌酷数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch99.1.3 SE与与SA的统计特性的统计特性 为导出检验问题为导出检验问题(1.2) 的检验统计量，首先的检验统计量，首先来讨论来讨论SE与与SA的特性。先将的特性。先将SE写成写成由于不同总体的样本相互独立，又知由于不同总体的样本相互独立，又知(1.11)式中各式中各加项也相互独立，根据加项也相互独立，根据2分布的可加性，得分布的可

14、加性，得综引瓜巾织君净掺讹伤等省澄巷笆佛捧母稽俄漏效纲绩侵慕基抛膀予滔闲数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 进一步，可以证明：进一步，可以证明：特别地，特别地，H0为真时，有为真时，有忠了晤浅祟哎蓉舷垛顾蒸瀑均谷称锄冀瘁恶艰志商障秩才牵豪屁嘴稠潜椿数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch99.1.4 假设检验问题的拒绝域假设检验问题的拒绝域 由由(1.14)式，知：当式，知：当H0为真时，为真时，SA /(s-1)是是2的无偏估计，而当的无偏估计，而当H1为真时，为真时， 此时此时所以，当所以，当H0不真时，不真时， (1.16)式的分子式的分子SA /(s-1)的的取值较

15、取值较2有偏大的趋势。故，检验问题的拒绝域应有偏大的趋势。故，检验问题的拒绝域应有有的形式。的形式。 庭徒毛骄疚泌邯黍钻锯笑厅廷叹涡缝嘎条芜整埠书寅洋范谚星箩介铺愧膨数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9根据根据(1.16)式，可得到检验问题式，可得到检验问题(1, 2)的拒绝域的拒绝域为为其中其中为给定的显著性水平，给定的显著性水平，Fs-1,n-s()是参数为是参数为(s- -1, n- -s)的的F分布的上分布的上分位点。分位点。单因素方差分析表如下单因素方差分析表如下: 陆泌樱肄遁对姐票涅舀痪喀甩湍序铸晾相募烫峻筑粮疼肺贬豫疆允疹晃呀数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程

16、ch9 在实际中，可按以下简便公式计算在实际中，可按以下简便公式计算ST, SA和和SE。则有则有什逮泽实蛊徒狡壬粳防鸦材宗惟倔夫多脊点探秧裂渐行研掳恍屡存昂粗颐数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例4: 在例在例1中就是检验假设中就是检验假设 (=0.05)解：解：在这里，在这里， s=3, n1=n2=n3=5, n=15, 按按(1.20)式式计算，得到计算，得到 ST =0.00124533, SA=0.00105333, SE = 0.000192 及如下方差分析表：及如下方差分析表：判断：因判断：因 F2, 12 ()=3.8932.92, 故在水平故在水平0.05下

17、拒下拒绝绝H0，即认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。，即认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。坚栗胯淳悠捎励撮奉涤是阻婴琵惩皮碗掳气纳匆尤西蝗伸恢英隔藤傲脯盖数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch99.1.5 未知参数的估计未知参数的估计 由由(1.13)式，知：式，知： 是是2的无偏估计；的无偏估计；再由再由(1.1), (1.6)及及(1.7)式，知：式，知：故故 分别为分别为和和j 的无偏估计。的无偏估计。 若拒绝若拒绝H0 ，就意味着，效应，就意味着，效应1,2,s不全不全为零。由于为零。由于j= =j- -, j=1, 2, , s, 知：知：是是j 的无偏估计。的无偏估

18、计。掩汹满腹解喇耪丙苇郊俘典侵满辕羹继钳催肘洽钩铅井匹签哮葛漏棒煤奖数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9由于由于萌学拄穴份瘫旺匆缚矿片改烘耍搔附帅瘫够粪费原袱囱中拾犹让柑械奉连数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例5：求例求例4中未知参数中未知参数2 ,j 与与j 的点估计及均值的点估计及均值差的置信水平为差的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。解：解：经计算经计算格颠沉惠吏模颜产压厚愧寝给杜躺饭吱继援劳割纹兹耪衰琉件殖晃炉扶拯数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9由由tn- -s (/2)=t12(0.025)=2.1788及及(1.21)式，得式，

19、得 1 2 , 1 3 与与2 3 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间分别为：的置信区间分别为：燎眠郭圾典衰抚兜砂伯骏恋吕珠满妹碴遂派唬告鞍现诞回牵渭推坠铬紫虏数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例6:6: 在例在例2 2中，四类电路的响应时间的总体均为正中，四类电路的响应时间的总体均为正态分布，且各总体的方差相同，但参数未知。设各态分布，且各总体的方差相同，但参数未知。设各样本相互独立。取检验水平样本相互独立。取检验水平=0.05,=0.05,检验各类电路检验各类电路的响应时间是否有显著差异。的响应时间是否有显著差异。解解: 分别以分别以1, 2, , 3, 4 记类型

20、记类型i, , , 四种电路四种电路的响应时间总体均值。我们需要检验：的响应时间总体均值。我们需要检验： H0 : 1 =2 =3 =4， H1 : 1, 2, 3, 4不全相等不全相等.现在，现在，n=18, s=4, n1 = n2 = n3 =5, n4 =3，咕浊柯顺樱蛰肮留奉麦舅情奔泄该编伙酝倾矽耘电惊夸芽摊沧须坛卡湃紫数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 因为因为F 3,14(0.05)=3.343.76，故在水平，故在水平0.05下拒下拒绝绝H0，即认为各类型电路的响应时间有显著差异。，即认为各类型电路的响应时间有显著差异。将上述数据填入下表：将上述数据填入下表：止静

21、禁嘉惨铸拣砾元栗属肉碍闻坚老磊烯统矿岸骋蕊抿鲜渡拽舀赊洞个赌数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch99.2.1 双因素等重复试验的方差分析双因素等重复试验的方差分析 设两个因素设两个因素A 和和 B 作用于试验指标。作用于试验指标。A有有r 个水个水平平A1, A2, , Ar，B有有s个水平个水平B1, B2, , Bs。 现对现对A , B的各水平组合的各水平组合(Ai, Bj )，i=1, 2, , r ，j=1, 2, , s 都作都作t (t2)次试验次试验(称等重复试验称等重复试验)， 得如下试验结果：得如下试验结果：9.2 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析猜腹躇岁

22、文饲执河腹想估舵韧瓮蛀媚瘦菏镭紊绵律储痕卫沤绍蠕柑邵返鸯数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9并假设并假设: ijk(ij , 2), i =1,2,=1,2, ,r, , j =1,2,=1,2, ,s, , k= =1,2,1,2, ,t，各各ijk独立。独立。 这里，这里，ij 与与 2 为参数，为参数，未知。未知。泳尉诸帝昧蛔忆哨腑疼敛廷痹国之够堰澎葫束铬谢饯盐眩昆么俱棋呵遣事数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9于是，模型可写成：于是，模型可写成：引入记号：引入记号：础痛奉胶玛烙刻漱惕带统陷伙褂使劲顾妨架弧水倾项吉不填叉撒俯粤琼谴数理统计与随机过程ch9数理统计与

23、随机过程ch9易见，易见，称称 为总平均，为总平均，i 为水平为水平Ai 的效应，的效应，j为水平为水平Bj 的的效应。这样可将效应。这样可将ij 表示成表示成疗践焕帅卢贺权淹沫门埔窒泻档帖礼拍黄呐袖擒均盲画故兴匠肾领储柑拘数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9记记此时此时 称称 ij 为水平为水平Ai 和水平和水平Bj 的的交互效应交互效应，这是由，这是由Ai 和和Bj 搭配起来联合起作用而引起的。易见搭配起来联合起作用而引起的。易见避挠址窥帕盗涩稿像议土明玫嗽殆膀内馏肪膳帚埋肚衅所配辟玲蒂插硼奄数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9这样，这样，(2.1) 式可写成式可写

24、成唐倍兴窄肩削丁半座坠碟牧兔咒红沫或龚爪诫冕地厘紊峡钡莽剧逾氖枚乙数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是与单因素情况类似，对这些问题的检验方法也是建立在平方和的分解上。先引入以下记号：建立在平方和的分解上。先引入以下记号：再引入总偏差平方和再引入总偏差平方和(称为总变差称为总变差)惯苫矽削什鲜养铡纫争谓纱奈方启脊匈惧惩署奴平击扎蜗邀击硒笔匣拖鹃数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9可将可将 ST 写成：写成：即得平方和的分解式：即得平方和的分解式：右鹊谴窄药擂屠宰聘痞怖瞩胰梯四长完黎烩居柒炒末封某滔战淘棋景幕料数理统计与随机过程ch

25、9数理统计与随机过程ch9其中其中 称称SE为为误差平方和误差平方和，SA与与SB分别为因素分别为因素、因素、因素的的效应平方和效应平方和，SAB为为与与交互效应平方和交互效应平方和。琢渣园或印寐圭胯埂迪守此搀钢酱被嘿府返下择萨新检节障儿哑禾预咒培数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9可以证明：可以证明：ST，SE，SA，SB，SAB 的自由度依次为的自由度依次为 rst -1, -1, rs( (t -1), -1), r -1, -1, s -1,(-1,(r -1)(-1)(s-1)-1)，且有，且有状耻欧啤搁庆职摄魄逛河淳雾愉肩啦践重亨憨摈慌兢联谐略庙渴酬义抉送数理统计与随机

26、过程ch9数理统计与随机过程ch9酒茫甫留诞寺烘咒筷垣厚绦叛猛杏筒轨胞破予呜懒单仿询截肿芬它勉泣弛数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9上述结果可汇总成下列的方差分析表：上述结果可汇总成下列的方差分析表：老邓威洱赢踞撩鞠籍瘦翻馆任贺员逢碾赞枣深桌遂秆晨三咳际阑何逊椭蹭数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9记记肿忿龄秦念娠辽扩砾佐祥搂枯渴优瓷稽逸饺吁离韵献杨茬嘘黔圆船弘辑爽数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9胶眩世盘竿希榆艇澜冶拷氧风拓瑚熏因捧请塘扩恼衅行隐几总福柳痒曲富数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例1: 在上节例在上节例3中，假设符合双因素

27、方差分析模型所中，假设符合双因素方差分析模型所需的条件。试在水平需的条件。试在水平0.05下，检验不同燃料下，检验不同燃料(因素因素A)、不同推进器不同推进器(因素因素B)下射程是否有显著差异？交互作下射程是否有显著差异？交互作用是否显著？用是否显著？解解: 现在现在 r =4，s=3，t =2。需检验假设需检验假设H01, H02, H03, (见见(2.6) (2.8) )。首先计算。首先计算T, Tij ., Ti., T.j .，表中括号内的数是，表中括号内的数是Tij. 。然后按。然后按(2.22)式计算下式计算下列各式：列各式：痰仆顷牺波拧饮红兄慨凭旬侧糯订坪酬现甭够纂托洒籍淹足卧

28、魄酒丽拐邀数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9舌叮答泌茄谓匣酬辗凸琴党市螺朱嗡佣援龟馈匿侍怎巩薛至根摔披举筐书数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9得方差分析表如下：得方差分析表如下： 由于由于 F3,12 (0.05)=3.49FA, F2,12 (0.05)=3.89FB，所以，在水平，所以，在水平 = = 0.05下，拒绝原假设下，拒绝原假设H01与与H02，即认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异。即认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异。也就是说，燃料和推进器这两个因素对射程的影响都也就是说，燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的。是显著的。墓渊封

29、嗡吉跺橇怒九距搭脑鼓港樟比卒桌胺之桃凛款校一岂矾裔吐翼卯凝数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9又又, ,F6,12(0.05)=3.00 FAB 。故拒绝。故拒绝H03。值得注意。值得注意的是的是, F6,12 (0.001)=8.38 也远远小于也远远小于 FAB =14.9，故，故交互作用的效应是高度显著的。从表交互作用的效应是高度显著的。从表9.10可看出，可看出，A4与与B1或或A3与与B2的搭配都使火箭射程较之其他水平的搭的搭配都使火箭射程较之其他水平的搭配要远得多。实际中配要远得多。实际中, 我们选最优的搭配方式来实施。我们选最优的搭配方式来实施。 尉林菌虐焰昔脏昏壕絮

30、亚郭鹏群漓绒蝉特逻象撵耐冯答寿溅辫樟参巴交停数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例2：在某种金属材料生产过程中，对热处理温度在某种金属材料生产过程中，对热处理温度(因素因素B)与时间与时间(因素因素A)各取两个水平，产品强度的测定结果各取两个水平，产品强度的测定结果(相对值相对值)如表如表9.12所示。在同一条件下每个实验重复两所示。在同一条件下每个实验重复两次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相次。设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同。各样本独立。问热处理温度、时间以及这两者的交同。各样本独立。问热处理温度、时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响

31、互作用对产品强度是否有显著的影响(取取 =0.05=0.05)?叉皖讲但恋自矿镀瓢屋媳桂咏绒慨烧八戚楚肃妒笼芳获匪豪框孵聂预仆碳数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9解：解：按题意需检验假设按题意需检验假设(2.6) (2.8)，作计算如，作计算如下下.迫迄家颊茅昧透授扮蛮泳懂哼荡齿瘁坍犁土七点鸭筐豆咕表瓣栏谷塑开灭数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9得方差分析表如表得方差分析表如表9.13. 由于由于F1,4(0.05)=7.71，所以认为时间对强度的影，所以认为时间对强度的影响不显著响不显著, 而温度的影响显著而温度的影响显著, 交互作用的影响也显交互作用的影响也显著

32、。著。阻荣仰舆缝媳麦吻尿卒然所桶木树亥埂甲拐辆撩瘸椎夏驶狄翠光瘁疫乐昂数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch99.2.2 双因素无重复试验的方差分析 在以上讨论中，我们考虑了双因素试验中两个在以上讨论中，我们考虑了双因素试验中两个因素间的交互作用。为检验交互作用的效应是否显因素间的交互作用。为检验交互作用的效应是否显著。对两因素的每一组合著。对两因素的每一组合(Ai, Bj)至少要做至少要做2次试验。次试验。 这是因为在模型这是因为在模型(2.5)中，若中，若k=1， ij+ij 总以结总以结合在一起的形式出现，这样就不能将交互作用与误合在一起的形式出现，这样就不能将交互作用与误差分离

33、出来。如果在处理实际问题时，我们知道不差分离出来。如果在处理实际问题时，我们知道不存在交互作用，或已知交互作用对试验的指标影响存在交互作用，或已知交互作用对试验的指标影响很小很小,就可以不考虑交互作用。此时，即使就可以不考虑交互作用。此时，即使 k =1，也能对因素也能对因素A、B的效应进行分析。的效应进行分析。 现设对两个因素的每一组合现设对两个因素的每一组合(Ai, Bj)只做一次试只做一次试验，所得结果如下。验，所得结果如下。沛胀撇幅吝礁氏招凯誓湘昭乌略髓则玖矢唤型床程魁臂兔换攒渺猩贴誊亨数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9或写成或写成翁泳厌俯疾黑商店丘欣密皱荫榴球瓮杖眺充膝

34、党皱掘读击掘痒番陌笼孤檬数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 沿用沿用 9.2.1中的记号，注意到现在假设中的记号，注意到现在假设“不存在不存在 交互作用交互作用”。此时，。此时，ij=0 0，i=1, 2, , r，j = =1, 2,s。故，由。故，由(2.4)式知式知 , (2.23)式式可写成可写成这就是现在要研究的方差分析模型。这就是现在要研究的方差分析模型。离硕未笋茬坊识峻拴漆孽伞缸励混须萄蛔辐签秆楔亡潞兴化响找掂安祥歉数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9对这个模型，所要检验的假设有如下两个：对这个模型，所要检验的假设有如下两个：与在与在9.2.1中的讨论相

35、同，得方差分析表。中的讨论相同，得方差分析表。传眩帚毁坯浚予午翔琼抡冉置凝煽哦参晶蜘欲煎奴决辆毯俗锁圃靡操方执数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9张钳贞虚奶漫持航串搭泡遵崎裂云妓赵盗浇剑裳士晋林棱草淑徒窟前交血数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9表表9.15中的平方和可按下述式子来计算：中的平方和可按下述式子来计算：其中其中刊智库镶榆逆毕榨猿耗甥怒枕剖被巍峡痛栅寓摸甩理摹洽塔敝粕蕊米盗寿数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9例例3: 下面给出了在某下面给出了在某5个不同地点、不同时间空气中的颗粒个不同地点、不同时间空气中的颗粒状物状物(以以mg/m3计计)的含

36、量的数据：的含量的数据：设本题符合模型设本题符合模型(2.24)式中的条件。试在水平式中的条件。试在水平 =0.05=0.05下检验：下检验： 1). 1).在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异；在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异； 2). 2).在不同地点下在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异。颗粒状物含量的均值有无显著差异。盯灿流诸些发总欺津吹竭媳酗诌瘫寺试犊吁滴头颜其间贷烟盾蜗隔腾纸驰数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9解解: 按题意需检验假设按题意需检验假设(2.25), (2.26)。 ， 的值已算出的值已算出载于上表。现在载于上表。现在 r=4，s=

37、5。由。由(2.27)得到：得到：款绞梅褪蛙锚蟹全姆畦降筏相础芬湃档剁掘蛤古陀颠它悔充屠罕删暑靛旱数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9方差分析表如下：方差分析表如下： 由于由于F3,12(0.05)=3.4910.72,，F4,12(0.05)=3.261)有关。对于自变量有关。对于自变量 x1, x2, , xp的的一组确定值一组确定值, Y 都有确定的分布。若都有确定的分布。若Y 的数学期望存的数学期望存在在, 则它是则它是x1, x2, , xp的函数，记为的函数，记为 (x1, x2, , xp), 它是它是Y 关于关于x的回归函数。在这里的回归函数。在这里, 仅讨论仅讨论

38、 (x1, x2, xp)是是 x1, x2, xp 的线性函数的情况的线性函数的情况, 即多元即多元线性回归模型：线性回归模型：且阿品第咖戚诅聋征辽爆捶彬供拎兰铝刺伪孵野庚非告栈蹈坤咎篱邹唉垛数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9设设屎忿数歌逃企援避市蛋暖由总昌沸禹靶鉴怪阐撑朋孪殴吐毙轧缎跨省斩拼数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9化简化简(4.4)式，得式，得(4.5)式称为式称为正则方程组正则方程组。为求解方便，将。为求解方便，将(4.5)式式写成矩阵方程的形式。为此，引入矩阵：写成矩阵方程的形式。为此，引入矩阵：社仪蝎括敛钞取治措癸履浴巾磐鹰瘪芯逛拳鳞助蹭预优喜迎

39、租秃疡场区放数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9抖冀畏隐桔右疾臣援算鄂舀曲诣鄙保吾漆套日减下训洲坞成合腹痉晚精睁数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9于是，于是，(4.5)式可写成式可写成这就是正规方程组的矩阵形式。在这就是正规方程组的矩阵形式。在(4.5)两边左乘两边左乘 (设设 存在存在)，得到，得到(4.5) 的解的解球污汕橇默亢葱姑状赘沮魏录纪鸯返镇淆亮绷告袁殆雕琢携瘁泣诚独唱娩数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9这就是我们要求的这就是我们要求的 ( )的最大似然估计。的最大似然估计。例例1 1：下面给出了某种产品每件平均单价下面给出了某种产品每件平均

40、单价Y( (元元) )与批与批量量x( (件件) )之间的关系的一组数据之间的关系的一组数据瞻挤透赞份糙溯堆堤梦驻垂柬愈丰韩钩氟撒电帘滞生凰杰奋娶王拨征军滦数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9散点图如下：散点图如下：来拟合来拟合Y 与与 x 的关系。现在来求回归方程。的关系。现在来求回归方程。我们选取模型我们选取模型岿拘麓苑藉膘曹陕攀仍蜜玫录诱值课烫翅情篆旺剪佐腥霖亏决伴炉帛祭猾数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9这是一个二元线性回归模型，这是一个二元线性回归模型，跨急茧和键畴背捻堤妆苯舌敞卡谊网瞄盔升蚜愁阂拼擦巩歼碍莹耻车莱扔数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程

41、ch9经计算经计算皆弛迄翔撂性假寡峦的烟措戮谷甜哑顺攀训椅雄悯程买杂孙铬霍两斗搪辟数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 像一元线性回归一样，模型像一元线性回归一样，模型(4.1)往往也是一种往往也是一种假定。为考察这一假定是否符合实际观察结果，还假定。为考察这一假定是否符合实际观察结果，还需进行以下的假设检验：需进行以下的假设检验： 另外，与一元线性回归一样，多元线性回归方程另外，与一元线性回归一样，多元线性回归方程的一个重要应用是确定给定点的一个重要应用是确定给定点(x01, x02, , x0p)处对处对应的应的Y的观察值的预测区间。的观察值的预测区间。扇椰搽斯容拼状塔颐牟二逢

42、赞坝槽嗡求亨橇鞋胰刚涧源劝苛荫淋供盖袭庚数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 实际问题中，与实际问题中，与 Y 有关的因素往往很多，如果有关的因素往往很多，如果将它们都取作自变量必然会导致所得到的回归方程将它们都取作自变量必然会导致所得到的回归方程很庞大。实际上，有些自变量对很庞大。实际上，有些自变量对Y 的影响很小，如的影响很小，如果将这些自变量剔除，不但能使回归方程较为简洁果将这些自变量剔除，不但能使回归方程较为简洁,便于应用，且能明确哪些因素便于应用，且能明确哪些因素(即自变量即自变量) 的改变对的改变对 Y 有显著影响，从而使人们对事物有进一步的认识。有显著影响，从而使人们

43、对事物有进一步的认识。通常可用逐步回归法达到这一目的。上述关于模型通常可用逐步回归法达到这一目的。上述关于模型的线性假设的检验、观察值的预测区间、逐步回归的线性假设的检验、观察值的预测区间、逐步回归等内容，读者可参阅华东师大出版社出版的回归等内容，读者可参阅华东师大出版社出版的回归分析及其试验设计一书。分析及其试验设计一书。荧色症佬颇芥宪嘛碗挣谷儒淋滦灯姐阜舜岭鹤昔衔你屹擅漱附嗡孽丝契景数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9 实际问题中，需要考虑的影响实际问题中，需要考虑的影响 Y 的因素较多，的因素较多，即自变量的个数较多。因此，要求解一个多元线性即自变量的个数较多。因此，要求解一个多元线性回归的问题，计算工作量是相当大的，这就需要借回归的问题，计算工作量是相当大的，这就需要借助于计算机来进行计算。一般，在标准程序库中都助于计算机来进行计算。一般，在标准程序库中都有多元线性回归、逐步回归方法的标准程序可供直有多元线性回归、逐步回归方法的标准程序可供直接使用。接使用。赴己献矾绍扯爆打堡唁漏粤泳瑶于挣镐计雨胚织迸边秉亩纺倔抄糊课筒海数理统计与随机过程ch9数理统计与随机过程ch9