数据模型与决策第三章ppt课件

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1、第三章第三章线性规划的灵敏度分析与最优解的线性规划的灵敏度分析与最优解的解释解释2灵敏度分析简介灵敏度分析简介图解法灵敏度分析图解法灵敏度分析灵敏度分析：计算机求解灵敏度分析：计算机求解传统灵敏度分析的不足传统灵敏度分析的不足电子通信公司问题电子通信公司问题3145主要内容主要内容 灵灵敏敏度度分分析析（sensitivity analysis） 研研究究线线性性规规划划问问题题中中系系数数的的变变化化对对函函数数最最优优解解的的影影响响程程度度，有有时时也也被被称称为为后后优优化分析（化分析（postoptimality analysis）。 运用灵敏度分析，我们可以回答以下问题：运用灵敏度

2、分析，我们可以回答以下问题： （1）如如果果目目标标函函数数的的系系数数发发生生变变化化，对对最最优优解解会会产产生生什什么么影影响响？（2）如如果果改改变变约约束束条条件件的的右右端端值值，对对最最优优解解会会产产生生什么影响？什么影响？ 3.1 灵敏度分析简介灵敏度分析简介 3.1 灵敏度分析简介灵敏度分析简介 分析目标函数系数的变化对最优解的影响；分析目标函数系数的变化对最优解的影响； 分析模型中的系数哪个更能左右最优解；分析模型中的系数哪个更能左右最优解； 分析约束条件右端值的变化对最优解的影响。分析约束条件右端值的变化对最优解的影响。灵敏度分析的用途灵敏度分析的用途 3.1 灵敏度分

3、析简介灵敏度分析简介 以以Par公司问题为例：公司问题为例：原原问题模型：模型：max 10 S + 9 D s.t. 7/10 S+ 1 D 630 切割与印染切割与印染 1/2 S+ 5/6 D 600 缝合合 1 S+ 2/3 D 708 成型成型 1/10 S+ 1/4 D 135 检查与包装与包装 S, D 0模型最模型最优解：解：S=540，D=252 分析目标函数系数的变化对最优解的影响分析目标函数系数的变化对最优解的影响 3.1 灵敏度分析简介灵敏度分析简介p 我我们已已经知知道道这个个问题的的最最优解解是是标准准袋袋生生产540个个，高高级袋袋生生产252个个。这个个最最优解

4、解的的前前提提是是每每个个标准准袋袋的的利利润是是10美元，每个高美元，每个高级袋的利袋的利润是是9美元。美元。p 假假设，由由于于价价格格下下降降，标准准袋袋的的利利润由由10美美元元降降到到8.5美美元元。这时我我们可可以以用用灵灵敏敏度度分分析析来来确确定定标准准袋袋生生产540个个，高高级袋袋生生产252个个是是否否还是是最最优解解。如如果果还是是，则不不必必建建立立新新的的模型求解了。模型求解了。 3.1 灵敏度分析简介灵敏度分析简介 比如，管理层认为高级袋的利润比如，管理层认为高级袋的利润9美元只是一个估计量。美元只是一个估计量。 如如果果通通过过灵灵敏敏度度分分析析得得到到，高高

5、级级袋袋的的利利润润在在6.67-14.29美美元元之之间间变变化化时时，最最优优解解不不变变，那那么么管管理理层层对对9美美元元这这个个估估计计量量和和最最优优产产量量比比较较满满意意。但但是是，如如果果灵灵敏敏度度分分析析告告诉诉我我们们，只只有有当当高高级级袋袋的的利利润润在在8.9-9.25美美元元之之间间变变化化时时，最最优优解解才才不不变变。那那么么管管理理层层就就必必须须思思考考每每个个高高级级袋袋获获利利9美美元元这这个个估估计计量量的的可可信信程程度度有有多多大大了了。管管理理层层希希望望知知道道如如果果高高级级袋袋的的利利润润下降，最优产量会怎样变化。下降，最优产量会怎样变

6、化。 分析模型中的系数哪个更能左右最优解分析模型中的系数哪个更能左右最优解 3.1 3.1 灵敏度分析简介灵敏度分析简介以以Par公司问题为例：公司问题为例： 在在最最优优产产量量的的情情况况下下，切切割割与与印印染染部部和和成成型型部部的的工工作作时时间间已已经经全全被被占占用用了了。如如果果现现在在公公司司增增加加了了这这两两个个部部门门的的生生产产能能力力，那那么么最最优优解解以以及及总总利利润润的的值值会会发发生生什什么么样样的的变变化化呢呢？灵灵敏敏度度分分析析可可以以帮帮助助确确定定每每一一个个工工时时的的边边际际价价值值，以及在利润下降之前部门工时的最大增加量。以及在利润下降之前

7、部门工时的最大增加量。 分析约束条件右端值的变化对最优解的影响分析约束条件右端值的变化对最优解的影响 3.2 图解法灵敏度分析图解法灵敏度分析目目标标函函数数的的系系数数变变化化会会对对Par公公司司的的最最优优产产量量产产生生什什么么样样的的影影响响？选选择择每每个个标标准准袋袋的的利利润润是是10美美元元，每每个个高高级级袋袋的的利利润润是是9美美元元。很很明明显显，如如果果其其中中一一种种袋袋子子的的利利润润下下降降，公公司司就就会会消消减减其其产产量量；如如果果利利润润上上升升，公公司司就就会会增增加加其其产产量量。但但问问题题是是，究究竟竟利利润润变变化化多多少少时时，管管理理者者才

8、才应应该该改变产量呢？改变产量呢？图解法灵敏度分析仅适用于双变量的线性规划问题。图解法灵敏度分析仅适用于双变量的线性规划问题。3.2.1 目标函数系数目标函数系数 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 每每个个目目标标函函数数系系数数都都有有一一个个最最优优范范围围（range of optimality），即即目目标标函函数数系系数数在在什什么么范范围围内内变变化化时时，模模型型的的最最优优解解保保持持不不变变。我我们们应应该该注注意意那那些些系系数数的的最最优优范范围围比比较较小小，或或者者系系数数刚刚好好靠靠近近最最优优范范围围边边界界的的情情况况。在在这这种种情情况下，这些系数的微小变

9、动就有可能使最优解发生改变。况下，这些系数的微小变动就有可能使最优解发生改变。 3.2.1 目标函数系数目标函数系数如如图图3-1所所示示：只只要要目目标标函函数数线线的的斜斜 率率 处处 于于 直直 线线A（和和切切割割与与印印染染约约束束线线重重合合）的的斜斜率率与与直直线线B（与与成成型型约约束束线线重重合合）的的斜斜率率之之间间 ， 极极 点点 （S=540，D=252） 就就 是是 最最优解点。优解点。 图图3-1 图解法求图解法求Par公司问题公司问题 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 改变目标函数中标准袋产量改变目标函数中标准袋产量S和高级袋产量和高级袋产量D的系数，将的系数

10、，将引起目标函数斜率的变化。这种变化导致目标函数线饶着极引起目标函数斜率的变化。这种变化导致目标函数线饶着极点点旋转。然而，只要目标函数线仍然在阴影区域内，极点旋转。然而，只要目标函数线仍然在阴影区域内，极点就仍然是最优解点。就仍然是最优解点。 逆逆时时针针选选择择目目标标函函数数线线，使使其其斜斜率率变变成成一一个个绝绝对对值值更更小小的的负负数数，从从而而斜斜率率变变大大了了。当当目目标标函函数数线线逆逆时时针针旋旋转转到到足足够够的的角角度度，与与直直线线A重重合合，我我们们就就获获得得了了多多重重最最优优解解-在在极极点点和和极极点点之之间间的的点点都都是是最最优优点点。任任何何对对目

11、目标标函函数数线线的的进进一一步步逆逆时时针针转转动动，都都会会使使得得极极点点不不再再是是最最优优解解点点。因因此此，直直线线A的斜率就是目标函数线的上限。的斜率就是目标函数线的上限。 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 顺顺时时针针转转动动目目标标函函数数线线，使使其其斜斜率率变变成成一一个个绝绝对对值值更更大大的的负负数数，从从而而斜斜率率变变小小了了。当当目目标标函函数数线线顺顺时时针针旋旋转转到到足足够够的的角角度度，直直至至与与直直线线B重重合合，我我们们就就会会获获得得了了多多重重最最优优解解-在在极极点点与与极极点点之之间间的的点点都都是是最最优优点点。任任何何对对目目标标函

12、函数数线线的的进进一一步步顺顺时时针针转转动动，也也都都会会使使得得极极点点不不再再是是最最优优解解点点。因因此此，直直线线B的的斜斜率率就就是是目目标标函函数数线线斜斜率率的的下下限。限。 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 因此，极点因此，极点总是最优解点，只要总是最优解点，只要 直线直线B 的斜率的斜率目标函数线的斜率目标函数线的斜率直线直线A的斜率的斜率 即，即， -3/2目标函数的斜率目标函数的斜率-7/10 (3-1) 现现在在让让我我们们考考虑虑目目标标函函数数线线斜斜率率的的一一般般形形式式。用用 CS 表表示示标标准准袋袋的的利利润润，CD 表表示示高高级级袋袋的的利利润润

13、，P表表示示目目标标函数值。使用这些符号，目标函数直线可以写成：函数值。使用这些符号，目标函数直线可以写成： P = CS S + CD D 3.2.1 目标函数系数目标函数系数把上面方程写成斜截式，得到：把上面方程写成斜截式，得到： CD D = - CS S + P以及以及 D = S +因因此此，我我们们得得到到目目标标函函数数的的斜斜率率为为 。把把 代代入入式式（3-1），我我们们看看到到只只要要满满足足下下列列条条件件，极极点点就就仍仍然是最优解点：然是最优解点： -3/2 -7/10 (3-2) 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 标准袋利润最优的范围标准袋利润最优的范围 我们

14、假设高级袋的利润我们假设高级袋的利润CD=9，代入式（，代入式（3-2），我们得到：），我们得到： -3/2 -7/10 解得，解得， 6.3 CS 13.5 即标准袋利润最优范围为：即标准袋利润最优范围为： 6.3 CS 13.5 高档高档袋利润最优的范围袋利润最优的范围 同同上上求求解解过过程程，假假设设标标准准袋袋的的利利润润为为常常数数CS=10，可可得得高高档档袋袋利润最优范围为：利润最优范围为： 6.67 CD 14.29 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 当当目目标标函函数数绕绕最最优优点点旋旋转转，使使之之与与坐坐标标轴轴垂垂直直时时，像像式式（3-2）中中出出现现的的那那

15、种种斜斜率率的的上上限或下限就不再存在了。限或下限就不再存在了。 为为了了说说明明这这种种特特殊殊的的情情况况，我我们们设设Par公公司司的的目目标标函函数数为为 18 CS + 9 CD ；这这样样，在在图图3-2中中，极极点点就就是是最最优优解点。解点。图图3-2 图解法求图解法求Par公司问题公司问题 目标函数为目标函数为18S+9D 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 绕绕着着极极点点逆逆时时针针旋旋转转目目标标函函数数，当当目目标标函函数数与与直直线线B重重合合时时，就就得得到到了了斜斜率率的的上上限限。我我们们前前面面已已经经计计算算出出，直直线线B 的斜率为的斜率为- 3/2，

16、所以目标函数斜率的上限就一定是，所以目标函数斜率的上限就一定是-3/2。 然然而而，顺顺时时针针旋旋旋旋转转目目标标函函数数直直至至垂垂直直于于坐坐标标轴轴时时，其其斜斜率率接接近近负负无无穷穷大大。此此时时，目目标标函函数数的的斜斜率率没没有有下下限限，只只有有上限，即上限，即-3/2-3/2 3.2.1 目标函数系数目标函数系数按照前面假定的按照前面假定的CD 的值，仍为常数的值，仍为常数9，我们得到：，我们得到：-3/2或或 3/2解出解出CS ,得：得： CS 27/2=13.5 观观察察图图3-2，我我们们注注意意到到，只只要要CS 的的值值大大于于等等于于13.5，极极点点仍仍然然

17、是是最最优优解解点点。因因此此我我们们得得到到以以下下极极点点为为最最优优解解点点的的CS的的范范围：围：13.5 CS 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 目目标标函函数数系系数数的的最最优优范范围围只只能能够够应应用用于于一一次次只只有有一一个个系系数数发发生生改改变变的的情情况况。如如果果两两个个或或两两个个以以上上目目标标函函数数的的系系数数同同时时改改变，就有必要进一步判断最优解会不会也发生变化。变，就有必要进一步判断最优解会不会也发生变化。 对对于于解解决决只只有有两两个个变变量量的的问问题题，式式（3-2）给给出出了了一一个个简简单单的的方方法法。简简单单地地计计算算出出在在新

18、新的的系系数数值值下下目目标标函函数数的的斜斜率率（- CS/CD）,如如果果这这个个新新目目标标函函数数的的斜斜率率在在原原目目标标函函数数斜斜率率的的上上下下限范围内，那么系数值的变化不会使最优解发生变化。限范围内，那么系数值的变化不会使最优解发生变化。 多系数同时改变多系数同时改变 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 考考虑虑Par公公司司问问题题中中目目标标函函数数两两个个系系数数的的变变化化。假假设设每每个个标标准准袋袋利利润润增增加加到到13美美元元，同同时时每每个个高高级级袋袋利利润润减减少少到到8美美元。回忆标准袋利润元。回忆标准袋利润CS与高级袋利润与高级袋利润CD的最优范

19、围为：的最优范围为： 6.3 CS 13.5 （3-3） 6.67 CD 14.29 （3-4） 对对于于上上述述最最优优范范围围，我我们们可可以以推推断断，无无论论是是使使CS升升高高到到13美美元元还还是是使使CD降降低低到到8美美元元（不不是是同同时时），都都不不会会使使最最优解（优解（S=540，D=252）发生变化。）发生变化。 但但是是我我们们无无法法从从上上述述最最优优范范围围中中推推断断出出如如果果两两个个系系数数同同时发生改变，最优解是否会发生改变。时发生改变，最优解是否会发生改变。 3.2.1 目标函数系数目标函数系数 在在式式（3-2）中中，我我们们计计算算出出只只要要满

20、满足足下下列列条条件件，极极点点仍然是最优点：仍然是最优点： -3/2 -7/10 如如果果CS 升升高高到到13美美元元，同同时时使使CD降降低低到到8美美元元，新新的的目目标标函数斜率将变成：函数斜率将变成： = -13/8 = -1.625 由由于于这个个值要要小小于于下下限限-3/2，因因此此当当前前的的解解S=540，D=252不不再再是是最最优的的。把把 CS =13，CD =8代代入入，可可以以得得出出极极点点是是新新的的最最优解。解。 3.2.2 约束条件右端值的变化约束条件右端值的变化 我我们们仍仍以以Par公公司司问问题题为为例例来来考考虑虑约约束束条条件件右右端端值值的的

21、变变化化对可行域及最优解带来的影响。对可行域及最优解带来的影响。 我我们们假假设设Par公公司司的的切切割割与与印印染染部部增增加加了了10个个小小时时的的生生产产时间，然后考虑将会发生什么。时间，然后考虑将会发生什么。 新切割与印染约束条件可写作：新切割与印染约束条件可写作： 7/10 S + 1 D 640 3.2.2 约束条件右端值的变化约束条件右端值的变化新约束条件：新约束条件： 7/10 S +1D640扩展可行域，如右展可行域，如右图。图解法新解：解法新解： S=527.5，D=270.5新目新目标函数函数值： 7711.75（美元）（美元）利利润增加率：增加率： 4.375（美元

22、每小（美元每小时）图图3-3 3-3 切割与印染约束条件的右端值增加切割与印染约束条件的右端值增加1010小时的影响小时的影响 3.2.2 约束条件右端值的变化约束条件右端值的变化 约束束条条件件右右端端值每每增增加加一一个个单位位引引起起的的最最优值变化化量量称称为对偶偶值（dual value）。在在新新Par公公司司问题里里，利利润增增加加率率4.375即即为为切切割割与与印印染染约束束条条件件的的对偶偶值。换言言之之，切切割割与与印印染染约束束条条件件右右端端值增增加加/减少减少1小小时，目，目标函数的函数的值会增加会增加/减少减少4.375美元。美元。对偶偶值可可以以用用来来求求出出

23、当当某某个个约束束条条件件右右端端值改改变一一个个单位位时，目，目标函数函数值将会有什么将会有什么变化。化。 3.2.2 约束条件右端值的变化约束条件右端值的变化注意：注意： 对偶值可能只适用于右端值仅发生了很小变动时的情况。对偶值可能只适用于右端值仅发生了很小变动时的情况。 右右端端值值大大到到一一定定程程度度时时，其其约约束束可可能能不不再再是是束束缚缚性性约约束束，其其他的约束条件也可能会约束和限制目标函数值的变化。他的约束条件也可能会约束和限制目标函数值的变化。例例：ParPar公公司司问问题题，我我们们最最终终会会找找到到某某一一点点，从从那那一一点点之之后后，再再增增加加切切割割与

24、与印印染染的的时时间间也也不不会会使使利利润润增增加加。在在这这一一点点，对对偶偶值等于值等于0 0。 3.3 灵敏度分析：计算机求解灵敏度分析：计算机求解仍以仍以Par公司问题为例：公司问题为例：Par公司问题模型：公司问题模型：max 10 S + 9 D s.t. 7/10 S+ 1 D 630 切割与印染切割与印染 1/2 S+ 5/6 D 600 缝合合 1 S+ 2/3 D 708 成型成型 1/10 S+ 1/4 D 135 检查与包装与包装 S, D 0我我们们现现在在示示范范如如何何通通过过考考虑虑Par公公司司的的线线性性规规划划求求解解来来理理解解灵灵敏度分析，如图敏度分

25、析，如图3-4所示。所示。Optimal Objective Value = 7668.00000 Variable Value Reduced Cost S 540.00000 0.00000 D 252.00000 0.00000Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 0.00000 4.37500 2 120.00000 0.00000 3 0.00000 6.93750 4 18.00000 0.00000 Objective Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S 1

26、0.00000 3.50000 3.70000 D 9.00000 5.28571 2.33333 Allowable Allovable Constraint RHS value Increase Decrease - 1 630.00000 52.36364 134.40000 2 600.00000 Infinite 120.00000 3 708.00000 192.00000 128.00000 4 135.00000 Infinite 18.00000图图3-4 Par 公司问题的求解公司问题的求解 3.3.1 计算机输出结果的解释计算机输出结果的解释 最优解信息最优解信息Opti

27、mal Objective Value=7668.0000 Variable Value S 540.00000 D 252.00000 Par公公司司问问题题模模型型最最优优解解，S=540，D=252，目目标标函函数数最优解是最优解是7668美元美元。 约束条件信息约束条件信息 Constraint Slack/Surplus 1 0.00000 2 120.00000 3 0.00000 4 18.00000 约束约束条件条件序号序号约束约束条件条件名名松松弛弛约束约束条件条件序号序号约束约束条件条件名名松松弛弛1切割切割与印与印染染03成型成型02缝合缝合1204检查检查与包与包装装1

28、8松松弛弛/剩剩余余信信息息 3.3.1 计算机输出结果的解释计算机输出结果的解释 对偶值信息（资源边际价值）对偶值信息（资源边际价值） Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 0.00000 4.37500 2 120.00000 0.00000 3 0.00000 6.93750 4 18.00000 0.00000 在第在第3.2节中，我中，我们对对偶偶值进行了如下定行了如下定义： 对偶偶值就是就是约束条件右端束条件右端值每增加一个每增加一个单位引起的最位引起的最优值变化量。化量。 这里，图这里，图3-43-4中的对偶值可做如下解释：中的对偶值可做如下

29、解释： 3.3.1 计算机输出结果的解释计算机输出结果的解释 约约束束条条件件1（切切割割与与印印染染）和和约约束束条条件件3（成成型型时时间间）的的非非零零对对偶偶值值分分别别为为4.375和和6.9375。这这告告诉诉我我们们，每每额外外增增加加1小小时的的切切割割与与印印染染时间会会使使最最优值增增加加4.37美美元元；每每增增加加1小小时时的的成成型型时时间间将将会会使使最最优优值值增增加加6.94美美元元。因因此此，在在其其他他系系数数不不变变的的情情况况下下，如如果果切切割割与与印印染染时时间间从从630小小时时增增加加到到631小小时时，Par公公司司的的 利利 润 会会 增增

30、加加 4.37美美 元元 ， 即即 由由 7668美美 元元 增增 加加 到到7668+4.37=7672.37（美美元元）。在在其其他他系系数数保保持持不不变变的的情情况况下下，如如果果有有效效成成型型时时间间从从708小小时时增增加加到到709小小时时，Par公公司司的的利利润润将将会会增增加加到到7668+6.94=7674.94（美美元元）。由由于于缝合合和和检查时间与与包包装装约束束条条件件有有松松弛弛或或未未使使用用的的工工作作能能力力，它它们的的零零对偶偶值表表明明，对这两两个个部部门增增加加额外外工工作作时间也也不不会会对目目标函函数数的的值产生影响。生影响。 3.3.1 计算

31、机输出结果的解释计算机输出结果的解释 递减减成成本本（reduced cost）：一一个个变量量的的递减减成成本本等等于于这个个变量非量非负约束的束的对偶偶值。Optimal Objective Value= 7668.00000 Variable Value Reduced Cost S 540.00000 0.00000 D 252.00000 0.00000图3-4中中显示，示，变量量S和和D的的递减成本均减成本均为0。 非非负约束束是是S0，S的的当当前前值是是540，因因此此改改变非非负约束束使使S1 对最最优值没没有有影影响响。因因为增增加加一一个个单位位的的右右端端值对最最优目目

32、标函函数数值没没有有影影响响，因因此此这个个非非负约束束的的对偶偶值（即即递减减成成本本）是是0。同同样这也也可可以以应用用于于变量量D。通通常常来来说，如如果果一一个个变量量在在最最优解中有一个非零解中有一个非零值，那么它的，那么它的递减成本将是减成本将是0. 3.3.1 计算机输出结果的解释计算机输出结果的解释l 变量量S：变量量S当当前前的的利利润系系数数是是10，允允许增增加加的的值是是3.5，允允许减减小小的的值是是3.7。因因此此，只只要要标准准袋袋的的利利润贡献献在在10-3.7=6.3（美元），（美元），10+3.5=13.5（美元）之（美元）之间时，最，最优解不解不变。l 变

33、变量量D：同同理理，由由图图3-4可可得得变变量量D的的目目标标函函数数系系数数在在6.6714.29之间变动时，最优解不变。之间变动时，最优解不变。 目标函数系数范围目标函数系数范围 Objective Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S 10.00000 3.50000 3.70000 D 9.00000 5.28571 2.33333 3.3.1 计算机输出结果的解释计算机输出结果的解释在范在范围栏的信息中可的信息中可见：l约束束条条件件1的的右右端端值为630，允允许增增加加的的值为52.36364，

34、允允许减减少少的的值为134.4，因因此此切切割割与与印印染染约束束右右端端值在在495.6682.4范围内变化时，范围内变化时，对偶偶值都是有效的。都是有效的。l 同同理理，成成型型约束束条条件件的的右右端端值在在580900范范围内内变化化时，对偶偶值都是有效的。都是有效的。 约束条件右端值的变化范围约束条件右端值的变化范围 Allowable Allowable Constraint RHS value Increase Decrease 1 630.00000 52.36364 134.40000 2 600.00000 Infinite 120.00000 3 708.00000 1

35、92.00000 128.00000 4 135.00000 Infinite 18.00000 3.3.1 计算机输出结果的解释计算机输出结果的解释可行域（可行域（range of feasibility）：对偶偶值适用的范适用的范围称做可行称做可行 域。域。Par公司公司问题的可行域的可行域汇总如下：如下：约束条件约束条件最小右最小右端值端值最大右最大右端值端值约束条件约束条件最小右最小右端值端值最大右最大右端值端值切割与印染切割与印染495.6682.4成型成型580.0900.0缝合缝合480.0无上限无上限检查与包装检查与包装117.0无上限无上限只要右端只要右端值在在这些范些范围内

36、，系内，系统分析分析结果中的那些果中的那些对偶偶值就不就不会改会改变。右端。右端值如果超出了如果超出了这些范些范围，对偶偶值的信息就会随之的信息就会随之改改变. 3.3.2 深入理解对偶值深入理解对偶值 对偶偶值是是右右端端值每每增增加加一一个个单位位时最最优值的的变化化。然然而而这种种解解释也也并并非非总是是正正确确的的。要要理理解解这个个问题，我我们先先要要理理解解沉沉没没成成本本（sunk cost）和和相相关关成成本本（relevant cost）的的区区别。沉沉没没成成本本不不会会受受决决策策影影响响，无无论决决策策变量量为何何值，这种种成成本本都都会会发生生。相相关关成本成本则取决

37、于决策的制定，取决于决策的制定，这种成本随决策种成本随决策变量量值的的变化而化而变化。化。 让我我们重重新新考考虑Par公公司司的的例例子子。切切割割与与印印染染的的总时间是是630小小时。如如果果说无无论生生产标准准袋袋或或者者高高级袋袋，都都是是按按照照时间来来支支付付工工资的的，那那么么时间成成本本就就是是一一种种沉沉没没成成本本。所所有有的的相相关关成成本本都都要要在在线性性规划划的的目目标函函数数中中有有所所反反映映。假假设Par公公司司必必须按按照照工工作作时间来来发放放工工人人工工资，不不管管他他们的的工工作作时间是是否否被被有有效效地地利利用用。因因此此，Par公公司司劳动时间

38、资源源的的成成本本就就属属于于沉沉没没成成本本，而而不不在在目目标函函数中反映出来。数中反映出来。 3.3.3 修改的修改的Par公司问题公司问题 图解解法法只只能能应用用于于解解决决双双决决策策变量量的的线性性规划划问题。在在现实生生活活中中，用用线性性规划划解解决决的的问题经常常包包含含大大量量的的变量量和和约束束条条件件。在在本本节中中，我我们讨论在在两两个个线性性规划划问题中中，三三决决策策变量量问题的的方方程程和和计算算机机求求解解。在在讨论过程程中中，我我们会会解解释计算算机机输出出结果中果中递减成本部减成本部门的含的含义。 Par公司原来公司原来问题的模型如下：的模型如下： ma

39、x 10 S + 9 D s.t. 7/10 S+ 1 D 630 切割与印染切割与印染 1/2 S+ 5/6 D 600 缝合合 1 S+ 2/3 D 708 成型成型 1/10 S+ 1/4 D 135 检查与包装与包装 S, D 0 3.3.3 修改的修改的Par公司问题公司问题 设S是是标准准袋袋的的产量量，D是是高高级袋袋的的产量量。假假设管管理理者者希希望望生生产一一种种轻便便、球球手手可可以以随随身身携携带的的高高尔尔夫夫袋袋模模型型。设计部部门估估计每每个个新新型型袋袋将将需需要要0.8小小时的的切切割割与与印印染染时间，1小小时的的缝合合时间，1小小时的的成成型型时间和和0.

40、25小小时的的检查与与包包装装时间。管管理理者者认为在当前在当前销售期内每个售期内每个轻便袋可以便袋可以获利利12.85美元。美元。 我我们对原原模模型型进行行修修改改，修修改改后后的的模模型型需需要要加加入入新新的的决决策策变量量的的影影响响。令令L为轻便便袋袋的的产量量，将将其其加加入入目目标函函数数及及4个个约束条件，可得到如下模型：束条件，可得到如下模型：图3-5给出了修改后模型的求解出了修改后模型的求解结果。果。max 10 S + 9 D +12.85 L s.t. 7/10 S+ 1 D + 0.8 L630 切割与印染切割与印染 1/2 S+ 5/6 D + 1 L600 缝合

41、合 1 S+ 2/3 D + 1 L708 成型成型 1/10 S+ 1/4 D + 1/4 L135 检查与包装与包装 S, D0图3-5 修改后的修改后的Par公司公司问题的求解的求解Optimal Objective Value = 8299.80000 Variable Value Reduced Cost S 280.00000 0.00000 D 0.00000 -1.15000 L 428.00000 0.00000Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 91.60000 0.00000 2 32.00000 0.00000 3 0.00000

42、 8.10000 4 0.00000 19.00000 Objective Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S 10.00000 2.07000 4.86000 D 9.00000 1.15000 Infinite L 12.85000 12.15000 0.94091 Allowable Allovable Constraint RHS value Increase Decrease 1 630.00000 Infinite 91.60000 2 600.00000 Infinite 32.00000 3

43、708.00000 144.63158 168.00000 4 135.00000 9.60000 64.20000 3.3.3 修改的修改的Par公司问题公司问题 根根据据图3-5给出出的的结果果。最最优解解为280个个标准准袋袋，0个个高高级袋袋和和428个个轻便袋，最便袋，最优值为8299.80美元。美元。 根根据据递减减成成本本的的解解释，计算算机机输出出结果果表表明明，S和和L的的递减减成成本本都都为0。变量量D的的递减减成成本本为 -1.15，表表明明如如果果高高档档袋袋的的产量量从从0增增加加到到1，那那么么最最优目目标函函数数值将将减减少少1.15。另另外外一一种种解解释是是，

44、如如果果我我们将将高高档档袋袋的的成成本本降降低低1.15（也也就就是是将将边际收收益益增增加加1.5），那么将会出），那么将会出现一个生一个生产非零个高档袋的最非零个高档袋的最优方案。方案。 假假设使使D的的系系数数正正好好增增加加1.15美美元元，这样新新的的值就就是是9+1.15=10.15（美美元元），然然后后重重解解原原问题。新新的的求求解解如如图3-6所所示，注意到尽管示，注意到尽管D的的值已已经是正数，最是正数，最优解的解的值仍然没有仍然没有变。图3-6 Par公公司司问题中中系系数数D的的值增增加加 1.15美元后的求解美元后的求解Optimal Objective Value

45、= 8299.80000 Variable Value Reduced Cost S 403.78378 0.00000 D 222.81081 0.00000 L 155.67568 0.00000Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 0.00000 0.00000 2 56.75676 0.00000 3 0.00000 8.10000 4 0.00000 19.00000 Objective Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S 10.00000 2.51071 0.

46、00000 D 10.15000 5.25790 0.00000 L 12.85000 0.00000 2.19688 Allowable Allovable Constraint RHS Value Increase Decrease 1 630.00000 52.36364 91.60000 2 600.00000 Infinite 56.75676 3 708.00000 144.63158 128.00000 4 135.00000 16.15385 18.00000 3.3.3 修改的修改的Par公司问题公司问题 换言言之之，当当D利利润的的增增量量正正好好等等于于其其递减减成成本本

47、时，能能得得到到多多重重最最优解解。如如果果D的的利利润增增加加量量超超过1.15美美元元，它它在在最最优解解处就就不再是不再是0。 注注意意图3-6中中，约束束条条件件3和和4的的对偶偶值分分别为8.1和和19，表表明明这两两个个约束束条条件件是是束束缚性性约束束条条件件。因因此此，成成型型部部每每增增加加1小小时工工作作时间就就会会使使最最优值增增加加8.10美美元元，检验与与包包装装部部每每增增加加1小小时工工作作时间就就会会使使最最优值增增加加19美美元元。由由于于切切割割与与印印染染部部有有91.6小小时的的松松弛弛时间，而而缝合合部部门有有32小小时的的松松弛弛时间（见图3-6），

48、管管理理者者可可能能打打算算利利用用这两两个个部部门的的未未使使用用劳动时间。Par公公司司可可能能会会尝试对工工人人进行行交交叉叉训练，使使得得某某部部门未未使使用用的的生生产能能力力可可以以转而而分分配配到到其其他他部部门中中去去。下下一一章章我我们将将考考虑类似似的情形。的情形。 3.4 传统灵敏度分析的不足传统灵敏度分析的不足 计计算算机机软软件件提提供供的的传传统统灵灵敏敏度度分分析析还还存存在在一一些些不不足足。在在这这一部分，我们讨论一部分，我们讨论3类这样的限制：类这样的限制：u输入数据同时变化输入数据同时变化u约束条件系数的变化约束条件系数的变化u非直觉对偶值非直觉对偶值 我

49、我们们对对这这3种种情情况况分分别别给给出出了了例例子子，同同时时讨讨论论了了当当模模型型发发生生变化时怎样通过重解模型来高效地处理这些问题。变化时怎样通过重解模型来高效地处理这些问题。 3.4.1 多系数同时变化多系数同时变化 针对两两个个或或两两个个以以上上系系数数同同时变化化时，目目标函函数数将将怎怎样变化的化的问题。 这里里，再再次次分分析析修修改改后后的的Par公公司司问题。假假设Par公公司司找找到到了了一一个个新新的的供供应商商，并并且且可可以以以以更更低低的的价价格格购买那那些些高高尔尔夫夫袋袋所所需需要要的的皮皮革革。皮皮革革是是3种种高高尔尔夫夫袋袋重重要要的的组成成成成分

50、分，只只是是每每种种袋袋所所含含的的量量不不同同。在在使使用用这种种新新的的皮皮革革生生产以以后后，每每个个标准准袋袋的的边际利利润是是10.3美美元元，每每个个高高档档袋袋的的边际利利润是是11.4美美元元，每每个个轻型型的的边际利利润是是12.97美美元元。那那么么图3-5给出出的的方方案案仍仍是是最最优的的吗？我我们可可用用新新的的边际利利润作作为目目标函函数数系系数数来来简单重重解解这个模型从而回答个模型从而回答这个个问题。 3.4.1 多系数同时变化多系数同时变化 我我们使使用用新新的的目目标函函数数：max 10.3S+11.4D+12.97L，其其他他约束束条条件件不不变。图3-

51、7给出出了了对这个个问题的的求求解解，新新的的最最优利利润是是8718.13美元，美元，3种包装袋都要生种包装袋都要生产。 假假设我我们没没有有用用新新的的目目标函函数数系系数数重重解解这个个模模型型，我我们还是是使使用用原原模模型型的的方方案案，该方方案案如如图3-5所所示示。因因此此我我们的的利利润将将是是10.3 280+11.4 0+12.97 428=8435.16（美美元元）。通通过新新的的信信息息和和图3-7中中修修改改过的的计划划重重解解这个个模模型型，可可看看到，到，总利利润增增长了了8718.13-8435.16=282.97（美元）。（美元）。图3-7 修改目修改目标函数

52、函数系数后的系数后的Par公司公司问题的求解的求解Optimal Objective Value= 8718.12973 Variable Value Reduced Cost S 403.78378 0.00000 D 222.81081 0.00000 L 155.67568 0.00000 Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 0.00000 3.08919 2 56.75676 0.00000 3 0.00000 6.56351 4 0.00000 15.74054 Objective Allowable Allowable Variable Co

53、efficient Increase Decrease S 10.30000 2.08000 2.28600 D 11.40000 4.26053 1.27000 L 12.97000 1.03909 1.82000 Allowable Allovable Constraint RHA value Increase Decrease 1 630.00000 52.36364 91.60000 2 600.00000 Infinite 56.75676 3 708.00000 144.63158 128.00000 4 135.00000 16.15385 18.00000 3.4.2 约束条件

54、系数的变化约束条件系数的变化 当当采采用用某某种种新新技技术时，生生产效效率率也也会会相相应的的有有所所提提高高。本本小小节针对这种情况种情况进行行讨论。 假假设采采用用一一种种新新技技术，此此技技术能能够高高效效地地生生产标准准袋袋，能能将将加加工工时间从从当当前前的的1小小时减减少少到到0.5小小时，而而不不影影响响高高级袋袋和和轻便袋的加工便袋的加工时间。这种情况下的种情况下的约束条件束条件为： 1/2 S + 2/3 D + 1L708 使用新技使用新技术 我我们改改变系系数数，重重新新求求解解，如如图3-8所所示示，标准准袋袋的的最最优数数量量从从280增增加加到到了了521.1，轻

55、质袋袋的的最最优数数量量从从428降降低低到到了了331.6，仍仍旧旧不不生生产高高档档袋袋。重重要要的的是是，通通过使使用用新新技技术，最最优利利润从从8299.80美美元元增增加加到到9471.32美美元元，增增加加了了1171.52美美元元。结合合新新技技术的的成成本本信信息息，管管理理者者将将会会根根据据当当前前的的利利润增增加加估估计算算出出偿还新技新技术成本的成本的时间。图3-8 应用生用生产标准袋新技准袋新技术后的后的Par公司公司问题的求解的求解Optimal Objective Value = 9471.31579 Variable Value Reduced Cost S

56、521.05263 0.00000 D 0.00000 -6.40789 L 331.57895 0.00000 Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 0.00000 12.78947 2 7.89474 0.00000 3 115.89474 0.00000 4 0.00000 10.47368 Objective Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S 10.00000 1.24375 4.86000 D 9.00000 6.40789 Infinite L 12.850

57、00 12.15000 1.42143 Allowable Allovable Constraint RHS Value Increase Decrease 1 630.00000 30.00000 198.00000 2 600.00000 Infinite 7.89474 3 708.00000 Infinite 115.89474 4 135.00000 2.50000 45.00000 3.4.3 非直觉对偶值非直觉对偶值 两两边都都有有变量量的的约束束条条件件往往往往会会使使对偶偶值产生生非非直直觉的的解解释。为说明明这种种情情况况，本本小小节将将重重新新思思考考第第3.3节中中讨论

58、过的修改后的的修改后的Par公司公司问题。 问题：管管理理者者在在审核核图3-5中中的的问题求求解解后后发现，他他们会会放放弃弃所所有有不不生生产高高级袋袋的的方方案案，并并要要求求高高级袋袋的的产量量至至少少要要达达到到标准袋准袋产量的量的30%。用。用变量表示如下：量表示如下： D0.3S将将此此新新的的约束束条条件件设为修修改改的的Par公公司司模模型型的的约束束条条件件5。重重解解这个模型，得到如个模型，得到如图3-9所示的最所示的最优解。解。 图3-9 约束高档袋束高档袋产量后量后的的Par公司公司问题的求解的求解Optimal Objective Value = 8183.8800

59、0 Variable Value Reduced Cost S 336.00000 0.00000 D 100.80000 0.00000 L 304.80000 0.00000Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 50.16000 0.00000 2 43.20000 0.00000 3 0.00000 7.41000 4 0.00000 21.76000 5 0.00000 -1.38000 Objective Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease S 10.00000 2

60、.07000 3.70500 D 9.00000 1.15000 12.35000 L 12.85000 5.29286 0.94091 Allowable Allovable Constraint RHS Value Increase Decrease 1 630.00000 Infinite 50.16000 2 600.00000 Infinite 43.20000 3 708.00000 57.00000 168.00000 4 135.00000 12.00000 31.75000 5 0.00000 101.67568 84.00000 3.4.3 非直觉对偶值非直觉对偶值 在在此

61、此，解解释一一下下约束束条条件件5的的对偶偶值。根根据据图3-9结果果可可知知，其其对偶偶值为-1.38，表表明明若若右右端端值增增加加一一个个单位位，将将使使利利润减少减少1.38美元。美元。 当当约束束条条件件变为：D 0.3 S+1 ，则对-1.38的的对偶偶值比比较正正确确的的解解释如如下下：如如果果高高级袋袋的的产量量由由30%的的标准准袋袋产量量提提高高一一个个单位位，总利利润会会减减少少1.38美美元元。相相反反，若若减减少少一一个个单位，位，总利利润会增加会增加1.38美元。美元。 人人们可可能能会会对约束束条条件件中中变量量的的系系数数，如如0.3更更感感兴趣趣 ，对此此我我

62、们以以5%为间隔隔，分分别实验了了比比例例从从5%增增长到到100%的的利利润变化化，这个个比比例例改改变对利利润的的影影响响如如图3-10所所示示，最最后的后的结果如表果如表3-1所示。所示。表表3-1不同高档袋产量占标准袋产量的比例下的求解不同高档袋产量占标准袋产量的比例下的求解比例比例% 利润（美元）利润（美元）标准袋标准袋高档袋高档袋轻便袋轻便袋58283.24 287.999914.4000 410.4000 108265.71 296.470429.6470 391.7648 158247.11 305.4543 45.8181 372.0002 208227.35 314.999

63、6 62.9999 351.0002 258206.31 325.1608 81.2902 328.6455 308183.88 335.9993 100.7998 304.8005 358159.89 347.5854 121.6549 279.3110 408134.20 359.9990 143.9996 252.0008 458106.60 373.3321 167.9994 222.6677 508076.87 387.6908 193.8454 191.0783 558044.77 403.1982 221.7590 156.9617 607948.80 396.0000 237.

64、6000 144.0000 657854.27 388.2353 252.3529 132.3529 707763.37 380.7692 266.5385 121.1538 757675.90 373.5849 280.1887 110.3774 807591.67 366.6667 293.3333 100.0000 857510.50 360.0000 306.0000 90.0000 907432.23 353.5174 318.2143 80.3571 957356.71 347.3684 330.0000 71.0526 1007283.79 341.3793 341.3793 6

65、2.0690 图图3-10 不同高档袋占标准袋产量的比例下的总利润不同高档袋占标准袋产量的比例下的总利润 3.4.3 非直觉对偶值非直觉对偶值 从从图3-10可可以以看看到到，当当比比例例大大于于55%时曲曲线的的斜斜率率变得得更更陡陡了了，这说明明从从55%开开始始利利润下下降降的的速速度度发生生了了变化化。因因此此，可可看看到到，比比例例小小于于或或等等于于55%时，损失失的的利利润较小小；大于大于55%时，将会有，将会有较大的利大的利润损失。失。 另另外外，从从表表3-1中中看看出出，当当增增加加生生产高高档档袋袋的的比比例例时，生生产轻便袋的数量会减少。便袋的数量会减少。 3.5 电子

66、通信公司问题电子通信公司问题u在分销渠道的销售量、销售时间以及广告预算中应用线性在分销渠道的销售量、销售时间以及广告预算中应用线性规划的目的在于帮助管理者如何制定一个分销策略规划的目的在于帮助管理者如何制定一个分销策略u目的：销售利润最大化目的：销售利润最大化u在接下来所介绍的应用中，我们将介绍如何利用线性规划在接下来所介绍的应用中，我们将介绍如何利用线性规划建立模型以帮助管理者如何制定一个分销策略建立模型以帮助管理者如何制定一个分销策略 3.5.1 建模建模约约束束条条件件：公公司司的的广广告告费费用用预预算算是是5000美美元元；每每个个销销售售渠渠道道的的最最大大个个人人销销售售时时间间

67、是是1800小小时时；公公司司现现阶阶段段决决定定制制造造的的产产品数为品数为600件；全国连锁零售店要求最少销售件；全国连锁零售店要求最少销售150件产品件产品.定义如下决策变量：定义如下决策变量：M-航海器材经销店销售的产品数量；航海器材经销店销售的产品数量；B-商用器材经销店销售的产品数量；商用器材经销店销售的产品数量；R-全国连锁零售店销售的产品数量；全国连锁零售店销售的产品数量；D-直接邮购的产品数量。直接邮购的产品数量。相关数据见表相关数据见表3-2表表3-2 电子通信公司的利润、广告费用和个人销售时间电子通信公司的利润、广告费用和个人销售时间分销渠道分销渠道单位已售产品的利单位已

68、售产品的利润（美元）润（美元）单位已售产品的广单位已售产品的广告费用（美元）告费用（美元）单位已售产品的销单位已售产品的销售时间（小时）售时间（小时）航海器材经销店航海器材经销店90102商用器材经销店商用器材经销店8483全国连锁零售店全国连锁零售店7093直接邮购直接邮购6015无无建立模型如下：建立模型如下：Max 90M+84B+70R+60Ds.t. 10M+8B+9R+15D 5000 广告预算广告预算 2M+3B+3R 1800 可用销售时间可用销售时间 M+ B+ R+ D = 600 产量产量 R 150 全国连锁零售店合同约束全国连锁零售店合同约束 M, B, R, D 0

69、 3.5.2 计算机求解及其解释计算机求解及其解释Optimal Objective Value = 48450.00000 Variable Value Reduced Cost M 25.00000 0.00000 B 425.00000 0.00000 R 150.00000 0.00000 D 0.00000 - 45.00000Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 0.00000 3.00000 2 25.00000 0.00000 3 0.00000 60.00000 4 0.00000 - 17.00000图图3-11 对电子通信公司问题的求

70、解对电子通信公司问题的求解 对对该该公公司司的的问问题题模模型型利利用用计计算算机机求求解解，得得出出部部分分结结果果如如图图3-11所示：所示： 根根据据图图3-11可可知知，最最优优解解为为 M=25，B=425，R=150，D=0。计算机输出的松弛计算机输出的松弛/剩余变量以及对偶值如图剩余变量以及对偶值如图3-12。图3-12 电子通信公司子通信公司问题的目的目标系数和右端系数和右端值范范围Optimal Objective Value = 48450.00000 Variable Value Reduced Cost M 25.00000 0.00000 B 425.00000 0.

71、00000 R 150.00000 0.00000 D 0.00000 - 45.00000Constraint Slack/Surplus Dual Value 1 0.00000 3.00000 2 25.00000 0.00000 3 0.00000 60.00000 4 0.00000 - 17.00000 Objective Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease M 90.00000 Infinite 6.00000 B 84.00000 6.00000 34.00000 R 70.00000 17.00

72、000 Infinite D 60.00000 45.00000 Infinite Allowable Allovable Constraint RHS Value Increase Decrease 1 5000.00000 850.00000 50.00000 2 1800.00000 Infinite 25.00000 3 600.00000 3.57143 85.00000 4 150.00000 50.00000 150.00000目标系数目标系数允许增加值允许增加值允许减少值允许减少值90.00000 无上限无上限6.00000 84.00000 6.00000 34.00000

73、70.00000 17.00000 无上限无上限60.00000 45.00000 无上限无上限 我我们通通过对图3-12中中，有有关关灵灵敏敏度度方方面面的的信信息息进行行分分析析，得出目得出目标函数系数的最函数系数的最优范范围如下：如下： 只只要要系系数数的的变化化在在此此范范围内内，当当前前的的解解或或者者策策略略仍仍然然是是最最优的的。注注意意到到直直接接邮购渠渠道道系系数数允允许变化化的的范范围，这个个之之前前讨论的的递减成本是一致的。减成本是一致的。 3.5.2 计算机求解及其解释计算机求解及其解释61右端值右端值允许增加值允许增加值允许减少值允许减少值5000.00000 850

74、.00000 50.00000 1800.00000 无上限无上限25.00000 600.00000 3.57143 85.00000 150.00000 50.00000 150.00000 根据根据图3-12所示，关于所示，关于约束条件右端束条件右端值的灵敏度分析，它的灵敏度分析，它表明了表明了约束条件右端束条件右端值的的变化范化范围，如下：，如下： 这里由里由计算机提供的灵敏度分析和最算机提供的灵敏度分析和最优化分析只适用于化分析只适用于单一参数一参数变化，其他参数保持不化，其他参数保持不变的情况。如遇到参数同的情况。如遇到参数同时改改变的情况，最好的方法就是的情况，最好的方法就是对其

75、其进行重解。行重解。表表3-3 电子通信公司的最大利润策略电子通信公司的最大利润策略分销渠道分销渠道产量产量广告预算分配广告预算分配（美元）（美元）销售时间分配销售时间分配（小时）（小时）航海器材分销店航海器材分销店2525050商用器材分销店商用器材分销店42534001275全国连锁零售店全国连锁零售店1501350450直接邮购直接邮购000总计总计60050001775总利润总利润=48450（美元）（美元） 最后，我最后，我们给出出电子通信公司最子通信公司最优策略下各种策略下各种资源的分配源的分配情况，情况，见表表3-3。本章小结本章小结*针对灵灵敏敏度度分分析析问题，本本章章详细研

76、研究究了了线性性规划划问题系系数数的的变化化对最最优解解所所产生生的的影影响响，分分别介介绍了了图解解法法分分析析目目标函数系数和函数系数和约束条件右端束条件右端值的的变化化对最最优解的影响。解的影响。*针对灵灵敏敏度度分分析析的的相相关关内内容容，本本章章以以修修改改的的ParPar公公司司问题为例例，讨论了了建建模模、灵灵敏敏度度分分析析及及其其不不足足，并并对模模型型进行行了了解解释。同同时，为加加强对多多于于双双变量量的的线性性规划划问题的的掌掌握，又以握，又以电子通信公司子通信公司为例，例，对其其进行了研究分析。行了研究分析。63专业术语专业术语*sensitivity analys

77、is 灵灵敏敏度度分分析析 研研究究线性性规划划问题中中系系数数的的变化化对最最优解的影响。解的影响。*range of optimality 最最优范范围 在在最最优解解的的值不不变的的前前提提条件下，目条件下，目标函数系数的函数系数的变化范化范围。*objective function allowable increase/decrease 目目标函函数数允允许增增加加的的值/减减少少的的值 目目标函函数数系系数数允允许增增加加或或减减少少的的值是是指指不不引引起起最最优解解中中决决策策变量量的的值发生生改改变的的系系数数增增加加或减少的量。或减少的量。这个范个范围可以用来可以用来计算最算

78、最优解的范解的范围。*dual price 对偶偶值 约束束条条件件右右端端值每每增增加加一一单位位，目目标函数函数值的的变化量。化量。*reduced cost 递减减成成本本 一一个个变量量的的递减减成成本本等等于于这个个变量的非量的非负约束的束的对偶偶值。64专业术语专业术语*range of feasibility 可可行行域域 使使对偶偶值不不变的的约束束条条件件右右端端值的的变化范化范围。*right-hand-side allowable increase/decrease 右右端端值允允许增增加加的的值/减减少少的的值 右右端端值允允许增增加加或或减减少少的的值是是指指不不引引起起该约束束条条件件的的对偶偶值发生生改改变的的情情况况下下，右右端端值允允许增增加加或或减减少少的量。的量。这个范个范围可以用来可以用来计算算该约束条件的可行域。束条件的可行域。*sunk cost 沉沉没没成成本本 不不受受决决策策影影响响的的成成本本。无无论决决策策变量量如如何何变化，它的化，它的值都不会改都不会改变。*relevant cost 相相关关成成本本 受受决决策策影影响响的的成成本本。它它的的值随随决决策策变量的量的变化而化而变化。化。65END