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1、7.1 基本概念与结论基本概念与结论第七章第七章 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法 科科学学与与工工程程技技术术中中常常常常需需要要求求解解常常微微分分方方程程的的定定解解问问题题。这这类类问问题题的的最最简简单单形形式式，是是本本章章将将要要着着重重考考虑虑的一阶常微分方程的初值问题。的一阶常微分方程的初值问题。1 常微分方程初值问题常微分方程初值问题需要研究的问题：需要研究的问题：1 以上初值问题是否有解？有多少解？以上初值问题是否有解？有多少解？2 有解时如何求出它的解？其解是否稳定？有解时如何求出它的解？其解是否稳定？Lipschitz条件条件2 Lipschi
2、tz条件条件3 存在性定理存在性定理显示法、隐式法与截断误差7.2 显式单步法显式单步法Euler 折线法折线法设良态微分方程初值问题设良态微分方程初值问题存在唯一解。存在唯一解。 取等距结点：取等距结点：几何意义几何意义注注意意：这这是是“折折线线法法”而而非非“切切线线法法”除除第第一一个个点点是是曲曲线线切切线线外外，其其他他点点不不是是切切线线而而是是折折线线(如如右右图所示图所示)。7.2.1 显式单步法的一般形式显式单步法的一般形式定理定理17.2.2 Runge-Kutta方法方法一级一级R-K方法方法二级二级R-K方法方法改进的改进的Euler法法中点公式中点公式Heun公式公
3、式三级三级R-K方法方法Heun三阶方法三阶方法Kutta三阶方法三阶方法经典经典R-K方法方法Gill方法方法例例1定理定理1证明证明7.3 线性多步法线性多步法定义定义例例4 二步隐式二步隐式Adams方法方法考虑公式考虑公式三步三阶显式三步三阶显式Adams方法方法三步四阶隐式三步四阶隐式Adams方法方法四步四阶显式四步四阶显式Adams方法方法四步四阶显式四步四阶显式Milne方法方法三步四阶隐式三步四阶隐式Hamming方法方法线性单步法线性单步法二阶隐式法二阶隐式法(梯形法梯形法)一阶隐式法一阶隐式法( (向后向后EulerEuler法法) )Gear方法方法7.3.2 预报预报-校正格式校正格式Adams预测预测-校正公式校正公式修正：修正：校正：校正：修正：修正：
