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1、数值微积分以及数值分析1MATLAB SDU 数值微分数值微分数值微分的实现数值微分的实现两种方式计算函数两种方式计算函数f(x)在给定点的数值导数：在给定点的数值导数：1.用多项式或用多项式或者样条函数者样条函数 2. 利用数据的有限差分利用数据的有限差分在在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数算向前差分的函数diff，其调用格式为：其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量计算向量X的向前差分，的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：计算计算X的的n阶向前差分。例
2、如，阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵计算矩阵A的的n阶差分，阶差分，dim=1时时(缺省缺省状态状态)，按列计算差分；，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。按行计算差分。例子：例子：help diff2MATLAB SDU拉普拉斯微分算子MATLAB中的离散拉普拉斯微分算子调用格式dell2(U)Help dell23MATLAB SDU数值积分数值积分数值积分基本原理数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生的梯形法、辛普生(Simpson) 法、牛顿
3、法、牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间区间a,b分成分成n个子区间个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中其中x1=a，xn+1=b。这样求定这样求定积分问题就分解为求和问题。积分问题就分解为求和问题。4MATLAB SDU数值积分的实现方法数值积分的实现方法低阶法低阶法-自适应递推辛普生法自适应递推辛普生法基于变步长辛普生法，基于变步长辛普生法，MATLAB给出了给出了quad函数函数来求定积分。该函数的调用格式为：来求定积分。该函数的调用格式为： I=quad(fnam
4、e,a,b,tol,trace) I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中其中fname是被积函数名。是被积函数名。a和和b分别是定积分的下分别是定积分的下限和上限。限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取则不展现，缺省时取trace=0。返回参数返回参数I即定积分值，即定积分值，n为被积函数的为被积函数的调用次数。调用次数。5MATLAB SDU 例例 求求0.3pi定积分定积分 f=exp(-0.5
5、*x)*sin(x+pi/6); 。调用数值积分函数调用数值积分函数quad求定积分。求定积分。S,n=quad(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6),0,3*pi)S = 0.9008n = 776MATLAB SDU2高阶法：自适应牛顿柯特斯法高阶法：自适应牛顿柯特斯法基于牛顿柯特斯法，基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式函数来求定积分。该函数的调用格式为：为：I,n=quadl(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和其中参数的含义和quad函数相似，只是用高函数相似，只是用高阶自适应递推法，该函数可以更精确地求
6、阶自适应递推法，该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于步数明显小于quad函数，从而保证能以更函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。高的效率求出所需的定积分值。7MATLAB SDU例：前一例子例：前一例子 分别用分别用quad函数和函数和quadl函数求定积分函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数例：例： 求求0,pi 定积分定积分f=x*sin(x)/(1+cos(x)*cos(x)调用函数调用函数quadl求定积分。求定积分。I=quadl
7、(x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x),0,pi)I = 2.46748MATLAB SDU3Trapz : 计算梯形面积的和来计算定积分计算梯形面积的和来计算定积分在在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用问题用trapz(X,Y)函数。其中向量函数。其中向量X,Y定义函数关系定义函数关系Y=f(X)。例例 用用trapz函数计算定积分。函数计算定积分。命令如下：命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans = 0.28579682
8、4163939MATLAB SDU函数极值MATLAB中只存在处理极小值命令的函数，极大值的处理等价于-f(x)的极小值局域极值的函数调用：x = fminbnd(fun,x1,x2,options)：一元函数的x1,x2范围内极小值 x = fminsearch(fun,x0,options): 单纯形法求函数极值，x0为向量X=fminunc(fun,X0,options): 拟牛顿法多元函数极值点 10MATLAB SDU函数零点Matlab中用fzero来寻找单变量函数值为零的自变量的值，调用格式： x = fzero(fun,x0) x0指定搜索的点 注意： fzero并不一定能找到
9、零点 搜索方法：先猜测一个初时零点所在的区间；然后通过一些计算，使得猜测值不断精确，或者使得猜测区间不断收缩，直至达到预先指定的精度，终止计算。 help fzero11MATLAB SDU函数曲线绘制绘制函数曲线的专用函数绘制函数曲线的专用函数fplot的调用的调用 FPLOT(FUN,LIMS) 特点：绘图数据由函数在指定范围内自适特点：绘图数据由函数在指定范围内自适应产生，根据函数曲线的平滑程度自动调应产生，根据函数曲线的平滑程度自动调整数据点的密度整数据点的密度绘制函数曲线的一般方法，计算出函数在某一区间值，然后根据两绘制函数曲线的一般方法，计算出函数在某一区间值，然后根据两组数据值绘
10、制出函数曲线，但是如果函数在某些区间是平坦无激励组数据值绘制出函数曲线，但是如果函数在某些区间是平坦无激励的，某些区间却是失控的，传统方法无法表达函数的真正特性的，某些区间却是失控的，传统方法无法表达函数的真正特性 12MATLAB SDU离散傅立叶变换离散傅立叶变换信号处理中的频谱分析信号处理中的频谱分析一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能为：能为：(1) fft(X)：返回向量：返回向量X的离散傅立叶变换。的离散傅立叶变换。设设X的长度的长度(即元素个数即元素个数)为为N，若，若N为为2的幂的幂次，则为以次，则为以2为基数的快速傅立叶变换，否为基数
11、的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非则为运算速度很慢的非2幂次的算法。对于幂次的算法。对于矩阵矩阵X，fft(X)应用于矩阵的每一列。应用于矩阵的每一列。13MATLAB SDU(2) fft(X,N)：计算：计算N点离散傅立叶变换。它点离散傅立叶变换。它限定向量的长度为限定向量的长度为N，若，若X的长度小于的长度小于N，则不足部分补上零；若大于则不足部分补上零；若大于N，则删去超，则删去超出出N的那些元素。对于矩阵的那些元素。对于矩阵X，它同样应用，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度于矩阵的每一列，只是限定了向量的长度为为N。(3) fft(X,dim)或或fft(X,N,d
12、im)：这是对于矩：这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与阵而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X)基本相同，而后者则与基本相同，而后者则与FFT(X,N)基基本相同。只是当参数本相同。只是当参数dim=1时，该函数作时，该函数作用于用于X的每一列；当的每一列；当dim=2时，则作用于时，则作用于X的每一行。的每一行。14MATLAB SDU值得一提的是，当已知给出的样本数值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是不是2的幂次时，可以取一个的幂次时，可以取一个N使它大于使它大于N0且是且是2的幂次，然后利用函数格式的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或或fft(X,N,dim)便可
13、进行快速傅立叶变换。这便可进行快速傅立叶变换。这样，计算速度将大大加快。样，计算速度将大大加快。相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。ifft(F)返回返回F的一维离散傅立叶逆变换；的一维离散傅立叶逆变换；ifft(F,N)为为N点逆变换；点逆变换；ifft(F,dim)或或ifft(F,N,dim)则由则由N或或dim确定逆变换的点确定逆变换的点数或操作方向。数或操作方向。15MATLAB SDU例例 给定数学函数给定数学函数x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取取N=128，试对，试对t从从01秒采样，用秒采样，用fft作快速
14、作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。频率图。在在01秒时间范围内采样秒时间范围内采样128点，从而可以确点，从而可以确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从变换时的下标应是从0到到N-1，故在实际应，故在实际应用时下标应该前移用时下标应该前移1。又考虑到对离散傅立。又考虑到对离散傅立叶变换来说，其振幅叶变换来说，其振幅| F(k)|是关于是关于N/2对称对称的，故只须使的，故只须使k从从0到到N/2即可。即可。16MATLAB SDU程序如下：程序如下：N=128; % 采样点数采样点数T=1; % 采样时间终
15、点采样时间终点t=linspace(0,T,N); % 给出给出N个采样时间个采样时间ti(I=1:N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采样点求各采样点样本值样本值xdt=t(2)-t(1); % 采样周期采样周期f=1/dt; % 采样频率采样频率(Hz)X=fft(x); % 计算计算x的快速傅立叶变换的快速傅立叶变换XF=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N; % 使频率轴使频率轴f从零开始从零开始plot(f,abs(F),-*) % 绘制振幅绘制振幅-频率图频率图xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)|)17MATLAB SDU
