计算区域与控制方程的离散化

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1、5 计算区域与控制方程的离散化 计算区域与控制方程的离散化1、区域离散化：即对空间上连续的计算区域进行剖分，把它划分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点，这一过程又称为网格生成。2、离散化方程结构：1）一个离散化方程关系到一组网格节点上的值，通常它表现为代数方程，是由支配的微分方程推导而来，并表示与该微分方程相同的物理信息，一个微分方程变成一组代数方程组；2 2）离散化方程只与少数几个网格节点有关，网格节点上的值只影响其相邻节点的值；3 3）对一个微分方程，离散化方程不只一个，取决于关于的假设以及差分的阶数。但当网格节点数目很大时，相邻节点间值变化很小，关于假设的实际细节已不重要，此时离散化

2、方程的解即是精确解。计算区域与控制方程的离散化 控制方程离散化: 即将描写流动与传热过程的偏微分方程转化为各个节点上的代数方程组。 常用离散化方程的方法： 有限差分法中的Taylor展开法 有限容积法中的控制容积积分法 多项式拟合法 平衡法计算区域与控制方程的离散化5.1 区域离散化1、区域离散化的实质：就是用一组有限个离散的点来代替原来的连续空间。2、实施过程是：把所计算的区域划分成许多个互不重叠的子区域（sub-domain），确定每个子区域中的节点位置及该结点所代表的控制容积（control volume）。3、离散化结束后，得到4种几何要素 节点：需要求解的未知量的几何位置；控制容积：

3、应用控制方程或守恒定律的最小几何单位；界面：它规定了与各节点相对应的控制容积的分界面位置；网格线：沿坐标轴方向连接相邻两节点而形成的曲线簇（围成的 区域）计算区域与控制方程的离散化5. 2 两类设置节点的方法视节点在子区域中位置的不同将离散化方法分成两大类：1、外节点法：子区域不是控制容积。为确定各节点的控制容积,需要在相邻两节点的中间位置上做界面线，由这些界面线构成各节点的控制容积.即先节点后界面。2、内节点法：节点位于子区域的中心，这时子区域就是控制容积。即先界面后节点。（离散化方程适用于任何特定的控制容积面构成方法，但对边界条件的离散有影响。） 计算区域与控制方程的离散化5. 3 两种命

4、名方法：区域离散后，为建立节点的离散方程，还需对节点及有关几何要素的命名方法做出规定当对离散方程进行特性分析时采用i-j-n表示法，即节点（i,j），与该节点相邻的界面i+1/2，i-1/2，j+1/2，j-1/2。其他采用P，N ，E，W，S表示所研究的节点及相邻的四个节点，用n，e，w，s表示相应的界面。用上标0表示非稳态问题中上一 时层的值。xx表示相邻两点间的距离xx 表示相邻两界面间的距离。计算区域与控制方程的离散化5.4 非均匀网格1、当体系庞大时，不同区域T变化有陡有缓；网格间距应当直接与因变量在计算区域内的变化联系起来。（如靠近热源dt/dx大，网格间距可密些，靠近边界可稀些；

5、薄板坯加热中心80%区域可稀些，角部20%处可密些；钢包吹气时，只有网格加密才可发现二次涡。）2、如何设计一个合适的非均匀网格？1）由所要得到解的某些定性的预计而得知些指导；2）可用初步的粗网格解来求得tx变化形式，而后可以构成一个合适的非均匀网格。计算区域与控制方程的离散化5.5 结构化网格（structured grid)1、结构化网格：给出节点的编号，立即可以得出其相邻节点的编号。优点：生成方法简单缺点：对不规则区域的适应性比较差。2、非结构化网格（unstructured grid）：对不规则区域的适应性强，但网格生成过程则要复杂得多。(用适体坐标方法生成网格相当于是做一个变换，即把物

6、理空间中的不规则区域变换到计算空间中的规则区域，并在其上进行数值计算）计算区域与控制方程的离散化5.6 两类节点设置方法的比较当网格划分均匀时，两种方法所形成的节点分布在区域内部趋于一致，仅在坐标轴方向上节点有半个控制容积厚度的位错。1边界节点所代表的控制容积不同.外节点法中，边界节点代表了半个控制容积；而内节点法中，则应看成是厚度为零的控制容积的代表，即相当于外节点法中边界节点的控制容积在o时的极限。2当网格不均分时，内节点法中节点永远位处控制容积的中心，而由外节点法形成的节点则不然。从节点是控制容积的代表这一角度看，内节点法更合理。计算区域与控制方程的离散化3当网格不均匀时，外节点法中界面

7、永远位处两邻点的中间位置，而内节点法则不然。 如界面上的导数： 则对于内节点法，计算的精度要低一些，但外节点法计算该面热流提供了较高精度。计算区域与控制方程的离散化4、程序编制与计算时，由于B法取子区域为控制容积，界面自然生成，方便容易得多，且当所求解的区域中物性发生阶跃变化的面作为界面，以避免在同一控制容积内物性发生突变的情形。（如模拟突扩通道中绕堵塞物流动时，各处壁面必须位于控制体面上；又如一组合固体，把控制容积面放在材料性质发生突变的地方。）计算区域与控制方程的离散化5.7 关于网格生成问题的进一步说明1 为作图方便，网格是均匀分布的，但在工程实际计算时，网格常常是不均匀的；在预期所求解

8、的变量变化比较剧烈的地区网格分布应该稠密一些。这时要注意两方面的问题。1）对每个控制容积在不同方向的宽度应该保持一个合适的比例，对椭圆型问题，不同方向的宽度之比应接近于；只有对于抛物型问题或某个方向的变化率明显大于另一个方向的椭圆型问题，才适宜采用狭长的控制容积，此时变化剧烈的方向应取较小的宽度。2）在同一坐标方向上相邻两子区域（或控制容积）宽度的变化应保持在一个合适的范围之内。（1.52.0）计算区域与控制方程的离散化2在进行实际问题的数值计算时，网格的生成要经过反复的调试与比较，才能获得适合于所计算的具体问题的网络。这里包括两方面的内容。1）作为获得数值解的网格应当足够的细密，以致于再进一

9、步加密网格已经对数值计算结果基本上没有影响了。这种数值解称为网格独立解(grid-independent solution)2）有时需要根据初步计算的结果再反过来修改网格，使网格疏密的分布与所计算物理量场的局部变化率更好地相适应。这种根据计算结果而重新调整疏密，自适应网格(adaptive)及多重网格(AMG).计算区域与控制方程的离散化5.8 建立离散方程的Taylor展开法一维模型方程非守恒型 ： 守恒型 ： 非稳项 对流项 扩散项 源项 广义变量（温度,速度，浓度等） 相应于的广义扩散系数 广义源项（包括不能归入非稳态项，对流项及扩散项中的一切其他项）。 计算区域与控制方程的离散化5.8

10、.1 守恒型控制方程对流项写成散度形式：从微元体角度，以上二式是等价的，但数值计算是对有限大小计算单元进行的，则不同；守恒型优点：计算可压缩流动时，激波计算结果光滑稳定；不论节点布置的疏密程度如何，都能保证其对任意大小容积守恒的特性。计算区域与控制方程的离散化5.8.2 Taylor展开法导出的差分方程1、在有限差分法中，通过把控制方程中的各阶导数用相应的差分表达式来代替而形成的离散方程（常叫差分方程）2、又因为各阶导数的差分表达式可由Taylor级数展开而得到，故得名Taylor展开法。 先看一阶、二阶导数差分表达式的导出。计算区域与控制方程的离散化 试将函数 ( x,t)在均匀网格中某点(

11、i+1,n)对点(i,n)作Taylor展开，有：由此得计算区域与控制方程的离散化 上式右端中o(x)代替了二阶及更高阶导数项之和，称为截断误差，截差表示的是如何随x趋近于零而变小的。如果另一个表达式的截差为 ，则可以预期，当o(x)足够小时，后一表达式比前一表达式更准确. ( i,t) 代表了函数 ( x,t) 在节点(I,n)处的精确值。在进行有限差分数值计算时，这一精确值是未知的，只能用其近似值 来代替。 ， 称为的向前差分。 计算区域与控制方程的离散化类似地，向后差分为：， 如果把函数（x,t)在节点(i+1,n),(i-1,n)上对点(I,n)作Taylor展开，然后相减，可得具有二

12、阶精度的中心差分表示式： ，计算区域与控制方程的离散化5.8.3 非稳态项问题 对于非稳态项问题，则规定按哪一时刻来计算，离散方程可分为：1、显式：按每一层的初始时刻之值来计算，所形成的离散方程2、全隐格式：按每一层的终了时刻之值计算；3、CrankNicolson格式：按每一层的中间时刻之值计算；计算区域与控制方程的离散化将一维模型方程的精确解在节点(i-1,n),(i+1,n),(i,n+1) 上对节点(i,n)作Taylor展开，并取时间的向前差分、空间的中心差分。可得： 式中符号HOT代表了所有未写出的更高阶导数项之和。只有对同一点展开其截差才能相加，得出整个差分方程的截断误差。计算区

13、域与控制方程的离散化 为了得到未知函数 在各节点上近似值之间的代数关系，HOT部分必须略去。于是得： Taylor展开法导出的一维模型方程的一种显式离散格式 计算区域与控制方程的离散化5.9 控制容积积分法主要步骤如下： 1、将守恒型的控制方程在任一控制容积及时间间隔内对空间与时间作积分。 2、选定未知函数及其导数对时间及空间的局部分布曲线，即型线，也就是如何从相邻节点的函数值来确定控制容积界面上被求函数值的插值方式。 3、对各个项按选定的型线作出积分，并整理成关于节点上未知值的代数方程。计算区域与控制方程的离散化5.9.1 常用的型线函数随空间及时间而变化的几种情形。在实施控制容积积分法时常

14、用的型线有两种，即分段线性分布及阶梯式分布。计算区域与控制方程的离散化5.9.2 控制容积积分法离散方程 控制容积P在时间间隔内作积分，把可积的部分积出后得： 获得节点上未知值间的代数方程，需要对各项中变量的型线作出抉择。正是在这一步中，引入了对被求量的近似处理方法。 计算区域与控制方程的离散化1非稳态项需选定随x变化的型线，取阶梯式。即同一控制容积中各处的值相同，等于节点上 p 值于是有： 计算区域与控制方程的离散化2对流项: 随 t 变化采用阶梯显式 则有：计算区域与控制方程的离散化3 、扩散项：一阶导数随时间t 变化取阶梯显式则得：计算区域与控制方程的离散化及扩散项 可以表示成为： 取随

15、x呈分段线性变化，对流项（u )表示成为： 计算区域与控制方程的离散化4、 源项：s对t及x均呈阶梯式变化，则有： 其中St为源项在t时刻控制容积中的平均值。这里为简便起见，取源项的控制容积的平均值来完成积分。对于源项是被求解变量的函数的情况，我们以后还要介绍更合理的处理方法。计算区域与控制方程的离散化整理之，得 ：采用控制容积积分法得出的一维模型方程的离散形式采用均分网格的特性： 计算区域与控制方程的离散化5.9.3 关于型线假设的一些讨论 在控制容积积分法中，控制容积界面上被求函数插值方式，即型线的选取是离散过程中极为重要的。1、在有限容积法中选取型线仅是为了导出离散方程，一旦离散方程建立

16、起来，型线就完成了使命而不再具有任何意义。这是有限容积法区别于有限元法的一个重要方面。在有限元法中，型线一旦选定就始终认定为被求量的函数形式。计算区域与控制方程的离散化2、在选取型线时主要考虑的是实施的方便及所形成的离散方程具有满意的数值特性，而不必追求一致性。也就是说，同一控制方程中不同的物理量可以有不同的分布曲线；同一物理量对不同的坐标可以有不同的分布曲线；甚至同一物理量在不同项中对同一坐标的型线都可以不同。3、型线对于离散方程的求解方法及结果有很大影响。在控制容积积分法中，所谓不同的差分格式，主要是由于型线的不同而致。 计算区域与控制方程的离散化5.9.4 不同离散方法的比较：1、有限差分法： Taylor展开法及多项式拟合法：偏重于从数学的角度进行推导，把控制方程式中的各阶导数用相应的差分表示式来代替。优点：易于离散方程进行其数学特性分析缺点：变步长网格的离散方程形式比较复杂，导出过程的物理量概念也不清晰，而且不能保证所得差分方程具有守恒特性。计算区域与控制方程的离散化2、控制容积积分法及平衡法：着重于从物理观点来分析，每一个离散方程都是有限大小容积上某种物理量的表达式。 优点：推导过程的物理概念清晰，离散方程的系数具有一定的物理意义，并可以保证离散方程具有守恒性。 缺点：不便对方程进行数学特性的分析。 计算区域与控制方程的离散化