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1、第二十二章第二十二章二次函数二次函数22.1.4二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的图象和性质(二二)九年级数学九年级数学上上 新课标新课标 人人待定系数法求二次函数解析式待定系数法求二次函数解析式 (2015齐齐哈尔一模齐齐哈尔一模)已知一个二次函数的图象经过已知一个二次函数的图象经过A,B和和C(1,-2)三点三点.(1)求出这个二次函数的解析式求出这个二次函数的解析式;解解:(1)设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,考查角度考查角度1设一般式求二次函数解析式设一般式求二次函数解析式例例1解析解析题目给出抛物线上的三个点的坐标题目给出抛物线上的三个点
2、的坐标,可设一般式求抛物线解析式可设一般式求抛物线解析式;根据题意得根据题意得所以二次函数解析式为所以二次函数解析式为y=x2-x-.解得解得(2)若函数的图象与若函数的图象与x轴相交于点轴相交于点E,F(E在在F的左边的左边),求求 EFB的面积的面积.解析解析先求出先求出E,F两点的坐标两点的坐标,然后根据三角形面积然后根据三角形面积公公 式求解式求解.解：解：(2)当当y=0时时, x2-x-=0,解得解得x1=-1,x2=3,所以所以E点坐标为点坐标为(-1,0),F点坐标为点坐标为(3,0),所以所以EFB的面积的面积=(3+1)=3.(3)填空填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少
3、平移把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位个单位,使得该图象的顶点在原点使得该图象的顶点在原点.1.(2015巴中模拟巴中模拟)二次函数的图象经过点二次函数的图象经过点A(0,-3),B(2,-3),C(-1,0). (1)求此二次函数的关系式求此二次函数的关系式;解解:(1)由题意设二次函数解析式为由题意设二次函数解析式为y=ax2+bx-3,把把(2,-3),(-1,0)代入得代入得 解得解得 y=x2-2x-3.(2)求此二次函数图象的顶点坐标求此二次函数图象的顶点坐标;(2) y=x2-2x-3=(x-1)2-4,函数图象的顶点坐标为函数图象的顶点坐标为(1,-4).5考查角度考查
4、角度 2 设顶点式求二次函数解析式设顶点式求二次函数解析式 已知关于已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过且图象过点点(1,-3).(1)求这个二次函数的关系式求这个二次函数的关系式; (2)写出它的开口方向、对称轴写出它的开口方向、对称轴.例例2解析解析 已知抛物线的顶点已知抛物线的顶点,可设顶点式可设顶点式,再用待定系数法求二次再用待定系数法求二次函数的解析式函数的解析式.进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴对称轴.解解:(1) 抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(-1,2),设函
5、数解析式为设函数解析式为y=a(x+1)2+2,把把(1,-3)代入解析式代入解析式,得得-3=a(1+1)2+2,解得解得a=-,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-(x+1)2+2.(2) 由由(1)可得抛物线的开口向下可得抛物线的开口向下,对称轴为直线对称轴为直线x=-1.2.(2015吴兴区一模吴兴区一模)已知二次函数的图象经过已知二次函数的图象经过(0,0),且且它的顶点坐标是它的顶点坐标是(1,-2).(1)求这个二次函数的关系式求这个二次函数的关系式;(2)判断点判断点P(3,5)是否在这条抛物线上是否在这条抛物线上.解解:(1)设抛物线的顶点式为设抛物线的顶点式为y=a(x-
6、1)2-2，将点将点(0,0)代入得代入得a-2=0,解得解得a=2，所以抛物线的解析式为所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2-2。(2)当当x=3时时,y=2(3-1)2-2=6，所以点所以点P(3,5)不在这条抛物线上不在这条抛物线上.考查角度考查角度 3 设交点式求二次函数解析式设交点式求二次函数解析式 如图所示如图所示,二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象经过的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点三点.(1)求这个二次函数的解析式求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的图象与设该二次函数的图象与y轴交于点轴交于点C,连接连接AC,BC,求求ABC的面积的面
7、积.例例3解析解析(1)A,B两点是抛物线与两点是抛物线与x轴的交点轴的交点,故可设交点故可设交点式式,再用待定系数法求二次函数的解析式再用待定系数法求二次函数的解析式.(2)根据三角形根据三角形的面积公式即可求解的面积公式即可求解.解解:(1)二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象经过的图象经过A(-1,0),B(3,0),设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),把把C(0,3)代入代入,得得3=a(0+1)(0-3),解得解得a=-1.这个二次函数的解析式为这个二次函数的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)A(-1,0),B(3,0)
8、,AB=4.C(0,3),ABC的面积的面积=43=6.【解题归纳】【解题归纳】已知抛物线与已知抛物线与x轴的两个交点的坐标轴的两个交点的坐标,用待定系数法求二次用待定系数法求二次函数解析式时函数解析式时,可设交点式可设交点式,代入条件后得到一元一次方程代入条件后得到一元一次方程,求解即可求解即可.3.已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c与与x轴交于点轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上上
9、,并写出并写出平平 移后抛物线的解析式移后抛物线的解析式.解解:(1)抛物线与抛物线与x轴交于点轴交于点A(1,0),B(3,0),可设抛物线解析式为可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把把C(0,-3)代入得代入得3a=-3,解得解得a=-1,故抛物线解析式为故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即即y=-x2+4x-3,y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(2,1).(2)先向左平移先向左平移2个单位个单位,再向下平移再向下平移1个单位个单位,得到的抛物线的解得到的抛物线的解析式为析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为平移后抛物线的
10、顶点为(0,0),在直线在直线y=-x上上.（答案（答案不唯一）不唯一）求抛物线解析式与几何问题的综合应用求抛物线解析式与几何问题的综合应用 (2015徐汇区一模徐汇区一模)已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数为常数,且且a0)的图象经过的图象经过A,B,C,D四个点四个点,其中横坐标其中横坐标x与纵坐标与纵坐标y的对应的对应值如下表值如下表: (1)求二次函数解析式求二次函数解析式; (2)求求ABD的面积的面积.例例4解析解析(1)把点把点A,B,C的坐标代入的坐标代入y=ax2+bx+c,即可求出二次函数即可求出二次函数解析式解析式.(2)利用三角形的面积公式求
11、解即可利用三角形的面积公式求解即可.考查角度考查角度1求抛物线解析式与求几何图形面积求抛物线解析式与求几何图形面积ABCDx-1013y-1353解解:(1)把点把点A,B,C的坐标代入的坐标代入y=ax2+bx+c, 得得 解得解得 所以二次函数解析式为所以二次函数解析式为y=-x2+3x+3.(2)SABD=34=6.4.(2015静安区一模静安区一模)已知在直角坐标平面内已知在直角坐标平面内,抛物线抛物线y=x2+bx+6经经 过过x轴上两点轴上两点A,B,点点B的坐标为的坐标为(3,0),与与y轴相交于点轴相交于点C. (1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式; (2)求求ABC的面积的
12、面积.解解:(1)把点把点B的坐标的坐标(3,0)代入代入y=x2+bx+6，得得0=9+3b+6,解得解得b=-5,抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=x2-5x+6.(2)由抛物线的解析式为由抛物线的解析式为y=x2-5x+6，易知易知A(2,0),B(3,0),C(0,6),SABC=16=3.考查角度考查角度 2 求抛物线解析式与求线段和的最小值求抛物线解析式与求线段和的最小值 如图所示如图所示,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物线抛物线y=ax2+bx+c经过经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点三点.(1)求抛物线求抛物线y=ax2+bx+c的解析式的解析式;
13、(2)若点若点M是该抛物线对称轴上的一点是该抛物线对称轴上的一点,求求AM+OM的最小值的最小值.例例5解析解析 (1)已知抛物线上不同的三点坐标已知抛物线上不同的三点坐标,利用待定系数法可求利用待定系数法可求出该抛物线的解析式出该抛物线的解析式.(2)根据根据O,B点的坐标发现点的坐标发现:抛物线上抛物线上O,B两两点正好关于抛物线的对称轴对称点正好关于抛物线的对称轴对称,那么只需连接那么只需连接AB,直线直线AB和抛和抛物线对称轴的交点即为符合要求的物线对称轴的交点即为符合要求的M点点,而而AM+OM的最小值正的最小值正好是好是AB的长的长.解解:(1)把把A(-2,-4),O(0,0),
14、B(2,0)三点三点 的坐标代入的坐标代入y=ax2+bx+c中中,得得所以所以解析式为解析式为y=-x2+x.解这个方程组解这个方程组,得得(2)由由y=-x2+x=-(x-1)2+，可得抛物线的对称轴为可得抛物线的对称轴为直线直线x=1,并且对称轴垂直平分线段并且对称轴垂直平分线段OB,如图所示如图所示,连接连接OM,BM,则则OM=BM,OM+AM=BM+AM,连接连接AB交直线交直线x=1于于M点点,则此时则此时OM+AM最小最小,过点过点A作作ANx轴于点轴于点N,在在RtABN中中,AB=因此因此OM+AM的最小值为的最小值为 5.(鸡西中考鸡西中考)如图如图6所示所示,抛物线抛物
15、线y=-x2+bx+c与与x轴交于轴交于A,B两点两点,与与y轴交轴交于点于点C,且且OA=2,OC=3.(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式;(2)若点若点D(2,2)是抛物线上一点是抛物线上一点,那么那么在抛物线的对称轴上是否存在一点在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得使得BDP的周长最小的周长最小?若存在若存在,请求出点请求出点P的坐标的坐标,若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.解解:(1)OA=2,OC=3， A(-2,0),C(0,3)，c=3,将将A(-2,0)代入代入y=-x2+bx+3，得得-(-2)2-2b+3=0,解得解得b=,可得函数解析式为可得函数解析式为y=-
16、x2+x+3.(2)如图如图6所示所示,连接连接AD,与对称轴相交于点与对称轴相交于点P,由于点由于点A和点和点B关于对称轴对称关于对称轴对称,所以所以BP+DP=AP+DP,当当A,P,D共线时共线时,BP+DP=AP+DP最小最小.设直线设直线AD的解析式为的解析式为y=kx+m,将将A(-2,0),D(2,2)分别代入分别代入得得解得解得故直线故直线AD的解析式为的解析式为y=x+1(-2x2). 由于二次函数图象的对称轴为直线由于二次函数图象的对称轴为直线 x=，则当则当x=时时,y=+1=，故故P考查角度考查角度 3 二次函数的探究问题二次函数的探究问题 如图所示如图所示,直线直线y
17、=3x+3交交x轴于轴于A点点,交交y轴于轴于B点点,过过A,B两点的抛物线交两点的抛物线交x轴于另一点轴于另一点C(3,0).(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使使ABQ是等腰三角形是等腰三角形?若存在若存在,求出符求出符合条件的合条件的Q点坐标点坐标,若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.例例6解析解析 (1)由直线的解析式确定由直线的解析式确定A,B两点的坐标两点的坐标,然后用两根然后用两根式求抛物线解析式式求抛物线解析式.(2)分分AB=AQ,BA=BQ,QA=QB三种情况讨论三种情况讨论.解解:(1)直线直线
18、y=3x+3交交x轴于轴于A点点,交交y轴于轴于B点点,A点坐标为点坐标为(-1,0),B点坐标为点坐标为(0,3),又又C(3,0),即即A,B,C三点中有两点在三点中有两点在x轴上轴上,设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).把把B(0,3)代入代入,得得a(0+1)(0-3)=3,解得解得 a=-1,y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)存在存在y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 ,该抛物线的对称轴为直线该抛物线的对称轴为直线x=1。设设Q点坐标为点坐标为(1,m),则则AQ= ,BQ=,AB=当当AB=AQ时时，解得解得m=Q点坐标为点坐标为
19、(1, )或或(1,);当当AB=BQ时时, 解得解得m=0或或m=6, Q点坐标为点坐标为(1,0)或或(1,6);当当AQ=BQ时时, ,解得解得m=1,Q点坐标为点坐标为(1,1).抛物线的对称轴上存在着点抛物线的对称轴上存在着点Q1(1, ),Q2(1,-),Q3(1,0),Q4(1,6),Q5(1,1),使使ABQ是等腰三角形是等腰三角形.AB=3-(-1)=4,ABD的面积为的面积为 44=8.(3)不在不在.理由如下理由如下:AOC绕点绕点C逆时针旋转逆时针旋转90,CO落在落在CE所在的直线上所在的直线上,由由(2)可知可知OA=1,点点A的对应点的对应点G的坐标为的坐标为(3
20、,2),当当x=3时时, y=-32+23+3=02,点点G不在该抛物线上不在该抛物线上. 6.(连云港中考连云港中考)如图所示如图所示,抛物线抛物线y=-x2+bx+c与与x轴交于轴交于A,B两点两点,与与y轴交轴交于点于点C,点点O为坐标原点为坐标原点,点点D为抛物线的顶点为抛物线的顶点,点点E在抛物线上在抛物线上,点点F在在x轴上轴上,四四边形边形OCEF为矩形为矩形,且且OF=2,EF=3. (1)求抛物线所对应的函数解析式求抛物线所对应的函数解析式;(2)求求ABD的面积的面积;(3)将将AOC绕点绕点C逆时针旋转逆时针旋转90,点点A的对应点为点的对应点为点G,则则点点G是否在该抛物线上是否在该抛物线上?请说明理由请说明理由.解解:(1)四边形四边形OCEF为矩形为矩形,OF=2,EF=3,点点C的坐标为的坐标为(0,3),点点E的坐标为的坐标为(2,3).把把 和和 分别代入分别代入y=-x2+bx+c中中，得得抛物线所对应的函数解析式为抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为D(1,4),ABD中中AB边上的高为边上的高为4.令令y=0,得得-x2+2x+3=0,解得解得x1=-1,x2=3,解解得得
