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1、精 品 数 学 课 件2019 届 北 师 大 版 成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-2 推理与证明推理与证明第一章第一章4数学归纳法数学归纳法第一章第一章课堂典例探究课堂典例探究2课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习1.了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证明命题的步骤与格式2能够利用数学归纳法证明代数恒等式和不等式3能够利用数学归纳法解决整除性问题和几何中的计算问题本节重点：数学归纳法证明命题的步骤与格式本节难点：数学归纳法第二步证明中使用归纳假设.数学归纳法是用来证明某
2、些与正整数n有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是：(1)验证：_时，命题成立；(2)在_的前提下，推出_时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立.数学归纳法的概念及基本步骤 nn0假设当nk(kn0)时命题成立当nk11.数学归纳法的原理和步骤的几个注意点：(1)奠基步骤和递推步骤这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断可能得出不正确的结论因为单靠第一步，无法递推下去，即n取n0以后的数时的命题是否正确，我们无法判定，同样，只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺乏第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了(2)用数学归纳法证明
3、有关问题的关键在于第二步，即nk1时为什么成立？nk1时成立是利用假设nk时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出nk1时成立，而不是直接代入，否则nk1时也成假设了，命题并没有得到证明。(3)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析2数学归纳法的核心在验证命题nn0正确的基础上，证明命题具有传递性，第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法实现了有限到无限的飞跃.2n为正奇数，求证：xnyn能被xy整除，当第二步假设nk(kN)命题为真时，则需证n_时
4、命题也为真答案k2解析n为正奇数，现在nk，说明k为正奇数，下一个正奇数应为k2.用数学归纳法证明恒等式 点评在进行第二步的证明时，要注意观察等式的结构特征，弄清第二步证明中“已知”与“求证”的差异，然后对“已知”进行变形，最后得到所要证的“结论”点评在推证“nk1”命题也成立时，必须把“归纳假设”nk时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.证明不等式 用数学归纳法证明下列问题：(1)求证：352n123n1是17的倍数；(2)证明：(3n1)7n1能被9整除证明整除问题 证明(1)当n1时，353243911723是17的倍数假设352k123k117m(m是整数)，则352(k1
5、)123(k1)1352k1223k13352k12523k18(352k123k1)817352k1817m31752k117(8m352k1)，m、k都是整数，17(8m352k1)能被17整除，即nk1时，352n123n1是17的倍数综合知对任意正整数352n123n1是17的倍数(2)令f(n)(3n1)7n1f(1)47127能被9整除假设f(k)能被9整除(kN*)，f(k1)f(k)(3k4)7k 1(3k1)7k7k(18k27)97k(2k3)能被9整除，f(k1)能被9整除由可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除点评用数学归纳法证明整除问题，当nk1时，应先构造出归纳
6、假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证(2014南京一模)已知数列an满足a10，a21，当nN时，an2an1an.求证：数列an的第4m1项(mN)能被3整除证明(1)当m1时，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即当m1时，第4m1项能被3整除故命题成立(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.显然，3a4k2能被3整除，又由假设知a4k1能被3整除3a4k22a4k1能被3整除即当mk1时，a4(k1)1也能
7、被3整除命题也成立由(1)和(2)知，对于nN，数列an中的第4m1项能被3整除.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点求证：这n个圆把平面分成n2n2个部分分析用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当nk1时比nk时，分点增加了多少，区域增加了几块本题中第k1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决几何问题 证明当n1时，一个圆把平面分成两部分，12122，命题成立假设当nk时命题成立(kN*)，k个圆把平面分成k2k2个部分当nk1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成k2k2个部分，第k1个
8、圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k1个圆把平面分成( k2k2)2k(k1)2(k1)2个部分，即命题也成立由、可知，对任意nN*命题都成立点评利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从nk到nk1时，新增加量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k1个中分出1个来，剩下的k个利用假设点评关于几何题的证明，应分清k到k1的变化情况，建立k的递推关系. 计算出数列：1,121,12321，123n321，的前n项和，并猜想出数列的通项公式，然后用数学归纳法证明分析通过计算数列的前几个项，发现规律，猜想数列的通项公式，然后用数学归纳法证明 归纳猜想证明 正解不成立当n1时，左边2，右边12113，左边右边，所以不成立点评用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的特别是步骤(1)，往往十分简单，但却是不可忽视的步骤本题中，虽然已经证明了：如果nk时等式成立，那么nk1时等式也成立但是如果仅根据这一步就得出等式对任何nN都成立的结论，那就错了事实上，当n1时，上式左边2，右边12113，左边右边而且等式对任何n都不成立这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了点评这里没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证
