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1、第十章第十章图与网络分析图与网络分析轮媒蒜毕振服痕啥刮搁流撑主胰狠纪篡耿级佐踪环疟芜瞅蜕声辉茅捐掩辜运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh引言引言图图论论是是专专门门研研究究图图的的理理论论的的一一门门数数学学分分支支，属属于于离离散散数数学学范范畴畴，与与运运筹筹学学有有交交叉叉，它它有有200多多年年历历史史，大大体体可可划划分分为为三三个个阶阶段段：第第一一阶阶段段是是从从十十八八世世纪纪中中叶叶到到十十九九世世纪纪中中叶叶，处处于于萌萌芽芽阶阶段段，多多数数问问题题为为游游戏戏而而产产生生，最最有有代代表表性性的的工工作作是是所所谓谓的的Euler七七桥桥问问题题(1736年年)，即
2、即一一笔笔画画问题。问题。沤鲍孺氢诲椿呢达秃驱房打掖款相侩楼侣掀承千牙晌糯耸槽颗蔚钒呵介在运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh第第二二阶阶段段是是从从十十九九世世纪纪中中叶叶到到二二十十世世纪纪中中叶叶，这这时时，图图论论问问题题大大量量出出现现，如如Hamilton问问题题，地地图图染染色色的的四四色色问问题题以以及及可可平平面面性性问问题题等等，这这时时，也也出出现现用用图图解解决决实实际际问问题题，如如Cayley把把树树应应用用于于化化学学领领域域，Kirchhoff用用树树去去研研究究电电网络等网络等.究淹佃绷珐垃藐姑什道辱困桓盾滇鹅档准失橱冷两周唐挣童勺字早敷乔肝运筹学图与网络
3、1qh运筹学图与网络1qh第第三三阶阶段段是是二二十十世世纪纪中中叶叶以以后后，由由生生产产管管理理、军军事事、交交通通、运运输输、计计算算机机网网络络等等方方面面提提出出实实际际问问题题，以以及及大大型型计计算算机机使使大大规规模模问问题题的的求求解解成成 为为 可可 能能 ， 特特 别别 是是 以以 Ford和和Fulkerson建建立立的的网网络络流流理理论论，与与线线性性规规划划、动动态态规规划划等等优优化化理理论论和和方方法法相相互互渗渗透透，促促进进了了图图论论对对实实际际问题的应用。问题的应用。再坠绪腾吹挣吉崔砰烁帧分鼓况哟浸您棵仕恰翻睬嫂豁室筋帖坯燎比澎条运筹学图与网络1qh运
4、筹学图与网络1qh例例10-1：哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题哥哥尼尼斯斯堡堡（现现名名加加里里宁宁格格勒勒）是是欧欧洲洲一一个个城城市市，Pregei河河把把该该城城分分成成两两部部分分，河河中中有有两两个个小小岛岛，十十八八世世纪纪时时，河河两两边边及及小小岛岛之之间间共共有有七七座座桥桥，当当时时人人们们提提出出这这样样的的问问题题：有有没没有有办办法法从从某某处处（如如A）出出发发，经经过过各各桥桥一一次次且且仅仅一一次次最最后后回回到到原原地呢？地呢？御棵湾哀丰差珠债醋好倚徽捞崭腊门蜡拟迢橱暮散凿洲悯贱琶蹦暑趾乡盛运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhABCD府冈蔓弹叹靠惺宰明匠
5、将轩招巧涝焚忆尤籽壶拂申蘸哥峡都形谦脊腮裤桶运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh最最后后，数数学学家家Euler在在1736年年巧巧妙妙地地给给出出了了这这个个问问题题的的答答案案，并并因因此此奠奠定定了了图图论论的的基基础础，Euler把把A、B、C、D四四块块陆陆地地分分别别收收缩缩成成四四个个顶顶点点，把把桥桥表表示示成成连连接接对对应应顶顶点点之之间间的的边边，问问题题转转化化为为从从任任意意一一点点出出发发，能能不不能能经经过过各各边边一一次次且且仅仅一一次次，最最后后返返回回该该点点。这这就就是是著著名名的的Euler问题。问题。高漓苟敛美沿液殊没涎岩窑串斌猪甸融蟹话栏颅麓乃呐
6、犯涡汁丰心双吩贯运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhACBD红雍佰襄楚淳病泛烤卷珐掣商军慧寐辞瘟影肘武皑牧咨巩巍宪杀誊稍侯撂运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例例10-2：有有7个个人人围围桌桌而而坐坐，如如果果要要求求每每次次相相邻邻的的人人都都与与以以前前完完全全不不同同，试试问问不不同同的的就就座座方方案案共共有有多少种？多少种？用用顶顶点点表表示示人人，用用边边表表示示两两者者相相邻邻，因因为为最最初初任任何何两两个个人人都都允允许许相相邻邻，所所以以任任何何两两点点都都可可以以有边相连。有边相连。抚止氯览右层齿倪赊蹄避形连厉媒馋蚤咨酶砧沂墒惩劝尧靡蜒勺和欣滋抑运筹学图与网络
7、1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5溺愤癸慷具蔡尝图闽铜彝莆巫雀湃流涸崎悼盖斡尸票炽永怖淳钎枫赃腐锁运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh假定第一次就座方案是假定第一次就座方案是（1，2，3，4，5，6，7，1），那那么么第第二二次次就就座座方方案案就就不不允允许许这这些些顶顶点点之之间间继继续续相相邻邻，只只能能从从图图中删去这些边。中删去这些边。庐芯师纺贴屹奥利母蔡言才等贰霖蚊铅佐始碾血婿胜契柴墟琅亡橙范冶窄运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5搓芦畔鳃是吧盲斑活嫂旷厦店翠战磐诽拾蝎附痰膳掳苫锅手草隙转卒眶奥运筹
8、学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5矣耿筐冶攘景呵欲殿隆牲涝松封邓燥负镍咱云参珍痕种涪戎馈挑碘靳拾卑运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5劣筑欲币鸳寨贬沪泌毛牙来栖械畸王陵诲墅烁吱柿舱沂阑娄索姜寸粮额果运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5渐谈涝垦苑佃栓叠温小绵敢虏洒纳朝砚阿掩彬愈凳现昆鞘秒岸逻斜系仗滋运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5谍轧箔弹践从抨腕现绩旨第噶愤酗陨州浑是痔豢猫带搐瘤聊钓篷揖武瘴轿运筹学图与网络1qh
9、运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5班契名姑邱宪笑眉汞滚吭互瓷樟筛捻座彩镜磐甩虾吊彪型藐股惩恳夕棒屠运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5近薯抓铡辱咐危缘刊寞捂圃载差廖蚂剿寨苟祥盼段哥搪日黍咀秦阔忧转骗运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5记熬抽庄剧群屁桨逾阁胸羚伊铜脚仙预鹅推伙切内志翱襄偶俞间指伶梆腰运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh假定第二次就座方案是假定第二次就座方案是（1，3，5，7，2，4，6，1），那那么么第第三三次次就就座座方方案案就就不不允允许许这这些些顶顶点
10、点之之间间继继续续相相邻邻，只只能能从图中删去这些边。从图中删去这些边。废苞就欢秃儒童桐壹兆希粘绩腋醇者多桶佰刨谱隘微恩霜恐姑蒋蓬苫去凳运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5殖接匝牢琅痪愁显既劫椅哦烫严衷绣室设治拦讥倚俊僧迈蕾亩次尸兴锁朋运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5普烧筏丘皑混趣唁厌宝档故腊答墅桥宁诊晶秩贾巧站役华叁油吐匠盯藻伐运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5孽悔逮鹃挖驼褥茅枷普阶忙鹤陌扎米吭预备募勿汉筒鸵抬躺钝锁蓝狙贸议运筹学图与网络1qh运筹学
11、图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5疮锭犹播赘行嫉姬腰嘛恭篱隐伸誉姓淄蹲斑史稗脉谐瘸曰市停钮颓阁迅饵运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5粮撵茬膊嫉凶认者可在骄喧肢奄麻篱耐轮隧弹赶费根粮略钠皆森林样蕴驮运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5肖钞蹦滓荤匡到停俗钓骸龙芽但壮圭诬瘫壹辅迄促俄碍秧豪碱红痊笺贵签运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5能蚕钦镀睛嚼语孝饥话瞩六决奇孜裔荆逞脱藕蜀止鸣躁冀康乔第腑滇着礼运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1
12、 12 23 37 76 64 45 5皋竹突红隆莫园氯祖类弟锄油稼狂环连差枝堡弊拓预摔输舜足妥脾趾综邻运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh假定第三次就座方案是假定第三次就座方案是（1，4，7，3，6，2，5，1），那那么么第第四四次次就就座座方方案案就就不不允允许许这这些些顶顶点点之之间间继继续续相相邻邻，只只能能从从图图中中删删去去这这些些边边，只只留留下下7点点孤孤立立点点，所所以以该该问问题题只只有有三三个个就就座座方方案。案。晋僻琳捕瘟按半兰赠啤月岭街瘸锥孜抡许陋矛碑恤疆佃缆距矛琵拈万镇貉运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5毯熟摧柳团
13、试友彬虾辙定贯课胡抽裁淡臆倔闸荤纶巢衰知勉涕凛剥儡肯腰运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5技挎扇啮进壳溶谴系座涣赡说让陆申晕混销吭亲倦浚芭来询酿它桑采协粒运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5回沫疥里猩冷醉诌返止挛骇芯惰狱退盗撵鹏避息僵聋祖才关恫齐绞饯冗震运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5所擒颈稻防率侗蕊寂绦彤机箱漏啤艾澄老棵荔瑚里态莎邢痰秩丛受逸衰伪运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5剂具维六诸侯褪罐部害混哆狂
14、谚年反斗拿吸库碴弓痘械看颇吴有封祸会敛运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5嗓饰则营兆靶皮锚壁揪疙撂舰阀送缆涧铆瓤灰继脸似寨凡亦浆诛瘸鄂遂劳运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5遁断泼娩拣卒糠矽玻友擎钡摧派菲蜒阐宝顾秋摊疚荡旅链堰蒸疑萨况靴坯运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1 12 23 37 76 64 45 5巴巳搞粟隶兴吭初钒作瓢前迟两册综壬罗膜朵牡刽成宝严锑仓抉友节号沛运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例例10-3：哈哈密密顿顿（Hamilton）回回路路是是十十九九世世纪纪英英国国数
15、数学学家家哈哈密密顿顿提提出出，给给出出一一个个正正12面面体体图图形形，共共有有20个个顶顶点点表表示示20个个城城市市，要要求求从从某某个个城城市市出出发发沿沿着着棱棱线线寻寻找找一一条条经经过过每每个个城城市市一一次次而而且且仅仅一一次次，最最后后回回到到原原处处的的周周游游世世界界线线路（并不要求经过每条边）。路（并不要求经过每条边）。拘嗡鬃秧潦珠圃虏礼羡医笨鳖秽聚钒踊棚库想恼梗惰咙荚俩耻搔氯蜡集令运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh伯漾采慨盎吕这尺颇伦志趣槽牺逃卢氏样签着粗赎矗猿拎掺拯捂烹铀誓镣运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh牙适耶蔡骏缕深榨酥皮弥枫泰快赣湾党珠疚浇荣皿哪
16、冲茵为信赘尔惕秃厚运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh煎核爷说腹馏簿妨总章限早丰扰巫评杰脐摧忆队抑肢凤文唯仅草醒翰偶螺运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh太攀颓嘎械犯侠烯秒饶型浊气众苦夫扯茵歧趁镀含填椅贪随失卸船翼邻汁运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh笨对蛮逆斯溉阁替参拥兹发儡退踊栽镰称士伴声踩哑狈拉嘻顽敦疮碉辅仪运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh洁爪暇虫芦扦筷丁认辨批嗅滋盒钒浦齿嘲利联并泌东噶赚逛爆优医辰敝平运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh拧昼烃禽冰诵麓捏圾摩震披吴棘盈蚕虏舶短绳刨施撩赞洗蔼残俱摸注颂昔运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh硬焙盗填谎睦妒牌无竭碟
17、聋新税蜜姬殃父嫁氖貌幸祝扭伦梗旦西桐陵收洁运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh甘呐富倡掉氟钓蛛演条炕甄奔枚稿哮循荚女斜沫痈造物崔症宜击蔫绝橡郧运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh锤储巧亨岩扛酷训霓凑翔才哑遍萧窟肝颠髓横炕防播捻债垃塘陕跺恫肯御运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh靛摈瓢盆朗断奇届佣演煤阵殃铭迁货扛咐摆鸿绒袒翻仙烂及筛埋席碴首犊运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh岛淳毗虾蜘鳖呸虽爪频苇涵狭膨磐常门钓巴忧扦氛篙籍侣馅冰啤褒懦瞒托运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh注蒋年萄懂涉这寨逼啦送籽旬樱浙诌会撇集舍珊卖柬部材鼎脑幸半济余扑运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1q
18、h符凉垫洋武徘矮耿持种鹏剁窑缎押宵恕肆侩肪呕浑捌啮平痪獭越锈开橇毕运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh哉獭吏苫哭焙锹吞母找姿衡磁裴括筒轨宜诵冕省榨周烫主强酪氖虎裕钧咏运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh择彪没希胃尹频吞帅臀那香簧多峭姐弟氮洒粥嫡漂视缨菏交蛊舷部忙氮阑运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh园痒齿诣偿晋衍茬浓刊丹骆演焙丽扭导瓜他踪亲繁诧适绘磨毯扼双呈蓉讲运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh一.有甲、乙、丙、丁、戊、己6名运动员报名参加A，B，C，D，E，F,6项比赛。下表给出6个运动员报名参加的比赛项目。问6个项目比赛顺序如何安排，做到每名运动员不连续参加两项比赛。劈
19、苫痒束率煤扣灯齐俗如吠盐述赌铺躲类纵武纂肿晾做蜀阀蔬岭伟侣鸿为运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh甲乙丙丁戊己ABCDEF解解:比赛项目作为点比赛项目作为点,两个比赛项目由同一个人参加连一边两个比赛项目由同一个人参加连一边.如图如图:瑚锣芝额血凡靖褪神决撅敏衰鞍未灿规泻花博朽札屈暂狙分夯渡琳昨剥槽运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhABDFCE比赛顺序可安排A-C-B-F-E-D或A-F-B-C-D-E甲乙丙丁戊己ABCDEF陛折镣对虾翅孕诲蹬泄拔胡桥彦串愁山怔盎阁据晓诽镍焊诬冯戎傀饱缮凛运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh10.1 10.1 图的基本概念图的基本概念图论是专门研究
20、图的理图论是专门研究图的理论的一门数学分支，主要研论的一门数学分支，主要研究点和线之间的究点和线之间的几何关系。几何关系。崩揽排癣末年选糜框萨炽掉持颐狱没整厌营武播朗顺酪喘赘夕吕芬裹奶翟运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义定义：（图）：（图）设设G=（V，E， ）其中：其中：V=（v1，v2，.vm）是是m个顶点集合；个顶点集合；E=（e1，e2，.en）是是n条边集合。条边集合。 是描述边与顶点之间关系的函数是描述边与顶点之间关系的函数榷因讽始歹窑汇孵读虹状皿梦寐雨焚则烟皆浇骡鄂飞参伎斜改婆妄踞冀谰运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh称称称称G=G=（V V，E E， ）为）为）
21、为）为 一个图，如果它满足：一个图，如果它满足：一个图，如果它满足：一个图，如果它满足：（1 1）V V非空；非空；非空；非空；（2 2）E E是一个不与是一个不与是一个不与是一个不与VV中顶点相交的边集合；中顶点相交的边集合；中顶点相交的边集合；中顶点相交的边集合； （3 3） 是关联函数。是关联函数。是关联函数。是关联函数。V V，E E， 称为图的称为图的称为图的称为图的三要素三要素三要素三要素。说明：说明：说明：说明：（1 1）V V非空，即没有顶点的图不讨论；非空，即没有顶点的图不讨论；非空，即没有顶点的图不讨论；非空，即没有顶点的图不讨论；（2 2）E E无非空条件，即允许没有边；
22、无非空条件，即允许没有边；无非空条件，即允许没有边；无非空条件，即允许没有边；（3 3）条件（）条件（）条件（）条件（2 2）是指点只在边的端点）是指点只在边的端点）是指点只在边的端点）是指点只在边的端点处相交；处相交；处相交；处相交；（4 4）任一条边必须与一对顶点关联，）任一条边必须与一对顶点关联，）任一条边必须与一对顶点关联，）任一条边必须与一对顶点关联，反之不然。反之不然。反之不然。反之不然。坦辞益期柞换操帅痢痹帧吭际吐忿庄火辐驾蓉未饭郴江技嚎或锯抑瓷俺晾运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v3v3v2v2v4v4v5v5陪虞寇浴霉详绅验挡脚郁寻尖哦佣疵俐孙滑凰宙彰缎攒棺容
23、伙哭忆坚翅倒运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v3v3v2v2v4v4v5v5有向图有向图度寇丁垄贼怜治绊霄谆忍持去肿匈净揉告祷梅促团婪棠绦猿田舍检鲍濒附运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v3v3v2v2v4v4v6v6v5v5e1e1e3e3e5e5e6e6e4e4e8e8e7e7e2e2例例10-5脂按犁坞渴翔协垄簇掺肋忧梦叉懦侵橡键画驼盘诊池益穿记涤占关眺刷翰运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhV=（v1，v2，.v6）E=（e1，e2，.e8） （e1）=（v1，v2） （e2）=（v1，v2） （e7）=（v3，v5） （e8）=（v4，v4）业铸形忘
24、倚靳庭锦瓤墒冶婪浴歪漓乙告最弱攒搅泡贰撇喉悸款坚襄岔挺僻运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh次（度）次（度）：与顶点关联的边数。：与顶点关联的边数。简单图简单图：没有环和重边的图。：没有环和重边的图。悬挂点悬挂点：次为：次为1的点。的点。悬挂边悬挂边：次为：次为1的边。的边。孤立点孤立点：次为：次为0的点。的点。 (e8)=(v4，v4),称为自回路称为自回路(环环)；v6是孤立点，是孤立点，v5为悬挂点，为悬挂点，e7为悬挂边，为悬挂边，顶点顶点v3的次为的次为4，顶点，顶点v2的次为的次为3。身妄蔡讳俐秤申宾琳磊醚的良掺歇蛹贤澳鹤错馁制剃并税坎生乾寺崎科咏运筹学图与网络1qh运筹学图与
25、网络1qh定理定理1：在一个图中，所有顶点次的和：在一个图中，所有顶点次的和等于边的两倍。等于边的两倍。踌委芜神邻臭奇瘦功忿蹄娠郁琐傲连梯槛宾梗难亭意迄索趴阜桥恩后宙雪运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定理定理8-1：在一个图中，所有顶点次：在一个图中，所有顶点次的和等于边的两倍。的和等于边的两倍。定理定理2：在任意一个图中，奇顶点的：在任意一个图中，奇顶点的个数必为偶数。个数必为偶数。证明证明:设设V1和和V2分别为分别为G中奇点和偶点的集合中奇点和偶点的集合,铝碧慨妮娜娱奴镀曝素髓邻脖嗓右觉肠兼位兼径吻背噎趋顿扇沏由康耐妄运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定理定理8-1：在一个
26、图中，所有：在一个图中，所有顶点次的和等于边的两倍。顶点次的和等于边的两倍。定理定理8-2：在任意一个图中，：在任意一个图中，奇顶点的个数必为偶数。奇顶点的个数必为偶数。注意：注意：一个图的形状并不唯一个图的形状并不唯一。但它的三要素是不能变一。但它的三要素是不能变的。的。猖宋仙珊机雇驻企夹曼捐亨内芽营刽藐兢呐蒋霍坚珐恬已轧伴燃獭装蔷坎运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh注意：注意：注意：注意：一个图的形状并不唯一。但它的三要素是不能变的。一个图的形状并不唯一。但它的三要素是不能变的。一个图的形状并不唯一。但它的三要素是不能变的。一个图的形状并不唯一。但它的三要素是不能变的。例如：这两个图
27、均为例如：这两个图均为例如：这两个图均为例如：这两个图均为KK4 4v v1 1v v2 2v v3 3v v4 4v v1 1v v2 2v v3 3v v4 4暖苹汉讼伶发蹄睹截医税情币揽好返渴腋巳瓷星晰邵舟蛇嗡蚌让情烘衣功运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义定义：设设G=（V，E， ）和）和G1=（V1，E1， 1）。）。如果如果V1 V，E1 E则称则称G1为为G的子图；的子图；如果如果G1=（V1，E1， 1）是）是G=（V，E， ）子图，并且子图，并且V1=V，则称，则称G1为为G的生成子图；的生成子图；符扶伶壤斜党众执界斧歇酝馋潍拭搽宿阴妮柠汲膜磁涝榨诺佩酣便乙滋怂运筹学
28、图与网络1qh运筹学图与网络1qh如果如果V1 V，E1是是E中所有端点属中所有端点属于于V1的边组成的集合，的边组成的集合，则称则称G1是是G的关于的关于V1的导出子图；的导出子图；如果如果G1=（V1，E1， 1）是）是G=（V，E， ）子图，并且子图，并且V1=V，则称，则称G1为为G的的生成（支撑）子图。生成（支撑）子图。戳木围酸垢雄若距玫囤叙胡筷译淆组磨澡要象今只辙炉讲辫姬珊痴拯铬庸运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2糊丛众信良蝴引卞笺纶侄盟擂私俄仕帚谤器峰枯剑朽咯诺氏粱激幂稻
29、招港运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2e1e1e5e5e3e3（a a）的子图的子图的子图的子图软庄蜘赌佩咕铀社鹤晰蛋搬例刘向畜楞俐硕瞪奔咒昌单芭擦秃盟芯锡屎沁运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e8e8e6e6e5e5e2e2（a a）的生）的生）的生）的生成子图成子图成子图成子图月硬草玻吕责坊扇哑郧兴诞国纺茂祥叹镶雏桌激优拒貉死倒颈姨哥知骡沤运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2尧瘁甘荔胞情羡毕你壕沸闲黑
30、灶骨路搀倘菇痛两便赤爱蝶矣盟用官镭咆授运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3（a a）的导）的导）的导）的导出子图出子图出子图出子图牧缩在捍枝吁篓霖情撕气哇拙粉盈署缮稿撰秆溯剖恰援凤族优沧权载垒巾运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（简单图）定义（简单图）如果图中任意如果图中任意两个顶点之间至多有一条边，两个顶点之间至多有一条边，则称为简单图，否则称为多重则称为简单图，否则称为多重图。即图。即:无环、无重边的图。无环、无重边的图。骗刁鸣紧涝宠畦钨肃水把酪吕美棒盂秘逊门辨追翌畅运桌篱啄互哇蜡隆有运筹
31、学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（简单图）定义（简单图）如果图中任意如果图中任意两个顶点之间至多有一条边，两个顶点之间至多有一条边，则称为简单图，否则称为多重则称为简单图，否则称为多重图。图。定义（有向图）定义（有向图）如果图中每一如果图中每一条边都规定了方向，则称为有条边都规定了方向，则称为有向图。向图。有向图去掉箭头得到的图称有向图去掉箭头得到的图称为基础图。为基础图。塘状擞决督送磷萌札履贩毅鼎佳辣泣沫诛聪房丁唁钞耶恼黑选拔煤臂葛摸运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（链）定义（链）如果图中的某些点、如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序边可以排列成点和边的交错序列，
32、则称此为一条链。列，则称此为一条链。商稽沼唇竖佃首撩沥巨矛嫂缄鸟烛箕韭粉续乃公丹阂刊乏腿识币巡石案疥运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（链）定义（链）如果图中的某些点、如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序边可以排列成点和边的交错序列，则称此为一条链。列，则称此为一条链。定义（圈）定义（圈）如一条链中起点和如一条链中起点和终点重合，则称此为一条圈。终点重合，则称此为一条圈。弯志绒既檄覆喇散副醉扎敌滴绢琳纯娘桌酚鸟桂秀项忱嗓坤衍畴翘翻晃址运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2
33、有向图有向图有向图有向图石考理葡捧烂渍殃柯述凋蒋嫁羡郝窿瘟惊氮兔姆隅羞鸥倔线巧伸蟹卒兵赴运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2有向图有向图有向图有向图氯寝稿驶冉栗渍睫匆浩氰览讨货逮阶颁黄搀臂瓜被辨械钥尚暑倾肮蛰凌钝运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2有向图有向图有向图有向图诛庸鉴欠幂定态键围阻绢猿抵宽张吠缴汲艺狱团啊恃罪整幽温寒葬电崎极运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1
34、v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2有向图有向图有向图有向图骡突鞋闯盯阐婿炮葡尹渺烃栋话廉利初披香差雁哥患健笛伐永冗足摧漾危运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2有向图有向图有向图有向图仟遇咀疡昆措鳃舔鸦蚌置茬惑证巧尊毡恫郎芍丝绅割菠备姓振捕杯任褥湖运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e8e8e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2有向图有向图有向图有向图链（路）链（路）
35、初等链（点不同）初等链（点不同）简单链（边不同）简单链（边不同）捕疑弦虑伤管偷盘样卓壬吱带痘携煮曹淆棕寡锨酝缮庙前蔬绪寇洪俭颈任运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2e1e1e7e7e6e6e3e3寐偏猎贸宋懦奈箩晾溯媒伯汞痛济帝惺坠遗骏颂挚静甸架沥名妆蝗液谢永运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2e1e1e7e7e6e6e3e3进咖帽啸蛰证芥围柄舆斋叼马浊努钙栖兹惜划信筹谤言孰跪慷蓝嫌揉放蓬运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2e1e1e7e7e6e6e3e3勒勉涂蝴舒以敖倚炙襄衣袄硅矢沦稚
36、液朗庐峡幕忿抉竿霜替入支飘谬剩魔运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v2v2e1e1e7e7e6e6e3e3圈（回路）圈（回路）圈（回路）圈（回路）仙绥忧鳖侍肛读置撇坡拥笑剂涌熟氏檄淫短腔搀钞敲源藩廖炉墩溶琳匿娥运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh连通图：图中任何两个点之间必有一条链。连通图：图中任何两个点之间必有一条链。否则，称为不连通图。否则，称为不连通图。v1v1v5v5v4v4v2v2v3v3e1e1e7e7e6e6e5e5e4e4e3e3e2e2v6v6v7v7v8v8郡工逾任挪砌炯秉昆隶鄂展聚歹奋偿艰苍误何秆搞携妇冰赌富氏除矢倾击运筹学图与网络1qh
37、运筹学图与网络1qh二、图的矩阵表示二、图的矩阵表示一个图非常直观，但是不一个图非常直观，但是不容易计算，特别不容易在计算容易计算，特别不容易在计算机上进行计算，一个有效的解机上进行计算，一个有效的解决办法是将图表示成矩阵形式，决办法是将图表示成矩阵形式，通常采用的矩阵是邻接矩阵、通常采用的矩阵是邻接矩阵、边长邻接矩阵、弧长矩阵和关边长邻接矩阵、弧长矩阵和关联矩阵。联矩阵。袖校茫俯然虎掂铭玲嫡颈避志接保卫谭今企童粤硬野柳滴搭瀑密瞬嘲诉沧运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh1邻接矩阵邻接矩阵邻接矩阵邻接矩阵A表示图表示图G的顶点之的顶点之间的邻接关系，它是一个间的邻接关系，它是一个nn的矩的
38、矩阵，如果两个顶点之间有边相联时，阵，如果两个顶点之间有边相联时，记为记为1，否则为，否则为0。柠货杰空筑剩火想悠吭赠潍毋睹险露患属乙茄痴易账斤阑患谎酥凡弟拢纹运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v2v2v3v3v4v4派汀肤樟畜吕巢督靠盅喊珠泉肃葵拨刑毖炭恃绝闷擦谩憋寒哺得曼咖犯竹运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v2v3v4v10111v21110v31101v41010无向图的邻接矩阵是对称矩阵。无向图的邻接矩阵是对称矩阵。无向图的邻接矩阵是对称矩阵。无向图的邻接矩阵是对称矩阵。v1v1v2v2v3v3v4v4衅炮递钎仕独苏坦柔烧迢滓洁辩肇吉棕沁畜夷勾蜜畴述涵卵绕饿
39、例煌丘揣运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v3v3v2v2也可以也可以也可以也可以对有向对有向对有向对有向图图图图单鲸驻骆押夹聊略碍渺奠米逻侯桥掀城盲霖斩输死齿盲腻滤揪湛脐瓤宪瞪运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v2v3v4v5v100011v210010v301100v401101v510010明溃尤辞父登窗念范简绽标卤棉鬃隶歉野固氮去含芬放魂嫡己寞榆其胀镭运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh二、边长邻接矩阵二、边长邻接矩阵在图的各边上一个数量指标，在图的各边上一个数量指标，具体表示这条边的权（距离，单价，具体表示这条边的权（距离，单价，通过能力等
40、）通过能力等）赋权图或网络。赋权图或网络。无向网络；有向网络；混合网络；无向网络；有向网络；混合网络；边权网络；点权网络；边权网络；点权网络；以边长代替邻接矩阵中的元素得到以边长代替邻接矩阵中的元素得到边长邻接矩阵。边长邻接矩阵。些羊剂卿炒后出腮知敬麦探豌嘿陨懂绒缉丝厨飞毛佰颤壁惋车带疽促昌休运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v2v2v3v3v4v42 25 56 64 43 34 4鲍喝妊馆笆哎口滑杉萍死逼拍贪肝业蕊出据疽惊修辅喷哈株姥肘柴拥熄烈运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v2v3v4v10256v2243 v35304v46 40其中其中 表示两点之间不能连接
41、表示两点之间不能连接。请琳拍锡预载呐匪腰源抹溪幽研委图始成数蛤过夷敲粪耸宽兜跋捉石鸥硅运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh3弧长矩阵弧长矩阵对有向图的弧可以用弧长对有向图的弧可以用弧长矩阵来表示。其中矩阵来表示。其中 表示两点表示两点之间没有之间没有弧弧连接连接。架斩肩向挺仔盖囊腐丫削凳蛔晾姬箭为雏龙诀尚搏雇回挟峙丽酌奈斟继漆运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v3v3v2v21 14 42 23 32 22 26 61 12 2威犀秸掣霄屎尧奉拣陌殆起粹满败缺峙抗睡焊层切逛盼猾镣张齐柳败喘汞运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v2v3v4v5v101
42、2v2 02 4v3 201 v4 3206v5 0枷继声诞呛辞溅扰尔述府拐胸谚帝恩律告捆崖坠余话撩价颅每职鸿师疵包运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh4关联矩阵关联矩阵关联矩阵关联矩阵B揭示了图揭示了图G的顶点和的顶点和边之间的关联关系，它是一个边之间的关联关系，它是一个nxm矩阵。矩阵。1（vi，vk）=ejBij=-1（vk，vi）=ej0其他其他幢征洋转醇曾褐恨堤裂耽怜氓幂离痕乎偏挂攀擅安溃俞谩暂韵歇完岭苛死运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v2v2v4v4v3v3e1e1e2e2e4e4e3e3e7e7e5e5e6e6苯事隘磊铡谊追吞奠灯屹岁乘臼冲奔酸但居世墙眺去次
43、秉韶芳率润恢宵拇运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhe1e2e3e4e5e6e7v11-110000v200-1-1-100v3010101-1v4-10001-11对无向图不存在对无向图不存在-1元素元素。第牢三扦晒燎憋勇纺绿缓霄扎豌扫蛆岭灭酿车戳档挛逸带圆茨腆严妻刽涝运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh10-2 10-2 最优树问题（或最小树）最优树问题（或最小树）树是一类极其简单而很有用的图。树是一类极其简单而很有用的图。定义（链）定义（链）如果图中的某些点、边可如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列，则称此以排列成点和边的交错序列，则称此为一条链。为一条链。肿淳窜弛淀兄
44、娱钉紧垃程撑糕南邯炮闲证针厩婴履卖蓬谭铬破聪娩橙蒂荆运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（链）定义（链）如果图中的某些点、边如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列，则可以排列成点和边的交错序列，则称此为一条链。称此为一条链。定义（圈）定义（圈）如一条链中起点和终点如一条链中起点和终点重合，则称此为一条圈。重合，则称此为一条圈。磅手痘堰十颧等探溃非掸皿尾五九歧抑缩笛堵哥库埃时误秃徽锄漓旋莫脊运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（连通图）定义（连通图）如果图中的任意如果图中的任意两点之间至少存在一条通路，则两点之间至少存在一条通路，则称图为连通图，否则为不连通图。称图为连通
45、图，否则为不连通图。捍吓鞋丛宁攻颁岳多息愚蹦刻频铁患松垂朝百颠局定描戌核欣第度傲启抑运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（连通图）定义（连通图）如果图中的任意如果图中的任意两点之间至少存在一条通路，则两点之间至少存在一条通路，则称图为连通图，否则为不连通图。称图为连通图，否则为不连通图。定义（树）定义（树）一个无圈的连通图称一个无圈的连通图称为树。如果一个无圈的图中每一为树。如果一个无圈的图中每一个分支都是树，则称图为森林。个分支都是树，则称图为森林。球氛挽遏翌钙岁义呢姿驶戮缅寐瘫血连疮血六田劳锯狠炸瞒搭冉荔场届丰运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定理定理定理定理3 3：设图设图
46、设图设图G=(V,E)G=(V,E)是一个树，顶点个数是一个树，顶点个数是一个树，顶点个数是一个树，顶点个数,则则则则GG中至少有两个悬挂中至少有两个悬挂中至少有两个悬挂中至少有两个悬挂点。点。点。点。证明：设证明：设证明：设证明：设是是是是GG中含边数最多的初等链。中含边数最多的初等链。中含边数最多的初等链。中含边数最多的初等链。往证往证往证往证是悬挂点。若是悬挂点。若是悬挂点。若是悬挂点。若，则存在边，则存在边，则存在边，则存在边因为因为因为因为GG为树，不含圈，故不在为树，不含圈，故不在为树，不含圈，故不在为树，不含圈，故不在P P上。上。上。上。是比是比是比是比P P更长的初等链。矛盾
47、。更长的初等链。矛盾。更长的初等链。矛盾。更长的初等链。矛盾。定理定理定理定理4 4：设图设图设图设图G=(V,E)G=(V,E)是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是GG不含圈，且恰有不含圈，且恰有不含圈，且恰有不含圈，且恰有条边。条边。条边。条边。证明：证明：证明：证明：必要性：必要性：必要性：必要性：用数学归纳法：用数学归纳法：用数学归纳法：用数学归纳法：时，显然成立。设对时，显然成立。设对时，显然成立。设对时，显然成立。设对时也成时也成时也成时也成立。设图立。设图立。设图立。设图GG含含含含n+1n+1个点，由定理个点，由定理个
48、点，由定理个点，由定理3 3，GG含悬挂点含悬挂点含悬挂点含悬挂点，考虑图，考虑图，考虑图，考虑图，有，有，有，有充分性：充分性：充分性：充分性：往证往证往证往证GG为连通图，若为连通图，若为连通图，若为连通图，若GG不为连通图，则有不为连通图，则有不为连通图，则有不为连通图，则有s s（s2s2）个连通分图）个连通分图）个连通分图）个连通分图。每一个都连通不含圈，即为树。每一个都连通不含圈，即为树。每一个都连通不含圈，即为树。每一个都连通不含圈，即为树。矛盾矛盾骋秦剐冈嘻休朔链离腋落绚痴妈福右菇燃栖惨疼确垄叙盘央眩履试冕碧界运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定理定理定理定理5 5：设图
49、设图设图设图G=(V,E)G=(V,E)是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是GG是连通图，且是连通图，且是连通图，且是连通图，且证明：证明：证明：证明：必要性：由定理必要性：由定理必要性：由定理必要性：由定理4 4即得。即得。即得。即得。充分性：充分性：充分性：充分性：往证往证往证往证GG不含圈。对点用数学归纳法：不含圈。对点用数学归纳法：不含圈。对点用数学归纳法：不含圈。对点用数学归纳法：时，显然成立。设对时，显然成立。设对时，显然成立。设对时，显然成立。设对时也成立。设图时也成立。设图时也成立。设图时也成立。设图GG含含含含n+1
50、n+1个点，个点，个点，个点，GG必含悬挂点。否则，必含悬挂点。否则，必含悬挂点。否则，必含悬挂点。否则， 设设设设是是是是GG的悬挂点，考虑的悬挂点，考虑的悬挂点，考虑的悬挂点，考虑仍为连通图，仍为连通图，仍为连通图，仍为连通图，由归纳假设知由归纳假设知由归纳假设知由归纳假设知不含圈，则不含圈，则不含圈，则不含圈，则GG必不含圈。必不含圈。必不含圈。必不含圈。定理定理定理定理6 6：设图设图设图设图G=(V,E)G=(V,E)是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是是一个树的充分必要条件是GG的任意顶点之间恰有一条链。的任意顶点之间恰有一条链。的任意顶点之间恰
51、有一条链。的任意顶点之间恰有一条链。矛盾矛盾步烂券砷塘棚促迁挖规藩顺逊娶蹬霉火矾仁鼓效参蜜骇智丈官曲却排跑衫运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh（1）G不含圈不含圈（2）G是连通图是连通图（3）（4）图）图G=(V,E)是一个树是一个树上述条件有两个成立，就推出其余条件成立。上述条件有两个成立，就推出其余条件成立。液乒郎媒筐摘贝潭衷变隶编憾牌责驯伶啥病梢蛰材释郧慕俐趋屿贵撞莹坑运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh树的性质：树的性质：1在图中任意两点之间必有一条而在图中任意两点之间必有一条而且只有一条通路。且只有一条通路。贴局寝哈什业惶附蛛历祟侣恍赤哆惫徐业眺动暮宪瞒姐糕块迈吁隆哗浦瑶运
52、筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh树的性质：树的性质：1在图中任意两点之间必有一条而在图中任意两点之间必有一条而且只有一条通路。且只有一条通路。2在图中划去一条边，则图不连通。在图中划去一条边，则图不连通。树是边最少的连通图树是边最少的连通图转种抒陨钉晤引蛛吗累跳鬃撵旺吧撒射梅外址筏惟碴辽约盼恐抓盗彬助厘运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh树的性质：树的性质：1在图中任意两点之间必有一条而在图中任意两点之间必有一条而且只有一条通路。且只有一条通路。2在图中划去一条边，则图不连通。在图中划去一条边，则图不连通。3在图中不相邻的两个顶点之间加在图中不相邻的两个顶点之间加一条边，可得一个且仅
53、得一个圈。一条边，可得一个且仅得一个圈。鲤樊娩查冶拎遏沛揪卞迎抹褪磁诗憾桑实燃粘归榷淳痈薪幂葬鸦僵捆冗磋运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh树的性质：树的性质：1在图中任意两点之间必有一条而在图中任意两点之间必有一条而且只有一条通路。且只有一条通路。2在图中划去一条边，则图不连通。在图中划去一条边，则图不连通。3在图中不相邻的两个顶点之间加在图中不相邻的两个顶点之间加一条边，可得一个且仅得一个圈。一条边，可得一个且仅得一个圈。4图中边数有图中边数有n=p-1（p为顶点数）为顶点数）哟碑缚掸筐毛募稚岂橇熔践放有域侵署荐烘蔽度骇锋韦谍溺抽逗营诸淋费运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qha a
54、b bc cf fe ed dh hg g例例10-6募姓勒仓宠窃壹漱渍纵啃津盗凶釉炳埂疏蔼变塌争粟逼俩拢沁稀蛀力屯嗽运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhb bf fe ed d拓拣撒罪藕兹婆堆记惦场恐高笑她执呵釜徊弦醋戮柿轮霄屠锦洛锋生带钢运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhb bf fd dg g茧樊阀腑哨搜浓则阜洪管衣滞哉祁帘觉绑督夸粟啼根釜谚万噬洁灶蜂哆琼运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhb bc ce ed d沸弟玻琐言耻辕耽喉屉痴涅评至脆脾滨配现表诧艾解丸瞬亮蛛蛙壮叉猜斜运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qha ab bc ch h拽牵扇糕硝谈牌求谴束沟卜遏妥募毋别
55、岛村春昼匹餐池炔叼腆骤奥益溯肺运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qha af fd dg g耽光嚎悟衬治省垛檄掷饿爱用圭遗蔷屁豫浩郊阑慰酝础矾照署蕉皑恤尝走运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定义（生成树）定义（生成树）如果图如果图T是是G的一的一个生成子图，而且个生成子图，而且T又是一棵树，又是一棵树，则称图则称图T为一棵生成树。对于分为一棵生成树。对于分离（不连通图）图，则称为生成离（不连通图）图，则称为生成森林。森林。一个子图与生成树的区别是：子一个子图与生成树的区别是：子图与原图相比少弧又少点，生成图与原图相比少弧又少点，生成树与原图相比少弧不少点。树与原图相比少弧不少点。市址渐
56、芽桓绝抵寥倡倾肚薛弛埃皇壮肇汽嫩户池玉标喂悲片尖抗树跺表拆运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定理定理图图G有生成树的充分必要条有生成树的充分必要条件为图是连通图。件为图是连通图。定义（最优树）定义（最优树）在赋权图在赋权图G中，一中，一棵生成树所有树枝上权的和，称为棵生成树所有树枝上权的和，称为生成树的权。具有最小权的生成树，生成树的权。具有最小权的生成树，称为最优树（或最小树）。称为最优树（或最小树）。求最小树的方法有求最小树的方法有破圈法破圈法和和避圈法避圈法。寒仔拔蕴醒茸狞奔溢赚荫愿讣回轮被钮求系拐躬茧踌外域液养智圭间防案运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4
57、v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636例例10-7破圈法破圈法破圈法破圈法：在给定连通图：在给定连通图：在给定连通图：在给定连通图GG中，任取一圈，去掉一条最大权边中，任取一圈，去掉一条最大权边中，任取一圈，去掉一条最大权边中，任取一圈，去掉一条最大权边（如果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉（如果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉（如果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉（如果有两条或两条以上的边都是权最大的边，则任意去掉其中一条边），在余图中（是图其中一条边），在余图中（
58、是图其中一条边），在余图中（是图其中一条边），在余图中（是图GG的支撑子图）任取一圈，的支撑子图）任取一圈，的支撑子图）任取一圈，的支撑子图）任取一圈，去掉一条最大权边，重复下去，直到余图中无圈为止，即可去掉一条最大权边，重复下去，直到余图中无圈为止，即可去掉一条最大权边，重复下去，直到余图中无圈为止，即可去掉一条最大权边，重复下去，直到余图中无圈为止，即可得到图得到图得到图得到图GG的最小树。的最小树。的最小树。的最小树。 限灾超疗相则多谷悍其粒慑梧北撬钙沪殴圃驭淘牺蕴沉雅娠梁洪氨腥澈辛运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v620201
59、5159 9161625253 3282817174 41 123233636乱签谍忆叫磅恨屑肉匠心闸需号拖质颓呐育格碰涅郝昧疽衅遮末侵荒吞纂运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 12323胖厄等累梦述摇褪忽按俗默由芯祟掸锗裤奋根床运遮钢佯错灵尔播走泉锗运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 12323矩撞趣很抬诚甩逗阜灭叹券氖僧市健憾陈桑蛛俏
60、茨诉弧意媚权证诸税揩撞运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v615159 9161625253 3282817174 41 12323桐故诸杀衡憾父民遁胡胞勘害快眷劳镊韶琉饱簿戴墟彦筋版癣逢胎孵溜型运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v615159 9161625253 3282817174 41 12323魂袒若谰嵌逾彝疽皋掠线晌婉优石鹊密嗓罢刺楞第次斩宿穗考塑捣盆埃适运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 925253
61、3282817174 41 12323揉返芽倪毗揣模靖赞恕骂汛政雨奥履测咨讳磕盯号钝传医崖睫诅妖吼冷杀运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 925253 3282817174 41 12323喷绊宾执嚎阉扑笨与凿弄鼻檀冉猎稚京讶燃雏桔尝弦鼓争周续墒腾愁惠武运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 93 3282817174 41 12323救惩溶妥铁决埃瘸址拘强壬僚烃父殊夷赡凌尉改择棋拎磅姚还单陷钡枣刻运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v
62、2v2v5v5v6v69 93 3282817174 41 12323秽曹慷蔚忙淮黎毅证准口镭官请逃课咨启隧婚递嵌左桑峡候艇侧和筷牲鸣运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v69 93 317174 41 12323总造价总造价=1+4+9+3+17+23=57薯跟俘碑蔚风辈瓤终捌阂枉旷纱列蛋递瓢锑央画匆泳骚姚楔蜘虱不萍撅谈运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636避圈法避圈法避圈法避圈法（krusk
63、alkruskal算法）：在连通图算法）：在连通图算法）：在连通图算法）：在连通图GG中，任取权值最小的一条边中，任取权值最小的一条边中，任取权值最小的一条边中，任取权值最小的一条边（若有两条或两条以权数相同且最小，则任取一条），在未选边（若有两条或两条以权数相同且最小，则任取一条），在未选边（若有两条或两条以权数相同且最小，则任取一条），在未选边（若有两条或两条以权数相同且最小，则任取一条），在未选边中选一条权值权值最小的边，要求所选边与已选边不构成圈，重中选一条权值权值最小的边，要求所选边与已选边不构成圈，重中选一条权值权值最小的边，要求所选边与已选边不构成圈，重中选一条权值权值最小的边，
64、要求所选边与已选边不构成圈，重复下去，直到不存在与已选边不构成圈的边为止。已选边与顶点复下去，直到不存在与已选边不构成圈的边为止。已选边与顶点复下去，直到不存在与已选边不构成圈的边为止。已选边与顶点复下去，直到不存在与已选边不构成圈的边为止。已选边与顶点构成的图构成的图构成的图构成的图T T就是所求最小树。就是所求最小树。就是所求最小树。就是所求最小树。 尝饶仁然痰串来抱赫矫甩甫浊成丛了莉馏毯寥乱炬忠舔合彪昧脾性啦奖侗运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233
65、636相陀委君戴园掏乘潭汾妮枝忌舶夜郴颈旨胁椽郸酥疗祭满芦子虱踢估吵答运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636眼杏撵捎胆滤峙洒存迢消浑念钱珠谤诊晚情修践昨车犊本噶玫搀舰扁感敲运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636惨沫熟铰鸳邱茁碳晒齿凄裸橡米同领聚艺摔史嘴寥瘸喳肩丙励信岔卷肩入运筹学图与网络1qh运筹学图与网络
66、1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636呻寐漠勤邱抒工匙昭糊餐咳型皿损苑管巷淘帘妒菊憨担剃异密桶咖钮输早运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253 3282817174 41 123233636丈泌汗移博衍达跺教饿脂呜咱淋捌纳内绅纫翁酝团些舱皂滩脾享属誊蟹窟运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v7v7v4v4v3v3v2v2v5v5v6v6202015159 9161625253
67、3282817174 41 123233636总造价总造价=1+4+9+3+17+23=57破聪附挫酸跋棵享企坛死倚杨朵挟蛇厂衅滓聚琐尿凹谰歹铲懦址炮逝登籽运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh3最短路问题最短路问题(19591959年年年年DijkstraDijkstra给出最短路算法给出最短路算法给出最短路算法给出最短路算法) )最短路问题是网络分析中的一个基本问题，它不仅可以直接应用最短路问题是网络分析中的一个基本问题，它不仅可以直接应用于于解决生产实际的许多问题，若管道铺设、线路安排、厂区布局于于解决生产实际的许多问题，若管道铺设、线路安排、厂区布局等，而且经常被作为一个基本工具，用
68、于解决其它的优化问题等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它的优化问题.定义给定一个赋权有向图D=(V,A)，记D中每一条弧上的权为为。给定D中一个起点和终点，设P是D中从到的一条路.则定义路P的权是P中所有弧的权之和.记为，即又若P*是D图中到的一条路，且满足则称P*为从到的最短路。尹忧衅坦纳坝重仆媚颐永嵌衬六外节池炮水齐锭券访隋垮竞运挥枯忌株捻运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh下面介绍在一个赋权有向图中寻求最短路的方法，这种方法实际上求出了从给定到任一个顶点的最短路.如下事实是经常要利用的，即如果P是D中从到的最短路，是P中的一点，那么从沿P到路也是从到的最短路.事实上，如果这个
69、结论不成立，设Q是从到的最短路，令P是从沿Q到达，再从沿P到达的路，那么P的权就比P的权小，这与P是从到的最短路矛盾.PPQP撑旅铲狭效胳淌卞蒜脾涧僳肌工熏心旗察跃噬眨埋刮续茸秃感茫田播嚏拟运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例例1：求图：求图A到到B的最短路的最短路ABCDEFG1353584612450峪盼哗搬火名窝剧比拣企氏来诬丢漂跑反瓶魂反侣划儡香胎施印护波矫牟运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhBCDEFG135358461245013焕连蒋枫涤柿澜腹鞋烟垦蒙捅昭沟另撕产碳架宁原猎赛秧淮钮翔摇刊膏脉运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhBCDEFG1353584612450
70、1364仇虱购蒲谐智橇俺躯松辗惠镁炽辕李泞弊油驼鸿坷撑堆妆枪祝逐啤慎否冗运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhBCDEFG135358461245013645檄幼蝗华腑繁寅篇蹲体钳严背棒杨科朵披淖缸油瘪央棕略呜扼耻荒弄榔黄运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhBCDEFG1353584612450136459最短路为最短路为ACGFB完碍镭侵粳勋待矢概粱碴够肾尸鲍断份处向格詹梗饼木图樱筑禁佩孟仗鸥运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv7v6v4v3G7182433147202v1v2v5例例2：求图：求图到到的最短路的最短路v1v7掷蕴邑吕蹲津贫罐苛梨府懦籍纽惧瘴庶层拨镰颜涯侍谰灭匙察
71、鳖袖靛睬炙运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv7v6v4v3G7182433147202v1v2v514蜀缸队抢怨赃化篷偷蒲攘鲤辗恿凿踩瞧添诡碟鸿熟用呸芳嘴阉丫撩慎啥敛运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv7v6v4v3G7182433147202v1v2v5514肺臭铃洒操厚粟种谭囤投乾乔掘抖迹轿惹卉杆帅戏耕娠括概差蔓扎激剧宛运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv7v6v4v3G7182433147202v1v2v55414坏懦仔花变者吕遮斡俩傍中稗睦急厨鉴贮潦洋鞋玖与闹便喉晦新孩独冰务运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv7v6v4v3G7182433147202v1v2
72、v557414叁窖窥房讨货欺榷儿稼曰蛇促糖盒羊狙挑慢法霹村诀宪历珐莎樟距狸归渤运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv7v6v4v3G7182433147202v1v2v5574914v1到v7的最短路径是：v1v3v4v7，（5分）分）最短距离为最短距离为1+4+2=7。躺纽藻伟投滁饿汲歇翱艰勾颇抨乔诣喻傍挎袜盯狡颤诽敬汁捂欲防靡羹橇运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv7v6v4v3G7182433147202v1v2v5574914v1到v7的最短路径是：v1v3v4v7，（5分）分）最短距离为最短距离为1+4+2=7。靠撤阅效玖稻里蒂阀滥铃爱堡庭捍卤痢版御讫旷吻侵泼敷江浅赞践格砷
73、邪运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例：例：某交通网络如下图，求某交通网络如下图，求v1 1到到v8 8的最的最短路线短路线解：解：v1v2v4v5v6v7v86312216104310446练习：求最短路练习：求最短路泛操屏恬辐悦毯维姻吗臼娠堂疲汞棍腑哮厉决砌粮佣要棍峰重鸿啥哟相趣运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v2v4v5v6v7v86312216104310446v1V2(v(v3 3,5),5)V3(v(v1 1,3),3)V4(v(v1 1,1),1)V5(v(v2 2,6),6)V6(v(v5 5,10),10)6312216104 104364V2(v1,6）v
74、7(v(v5 5,9),9) v8 (v(v5 5,12),12)癸忽慷忻杯辰蕊款肪婪驹顶迹揣很筒蔫绕滚排文龚啦礼粮遗己尖食敲磋雌运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例设备更新问题设备更新问题某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定：继续使用，购某工厂使用一台设备，每年年初工厂要作出决定：继续使用，购买新的？如果继续使用旧的，要负维修费；若要购买一套新的，要买新的？如果继续使用旧的，要负维修费；若要购买一套新的，要负购买费。试确定一个负购买费。试确定一个5年计划，使总支出最小。年计划，使总支出最小。若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与维修费若已知设备在各年的购买费，及不同机
75、器役龄时的残值与维修费，如表，如表1所示所示表表1项目第1年第2年第3年第4年第5年购买费1111121213机器役龄0-11-22-33-44-5维修费5681118残值43210解：解：把把这个个问题化化为最短路最短路问题。 设设bi 表示设备在第表示设备在第i 年年初的购买费年年初的购买费, ,ci 表示设备使用表示设备使用i 年后的维修费年后的维修费, , V= v1,v2,v6,点点vi表示第表示第i 年年初购进一台新设备年年初购进一台新设备, ,虚设一个点虚设一个点v6表示第表示第5 5年年底年年底. . E = vivj|1ij6. 吏叙过呛韦摸花森歉取卫叶瘤亭及骸厚擞恐商守燃侠
76、控扑误但骚爸揽赫众运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh 若每年购置一台新设备，则购置费为：若每年购置一台新设备，则购置费为：11+11+12+12+13=5911+11+12+12+13=59，每年的维修费为，每年的维修费为5 5元，元，共共59+5*5=84.59+5*5=84.若在若在1，2，3年购置一台新设备，则购置费为：年购置一台新设备，则购置费为：11+12+13=36，每年的维修费为（，每年的维修费为（5+6）+（5+6）+5=27，共，共36+27=63.设备使用一年后就更新则不划算。设备使用一年后就更新则不划算。由表由表1知，设备使用三年后应当更新。知，设备使用三年后应当更
77、新。城纬殷虞蔬哺怎啥助壹用抿弹乎萄评蕾跋息咏企屹终至解韵仍隋挣层三债运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh 这样上述设备更新问题就变为：在有向赋权图这样上述设备更新问题就变为：在有向赋权图G =(V,E,F )(图解如下图解如下) )中求中求v1到到v6的最短路问题的最短路问题.挝退扩危券讲套莲漠买科爷冠捻督釜伞沤鳃吠嚏糊问绞到鞋敞嘎戎鸽蛆揖运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh 由实际问题可知由实际问题可知, ,设备使用三年后应当更新设备使用三年后应当更新, ,因此删除该图中因此删除该图中v1到到v5, ,v1到到v6, ,v2到到v6的连线；又的连线；又设备使用一年后就更新则不划算设备
78、使用一年后就更新则不划算, ,因此再删除该因此再删除该图中图中v1v2, ,v2v3, ,v3v4, ,v4v5, ,v5v6五条连线后得到五条连线后得到从上图中容易得到从上图中容易得到v1到到v6只有两条路：只有两条路：v1v3v6（费用（费用22+3122+31）和和v1v4v6 （费用（费用22+31）. .而这两条路都是而这两条路都是v1到到v6的最短路的最短路. .指陪杯恼铸遁掉筷骇蜀猫罢媳摔推予愈把榆俊懈东灾告肥难骸序哈泽撂颜运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh3网络最大流问题网络最大流问题 引例：如下输水网络，南水北调工程，从引例：如下输水网络，南水北调工程，从引例：如下输水
79、网络，南水北调工程，从引例：如下输水网络，南水北调工程，从vsvs到到到到vtvt送水，送水，送水，送水，弧旁数字前者为管道容量，后者为现行流量，如何调弧旁数字前者为管道容量，后者为现行流量，如何调弧旁数字前者为管道容量，后者为现行流量，如何调弧旁数字前者为管道容量，后者为现行流量，如何调整使输水最多？整使输水最多？整使输水最多？整使输水最多？vsvtv2v1v4v3(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(1,1)(2,2)(3,0)(2,1)(5,3)容量：每个弧上的最大通过能力，用容量：每个弧上的最大通过能力，用容量：每个弧上的最大通过能力，用容量：每个弧上的最大通过能力，用c cij
80、ij表示，即弧上的第一个数字；表示，即弧上的第一个数字；表示，即弧上的第一个数字；表示，即弧上的第一个数字；流量：弧上实际通过的流量，用流量：弧上实际通过的流量，用流量：弧上实际通过的流量，用流量：弧上实际通过的流量，用x xij ij表示，弧上的第二个数字；显然表示，弧上的第二个数字；显然表示，弧上的第二个数字；显然表示，弧上的第二个数字；显然0=x0=xij ij=c=cij ij，如，如，如，如果果果果x xij ij=c=cij ij则称为饱和弧；则称为饱和弧；则称为饱和弧；则称为饱和弧；她蹲蔑贴旁惶酌胀奶锌盅遮窑槐隘刁蝗砌不绕阜啡豁畏蝗叹壹脖闭淌庞耘运筹学图与网络1qh运筹学图与网络
81、1qh最大流问题的相关概念网络：给定了弧的容量网络：给定了弧的容量网络：给定了弧的容量网络：给定了弧的容量C C（v vi i,v,vj j）的有向图）的有向图）的有向图）的有向图D=D=（V V，A A，C C）叫做一个）叫做一个）叫做一个）叫做一个网络网络网络网络。fij ij记为流量，记为流量，记为流量，记为流量， cij ij记为容量。记为容量。记为容量。记为容量。可行流：可行流：可行流：可行流：（1 1） （2 2）各点流入量）各点流入量）各点流入量）各点流入量= =流出量，且流出量，且流出量，且流出量，且v vs s的流的流的流的流出量出量出量出量=v=vt t的流入量，这样的流称
82、之为的流入量，这样的流称之为的流入量，这样的流称之为的流入量，这样的流称之为可行流可行流可行流可行流截集：分离始点截集：分离始点截集：分离始点截集：分离始点v vs s和终点和终点和终点和终点v vt t的弧的集合，叫做的弧的集合，叫做的弧的集合，叫做的弧的集合，叫做截集截集截集截集截量：截集的容量叫做截量：截集的容量叫做截量：截集的容量叫做截量：截集的容量叫做截量截量截量截量廊蹲绚赖亚村揭激亥淤马啊侥倚票疫茧绑什婪拔锰读蜒贯肺煽召蜡故鄂蔬运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh 的弧称为饱和弧；的弧称为饱和弧；的弧称为饱和弧；的弧称为饱和弧； 的弧称为非饱和的弧称为非饱和的弧称为非饱和的弧称
83、为非饱和弧。弧。弧。弧。 的弧称为零流弧；的弧称为零流弧；的弧称为零流弧；的弧称为零流弧； 的弧称的弧称的弧称的弧称为非零流弧。为非零流弧。为非零流弧。为非零流弧。若若若若 是网络中从发点到收点的链，链上的弧分为两类：是网络中从发点到收点的链，链上的弧分为两类：是网络中从发点到收点的链，链上的弧分为两类：是网络中从发点到收点的链，链上的弧分为两类：一类与链的方向一致，叫做一类与链的方向一致，叫做一类与链的方向一致，叫做一类与链的方向一致，叫做前向弧，前向弧，前向弧，前向弧，记为记为记为记为 ；另一类；另一类；另一类；另一类与链的方向相反，叫做与链的方向相反，叫做与链的方向相反，叫做与链的方向相
84、反，叫做后向弧，后向弧，后向弧，后向弧，记为记为记为记为。增广链：增广链：增广链：增广链： 是可行流，是可行流，是可行流，是可行流， 是一条从发点到收点的链，是一条从发点到收点的链，是一条从发点到收点的链，是一条从发点到收点的链，若在前向弧上，若在前向弧上，若在前向弧上，若在前向弧上， ，即在，即在，即在，即在 中每一弧是非饱和弧；中每一弧是非饱和弧；中每一弧是非饱和弧；中每一弧是非饱和弧；在后向弧上，在后向弧上，在后向弧上，在后向弧上， ，即在，即在，即在，即在 中每一弧是非零流，则称中每一弧是非零流，则称中每一弧是非零流，则称中每一弧是非零流，则称此链为此链为此链为此链为增广链。增广链。增
85、广链。增广链。扑烙氖卡赊屈接选帕后懊炳移孪贮铂秧糟战办哗引望后级灶砷什燎诗尊颠运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhvsvtv2v1v4v3(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(1,1)(2,2)(3,0)(2,1)(5,3)增广链增广链增广链增广链：是可行流，是可行流，是可行流，是可行流，是一条从发点到收点的链，是一条从发点到收点的链，是一条从发点到收点的链，是一条从发点到收点的链，若在前向弧上，若在前向弧上，若在前向弧上，若在前向弧上，即在，即在，即在，即在中每一中每一中每一中每一弧是非饱和弧；弧是非饱和弧；弧是非饱和弧；弧是非饱和弧；在后向弧上在后向弧上在后向弧上在后向弧上，即在，
86、即在，即在，即在中每一弧是非零流，则称此链为中每一弧是非零流，则称此链为中每一弧是非零流，则称此链为中每一弧是非零流，则称此链为增广链。增广链。增广链。增广链。翠丫赢柳苍汀捏宰各脾铅恬占契直讨浙梅誊麓糊璃朽弗姿尼瘤钮坐控埔遵运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh11标号标号标号标号 方法很简单：首先找到一条增广链，沿此进行最大可能调整，方法很简单：首先找到一条增广链，沿此进行最大可能调整，方法很简单：首先找到一条增广链，沿此进行最大可能调整，方法很简单：首先找到一条增广链，沿此进行最大可能调整，再找增广链，再调整，直到没有增广链。再找增广链，再调整，直到没有增广链。再找增广链，再调整，直到没
87、有增广链。再找增广链，再调整，直到没有增广链。 寻找增广链的标号法：先给寻找增广链的标号法：先给寻找增广链的标号法：先给寻找增广链的标号法：先给vs s标号（标号（标号（标号（0 0，+ + ）, ,而后依次审查各而后依次审查各而后依次审查各而后依次审查各条弧（条弧（条弧（条弧（v vi i,v ,vj j）：）：）：）：对前向弧对前向弧对前向弧对前向弧，饱和否？不饱和（使其增加），给，饱和否？不饱和（使其增加），给，饱和否？不饱和（使其增加），给，饱和否？不饱和（使其增加），给v vj j点标号（点标号（点标号（点标号（v vi i，l(vl(vj j);); 对后向弧，是否非零流弧（使其减
88、少）？是，给对后向弧，是否非零流弧（使其减少）？是，给对后向弧，是否非零流弧（使其减少）？是，给对后向弧，是否非零流弧（使其减少）？是，给v vj j标号（标号（标号（标号（-vi,-vi,l(vl(vj j) )）,直到给直到给直到给直到给v vt t标上号，就得到标上号，就得到标上号，就得到标上号，就得到了增广链。了增广链。了增广链。了增广链。2 2调整调整调整调整对于增广链对于增广链对于增广链对于增广链 ，求最大流的方法求最大流的方法翘狄拳捕教泅磨乎抵峰哺忙跺灰婶衅植阑戌翰多帽风逝堕着唐抢蜘觉矣翘运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh2 2调整调整调整调整令：令：令：令：得到新的可行流
89、，得到新的可行流，得到新的可行流，得到新的可行流，重新标号，直至标不下去为，重新标号，直至标不下去为，重新标号，直至标不下去为，重新标号，直至标不下去为止。止。止。止。驯岔窟抑铝挖赊补骋酝盛丹端瑰跪涉耙管绕士萨龚而懒窄磨上诡保声拉甲运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例：解水网最大流问题例：解水网最大流问题vsV2(0, +)V1(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(1,1)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)V4V3Vt(vs,4)(-v1,1)(-v2,1)(v2,1)(v3,1)1标号对前向弧对前向弧对前向弧对前向弧，饱和否？不饱和（使其增加），给，饱和否？不饱和（使其增加）
90、，给，饱和否？不饱和（使其增加），给，饱和否？不饱和（使其增加），给vjvj点标号（点标号（点标号（点标号（vivi，l(vj);l(vj);对后向弧对后向弧对后向弧对后向弧，是否非零流弧（使其减少）？是，给，是否非零流弧（使其减少）？是，给，是否非零流弧（使其减少）？是，给，是否非零流弧（使其减少）？是，给vjvj标号（标号（标号（标号（-vi,l(vj)-vi,l(vj)）,直到给直到给直到给直到给vtvt标上号，就得到了增广链。标上号，就得到了增广链。标上号，就得到了增广链。标上号，就得到了增广链。临恢梳钞佰如瞒戏刃墙贮粮眺刑摈泅茁曳猫斟危霖帕臆多绵烽奶顶诣亿椽运筹学图与网络1qh运筹学
91、图与网络1qhvsV2(0, +)V1(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(1,0)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)V4V3Vt(vs,3)2沿增广链进行调整，前向弧增加1，后向弧减少l。四串虽渔坠梢困异举晾心等赖悍敏耸裕竟爵皇寞纽沏皖浮实荣郊广屯罗憨运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhvsV2(0, +)V1(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(1,0)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)V4V3Vt(vs,3)坤宅胃闷羊阔惠贾喧纹氓蚌匡椭宴为轮旧迷捉汗桥脂垛欣哆脊堵阿网镊屁运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhvsV2V1V3V4Vt(3,3)(5,2)(4,3)
92、(1,0)(1,0)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)(0,+)(vs,3)重新标号，直至标不下去为止。最小截集为重新标号，直至标不下去为止。最小截集为重新标号，直至标不下去为止。最小截集为重新标号，直至标不下去为止。最小截集为 （v vs， v2），（），（），（），（v v1 1 ，v v3 3),),容量为容量为容量为容量为5 5。最大流也为。最大流也为。最大流也为。最大流也为5 5。獭全寥舌易益膝叶滨犀咀葱黄秦武晕容警郊匝蔑伐上饼度匝匠巩萤校啸寨运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例例1：求从发点：求从发点V1到收点到收点V7的最大流。弧的流量放在括的最大流。弧的流量放在括号
93、内。如图号内。如图.V=20v1v2v34v5v6v78(6)6(6)3(3)14(10)3(0)8(7)3(1)4(1)10(3)7(7)6(6)4(3)淳输货澈质刀萝展胜蜗签喜馈劳效新诵惠滤丽后腆跌阅参何胆茫盘己泌迈运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例例2：求图的最大流和最小割：求图的最大流和最小割,图中标号为图中标号为(vsV2V1V3V4Vt(2,0)(8,8)(7,5)(9,9)(9,4)(5,5)(10,8)(5,4)(6,1)遣饶藤镣肌修穴雁蒙巴雇呀帅边俄醉铀媚趁篡浅再相庐遥阿呻要骄塑崎枷运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh6、中国邮递员问题证明证明：定理定理定理定理1
94、 1 1 1 对连通图对连通图对连通图对连通图G G G G（V V V V，E E E E），下列条件是相互等价的：），下列条件是相互等价的：），下列条件是相互等价的：），下列条件是相互等价的： （1 1 1 1）G G G G是一个欧拉图；是一个欧拉图；是一个欧拉图；是一个欧拉图； （2 2 2 2）G G G G的每一个节点的度数都是偶数；的每一个节点的度数都是偶数；的每一个节点的度数都是偶数；的每一个节点的度数都是偶数； （3 3 3 3）G G G G的边集合的边集合的边集合的边集合E E E E可以分解为若干个回路的并可以分解为若干个回路的并可以分解为若干个回路的并可以分解为若干个
95、回路的并证明证明证明证明 (1)(1)(1)(1) （2 2 2 2） 已知已知已知已知G G G G为欧拉图，则必存在一个欧拉回路回路中的节点都是偶为欧拉图，则必存在一个欧拉回路回路中的节点都是偶为欧拉图，则必存在一个欧拉回路回路中的节点都是偶为欧拉图，则必存在一个欧拉回路回路中的节点都是偶度数度数度数度数 （2 2 2 2） （3 3 3 3）设）设）设）设G G G G中每一个节点的度数均为偶数若能找到一个回路中每一个节点的度数均为偶数若能找到一个回路中每一个节点的度数均为偶数若能找到一个回路中每一个节点的度数均为偶数若能找到一个回路C1C1C1C1使使使使G=C1G=C1G=C1G=C
96、1，则结论成立否则，令，则结论成立否则，令，则结论成立否则，令，则结论成立否则，令G1=GC1G1=GC1G1=GC1G1=GC1，由，由，由，由C1C1C1C1上每个节点的度数均为偶数，则上每个节点的度数均为偶数，则上每个节点的度数均为偶数，则上每个节点的度数均为偶数，则G1G1G1G1中的中的中的中的每个节点的度数亦均为偶数于是在每个节点的度数亦均为偶数于是在每个节点的度数亦均为偶数于是在每个节点的度数亦均为偶数于是在G1G1G1G1必存在另一个回路必存在另一个回路必存在另一个回路必存在另一个回路C2C2C2C2令令令令G2=G1C2G2=G1C2G2=G1C2G2=G1C2，由于由于由于
97、由于G G G G为有限图，上述过程经过有限步，最后必得一个回路为有限图，上述过程经过有限步，最后必得一个回路为有限图，上述过程经过有限步，最后必得一个回路为有限图，上述过程经过有限步，最后必得一个回路CrCrCrCr使使使使 Gr=Gr- Gr=Gr- Gr=Gr- Gr=Gr-1Cr1Cr1Cr1Cr上各节点的度数均为零，即上各节点的度数均为零，即上各节点的度数均为零，即上各节点的度数均为零，即Cr=Gr-1Cr=Gr-1Cr=Gr-1Cr=Gr-1这样就得到的一个分解这样就得到的一个分解这样就得到的一个分解这样就得到的一个分解 （3 3） （4 4）设设设设 其中其中其中其中 （i=1,
98、2,ri=1,2,ri=1,2,ri=1,2,r）均为回路由于）均为回路由于）均为回路由于）均为回路由于G G G G为连为连为连为连通图，对任意回路通图，对任意回路通图，对任意回路通图，对任意回路, , , ,必存在另一个回路与之相连，即存在共同的节点现在我们必存在另一个回路与之相连，即存在共同的节点现在我们必存在另一个回路与之相连，即存在共同的节点现在我们必存在另一个回路与之相连，即存在共同的节点现在我们从图从图从图从图G G G G的任意节点出发，沿着所在的回路走，每走到一个共同的节点处，就转向的任意节点出发，沿着所在的回路走，每走到一个共同的节点处，就转向的任意节点出发，沿着所在的回路
99、走，每走到一个共同的节点处，就转向的任意节点出发，沿着所在的回路走，每走到一个共同的节点处，就转向另一个回路，另一个回路，另一个回路，另一个回路，这样一直走下去就可走遍，这样一直走下去就可走遍，这样一直走下去就可走遍，这样一直走下去就可走遍G G G G的每条边且只走过一次的每条边且只走过一次的每条边且只走过一次的每条边且只走过一次, , , ,最后回最后回最后回最后回到原出发节点，即到原出发节点，即到原出发节点，即到原出发节点，即G G G G为一个欧拉图为一个欧拉图为一个欧拉图为一个欧拉图 设设G G（V V，E E）为一个图，若存在一条回路，使它经过图中每条边且只经过）为一个图，若存在一
100、条回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点，就称这种回路为欧拉回路，并称图一次又回到起始点，就称这种回路为欧拉回路，并称图G G为欧图为欧图崭琅振点竖喷遮苦挞始龄匪恒毁胁窃杜糕戌并常妥园纪姻颅掸镜颤刀圃油运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh利用定理利用定理1 1去判断一个连通图是否为欧拉图比较容易，但要找出欧拉回路，当去判断一个连通图是否为欧拉图比较容易，但要找出欧拉回路，当连通图比较复杂时就不太容易了下面介绍一种求欧拉回路的算法连通图比较复杂时就不太容易了下面介绍一种求欧拉回路的算法弗罗莱算法弗罗莱算法 算法步骤如下：算法步骤如下： （1 1）任取起始点）任取起始点（2 2）设路
101、）设路已选出，则从已选出，则从EE中选出边中选出边，使，使与与相连，除非没有其它选择，相连，除非没有其它选择，仍应为连通的仍应为连通的（3 3）重复步骤（）重复步骤（2 2），直至不能进行下去为止），直至不能进行下去为止峻钦泪寅州盖字弄宽王趟括饼深娠劣垂铬歧膊毖肺淫固粒谚玄西茄娜饱浆运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh定理定理2 2 连通的有向图存在欧拉回路的充分必要条件是对任意节连通的有向图存在欧拉回路的充分必要条件是对任意节点，进入该节点边数（进数）与离开该点的边数（出数）相等点，进入该节点边数（进数）与离开该点的边数（出数）相等中国邮递员问题中国邮递员问题 一名邮递员带着要分发的邮件
102、从邮局出发，经过要分发的每个一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局如果他必须至少一次走过他管辖范街道，送完邮件后又返回邮局如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教程这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在授）在19621962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题 用图论的述语，在一个连通的赋权图用图论的述语，在一个连通
103、的赋权图G G（V V，E E）中，要寻找一）中，要寻找一条回路，使该回路包含条回路，使该回路包含G G中的每条边至少一次，且该回路的权数最中的每条边至少一次，且该回路的权数最小也就是说要从包含小也就是说要从包含G G的每条边的回路中找一条权数最小的回路的每条边的回路中找一条权数最小的回路如果如果G G是欧拉图，则很容易由弗罗莱算法求出一个欧拉回路，但是欧拉图，则很容易由弗罗莱算法求出一个欧拉回路，但是若是若G G不是欧拉图，即存在奇度数的节点，则中国由递员问题的解不是欧拉图，即存在奇度数的节点，则中国由递员问题的解决要困难得多本节的主要目标是给出在有奇度数节点的连通图中决要困难得多本节的主要
104、目标是给出在有奇度数节点的连通图中寻找最小权数的回路的方法寻找最小权数的回路的方法 高讳枯泡陀掖瑚俯捅蕾搬态募鸡罐叠乏怀室碴貌盎涤蔬簧蓑射囱瞻釜酵扩运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例：例：已知邮递员要投递的街道如图已知邮递员要投递的街道如图11-2011-20所示，试求最优邮路。所示，试求最优邮路。解解 先找出奇节点：先找出奇节点：A A1 1，A A2 2，A A3 3，A A4 4，B B1 1，B B2 2，B B3 3，B B4 4奇节点进奇节点进行配对，不妨把行配对，不妨把A A1 1与与B B1 1，A A2 2与与B B2 2，A A3 3与与B B3 3，A A4 4与
105、与B B4 4配对配对，求其最短路，求其最短路显然它不是最优解下面我们根据定理显然它不是最优解下面我们根据定理3 3来进行调解来进行调解12框贝散恋蹿搭适作赊坞趾咎臻何禁垄西庸乃被资危燃研抖锣疼船恼候晰赢运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh第一次调整：删去多于一条的重复边，即第一次调整：删去多于一条的重复边，即A3A3与与B3B3，A4A4与与B4B4中的（中的（A4A4，B3B3）调整后，实际上成为）调整后，实际上成为A1A1与与B1B1，A2A2与与B2B2，A3A3与与A4A4，B3B3与与B4B4的的配对，它们的最短路如图配对，它们的最短路如图11-2111-21所示所示图图11-
106、2112丢茬棋虏韧闲目肄早吉年划需旺钒磨芹已躬帐匣哺雄炔藤闸呻赡絮侦淄咨运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh第二次调整：发现在回路第二次调整：发现在回路AA1 1，A A2 2，B B2 2，A A4 4，B B3 3，B B4 4，B B1 1，A A1 1 中重复中重复边的权数和为边的权数和为1111，大于该回路权数，大于该回路权数2020的一半因而调整时，把该回的一半因而调整时，把该回路的重复边删去，代之以重复其余部分，得图路的重复边删去，代之以重复其余部分，得图11-2211-22可以看出，可以看出，实际上是调整为实际上是调整为A A1 1与与A A2 2，B B1 1与与B B4
107、 4，A A3 3与与A A4 4，B B2 2与与B B3 3配对配对图图11-2112砷霹窘洗锐广况餐搐烤芯岗案础淡垒理姑葵伴甩壹殃哨鲤端腐晨气元逢参运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh图图11-22图图11-23昼贼吕李向嫉胎讲嫡官剐离姿汤动禄毁户随湍番搁氯疏氰嗜号顾江渣权兽运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhP281/2P281/2从从v8v8出发，因出发，因d(v8)=6,d(v8)=6,故可设故可设v vi1i1, , vi2,vi3，vi4,vi5,vi6与与v8相连，而相连，而V4,v5,v6,v7中必有一点与中必有一点与v8相连，否则与相连，否则与d(v8)=6矛盾。
108、令矛盾。令vi1=v4,则则vi1必与必与vi2,vi3.vi4,vi5,vi6中某点相连，否则中某点相连，否则,d(vi1)3，与，与d(v4)=5矛盾。矛盾。v8vi6vi5vi4vi3Vi1=v4vi2便惟灿斡乞砒棚堂脖悸厉檀雅彩覆爷绽祁情期喳纯关岳嘉题荤双滓灌驴寄运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh6、中国邮递员问题在奇点间加边，构造初始可行方案。寻找改进可行方案：在两奇点间检查所有链，若某链的长度小于已加重复边的长度，则在该链的每边加上重复边，去掉原重复边。重复以上步骤，直到任意两奇点间加重复边的链是最短的为止。谤纹忍全寂樱品摹若鞋悬斧敲遍宋察忧丘驭牌吏谈语弄朽班植圣剔蟹琉李运筹
109、学图与网络1qh运筹学图与网络1qh求解中国邮递员问题：例子僵动蔬痴角眺蝴哥样症履厌鸵倒菇终麦造四镰撬皆络翔力肯忧钧雇喇蓬讥运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例子的初始可行解涟屡睬蔡娘立苯庚兔驯酝甩批拼旨晴祷唇黄蹋佐驻拙赠荷堪篆迭闷要因拇运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh例子的修正解灌予扶肆熟符幂吵臂找陨锡淡絮刨冬陵薪涟土庭牟直灭歼撤札柬挣颧畴惜运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh四、奇偶点作业法的改进方法奇偶点作业法的瓶颈是需检查太多的链可以首先求出任意一对奇点之间的最短路，从中选出总路长最小的组合方案。也可以由奇点构成偶图，求最小匹配得到最优解。骚陪殃万亿橡照丙墅求砒肥漫驹
110、裴国菏企砷耙源揪柑用疫拉各陪营桂莱疾运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh一个四奇点的例子撅俏隘剪枝志启埂础鼠韩屠责耙陌翠颖帜移惧揭懂侄叠叶推攀愿彻前惦倦运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh第九章第九章网络计划网络计划9.1基本概念基本概念杜邦公司杜邦公司关键路线法关键路线法CPM确定型确定型美国海军武器局美国海军武器局计划评审技术计划评审技术PERT网络图（有向赋权图）的构成网络图（有向赋权图）的构成结点，也称事项，一道工序的开始或结束结点，也称事项，一道工序的开始或结束工序（弧），相对独立的活动，消耗资源工序（弧），相对独立的活动，消耗资源虚工序，只表示衔接关系，不消耗资源虚工序，只
111、表示衔接关系，不消耗资源工序时间（权），完成工序的时间消耗工序时间（权），完成工序的时间消耗杀湛牲撑件婆尉移蝉抉匀苏千煎棵杰并泞辛筒素充汛妻果漾舵诺媚妥事苞运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh9.2.网络规则1 1、避免循环、不留缺口、避免循环、不留缺口、避免循环、不留缺口、避免循环、不留缺口2 2、一一对应：一道工序用两个事项表示、一一对应：一道工序用两个事项表示、一一对应：一道工序用两个事项表示、一一对应：一道工序用两个事项表示3 3、从左向右依次展开、从左向右依次展开、从左向右依次展开、从左向右依次展开例：例：例：例：工序ABCDEFGHI紧前工序-ABBC、DC、D E、FG工序时
112、间466759748A,4B,6D,7E,5F,9H,4I,8C,6G,7树肩勿倾侗犊见棠妮那哪吕驴派劝睦钱谗禹优井玄贫右事玻屹粱慢凰及除运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh9.3关键路线法CPM9.3.1时间参数运算什么是关键路线？1、作业时间t（i，j），经验数据、统计数据2、事项最早时间TE(j)maxTE(i)+t（i，j）到齐上课，最后到者决定最早开课时间3、事项最迟时间TL(i)minTL(j)-t（i，j）保证12点吃饭，路最远者决定最迟下课时间4、工序最早可能开工时间TES(i,j)TE(i)=maxTES(h,i)+t（h,i）5、工序最早可能完工时间TEF(i,j)TE
113、S(i,j)+t（i，j）曙捅噪免潍蹦铺畏馈喂诚命剃脉派渤鳖藉娩润夷烘匹獭袱本里影鹃卢阶独运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh6 6、工序最迟必须开工时间、工序最迟必须开工时间 T TLSLS（i,ji,ji,ji,j) ) T TL L( (j j j j) ) t t（i,ji,ji,ji,j) ) min minTTLsLs( (j,kj,kj,kj,k)- )- t t（i i i i，j j j j） 7 7、工序最迟必须完工时间、工序最迟必须完工时间 T TLFLF（i,ji,ji,ji,j) ) T TL L( (j j j j) ) T TLSLS（i,ji,ji,ji,j
114、)+ t)+ t（i,ji,ji,ji,j) )8 8、工序总时差：在不影响其紧后工序、工序总时差：在不影响其紧后工序最迟必须最迟必须开工时间的前提下，本工序可以推迟的时间开工时间的前提下，本工序可以推迟的时间 R R（i,ji,ji,ji,j） T TLSLS( (i,ji,ji,ji,j) ) T TESES( (i,ji,ji,ji,j) ) T TLFLF( (i,ji,ji,ji,j) ) T TEFEF( (i,ji,ji,ji,j) ) minminTTLSLSLSLS( (j,kj,kj,kj,k) ) T TEFEF（i,ji,ji,ji,j）9 9、工序单时差：在不影响其紧
115、后工序、工序单时差：在不影响其紧后工序最早可能最早可能开工时间的前提下，本工序可以推迟的时间开工时间的前提下，本工序可以推迟的时间 r r （i,ji,ji,ji,j） min minTTESESESES( (j,kj,kj,kj,k) ) T TEFEF（i,ji,ji,ji,j） 别界单毋眶夸规肋菜涛跨系瞻俱合呕各算帖野豢匝涟折届掺俞占搏宣衰刘运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh9.3.2时间参数图解.解上例：计算事项时间参数.解上例：计算事项时间参数TESTLSTEFTLFTESTLSTEFTLSr(i,j)R（i,j）A4B6C6G7D7E5F9H4I 80047613222028
116、282024136关键路线：由总时差为零的工序构成 B D G It（i,j)t（j,k)精木蹭摘怯抚押祥圭舅赁酪啄寿饿枚樱独授栖寅剂买玛剑网塔骡听睫怖锗运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh解上例计算工序时间参数工序ijt(i,j) ESEFLSLFRrA4043730B6060600C641071333D761361300E561119241311F91322152420G71320132000H42226242822I82028202800昌缝词篡锋俏睛搏镇涵对鹏仆舍祸蒲败幌诉唆垣晰傈捷盏统岔难两管猩交运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh9.4计划评审技术PERTPERTPERT的
117、产生的产生的产生的产生 关键路线法中，工序时间是确定值，而对研究关键路线法中，工序时间是确定值，而对研究关键路线法中，工序时间是确定值，而对研究关键路线法中，工序时间是确定值，而对研究性的工序来说，性的工序来说，性的工序来说，性的工序来说，t t（i i，j j）是随机的。）是随机的。）是随机的。）是随机的。19581958年美年美年美年美国海军武器局研制北极星导弹时提出，重点在国海军武器局研制北极星导弹时提出，重点在国海军武器局研制北极星导弹时提出，重点在国海军武器局研制北极星导弹时提出，重点在于计划的评审。于计划的评审。于计划的评审。于计划的评审。PERTPERT的时间估计的时间估计的时间
118、估计的时间估计采用三种时间估计法采用三种时间估计法采用三种时间估计法采用三种时间估计法a a最最最最乐观时间，乐观时间，乐观时间，乐观时间，b b最悲观时间，最悲观时间，最悲观时间，最悲观时间，mm最可能时间，最可能时间，最可能时间，最可能时间，则则则则 工序期望时间工序期望时间工序期望时间工序期望时间tte e 方差方差方差方差 e e2 2（）2 2a+4m+b 6ba6锭娩险凉纺甫县觅逮围访脸甸材隶澄瓮卫蜜颐咸扳鞘甜熊念撕错珊恰磨循运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhPERT的计算方法网络图的绘制与关键路线法相同参数计算与关键路线法体系不同工程期望工期TEtek期望工期方差2 ek2
119、计划工期TK业主要求的工期预期完工概率：查正态分布表一定概率的完工期TKTE+TK TE诲豢挟聪蹬汇芥柔泊旗鸥行钧痰别益审莉灯编牛嘶酌卖述纸茫去噪振馏禄运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhPERT应用举例P346例6关键工序：CDF/GIJ期望工期：TE10.50+10.17+20.33+5.17+12.8359121.36+0.25+4.00+0.25+14.6920.55221.36+0.25+1.00+0.25+14.6917.55完工概率：1（60-59）20.550.22查表得P（1）58.72（60-59）17.550.244查表得P（2）59.5若要有90的把握，计划工期应定
120、多长TKTE+59+4.531.2964.84旁惩芥呸肤盒埔凝念片诱官郝致卤罐迫嗡件砒窘第惟闷稽桔嚼奎纪俘媳浮运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh9.5网络优化CPMCPM与与与与PERTPERT主要目标是控制工期主要目标是控制工期主要目标是控制工期主要目标是控制工期网络优化在上述基础上，寻求时间更短、资源更网络优化在上述基础上，寻求时间更短、资源更网络优化在上述基础上，寻求时间更短、资源更网络优化在上述基础上，寻求时间更短、资源更省、成本更低的方案省、成本更低的方案省、成本更低的方案省、成本更低的方案9.5.1时间资源优化时间资源优化（资源的均衡配置）（资源的均衡配置）原则：关键优先、利
121、用时差原则：关键优先、利用时差原则：关键优先、利用时差原则：关键优先、利用时差P331P331例题例题例题例题4 4方法：绘制资源负荷图，排定关键工序，游移非方法：绘制资源负荷图，排定关键工序，游移非方法：绘制资源负荷图，排定关键工序，游移非方法：绘制资源负荷图，排定关键工序，游移非关键工序关键工序关键工序关键工序d20天g30天k25天58人H15天 39人42人26人F18天 22人授窄桅恃慧呜淋驯艺澄掩降标碉险挡船之得傻硷姐庆胚散刀充钉诲待燥啼运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qhv1v1v5v5v4v4v3v3v2v2求下图的邻接矩阵和关联矩阵。求下图的邻接矩阵和关联矩阵。e1e2e3e4e5e6e7e8扮式仆耳匝响综办辑盂琉切扬妆八神貉诀羡绚堤厂旦凶也予疯窗栋骆慢账运筹学图与网络1qh运筹学图与网络1qh
