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1、3.1.3导数的几何意义导数的几何意义一、复习一、复习1、导数的定义、导数的定义其中：其中： 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线表示曲线上两点连线（就是曲线的的割线割线）的斜率。）的斜率。P相切相交再来一次PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确趋近于确定的位置，这个确定位置的直线定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线.切线切线Pl 能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的直线
2、与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。例。不能不能xyo直线与圆有惟一公共点时，直线与圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线。直线叫做圆的切线。所以，不能用直线与曲线的公共点的个所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。数来定义曲线的切线。 圆的切线定义并不适圆的切线定义并不适用于一般的曲线。用于一般的曲线。 通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线趋于的确定位置的割线趋于的确定位置的直线直线定义为切线定义为切线（交点（交点可能不惟一）可能不惟一）适用于各适用于各种曲线。所以，这种定种曲线。所
3、以，这种定义才真正反映了切线的义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。 xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线与切线的斜率有何关系呢？割线与切线的斜率有何关系呢？ 即：当即：当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率， 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 . 故故曲线曲线y=f(x)在点在点
4、P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:导数的几何意数的几何意义例例1:求曲求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切的切线方程方程.导数的几何意数的几何意义的的应用用练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.练：设练：设f(x)为可导函数为可导函数,且满足条件且满足条件 , 求曲线求曲线y=f(x
5、)在点在点(1,f(1)处的切线的斜率处的切线的斜率.故所求的斜率为故所求的斜率为-2.导数的几何意数的几何意义的的应用用xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T继续观察图像的运动过程，还有什么发现？继续观察图像的运动过程，还有什么发现？hto 结论：根据导数的几何意义，结论：根据导数的几何意义， 当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；是上升的，即函数在这点附近是单调递增； 当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；是下降的，即函数在
6、这点附近是单调递减； 当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。当某点处导数等于零时，说明是函数的最值点。 二、函数的导数：二、函数的导数：（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。 弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。看一个例子:练习练习:如图如图,已知曲线已知曲线 ,求求: (1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.
