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1、第第十十章章机机 械械 振振 动动1 10.2 阻尼振动阻尼振动 10.3 受迫振动受迫振动 共振共振 10.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 拍拍 第十章第十章 机械振动机械振动10.1 简谐振动简谐振动2 机械振动：机械振动： 物体位置在某一值附近来回往复的变化物体位置在某一值附近来回往复的变化 广义振动：广义振动： 一个物理量在某一定值附近往复变化一个物理量在某一定值附近往复变化 该物理量的运动形式称为振动该物理量的运动形式称为振动 物理量：物理量：等等等等10.1 简谐振动简谐振动3共振共振( (简谐振动）简谐振动） 振动振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻
2、尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式振动的形式: :4重要的振动形式是重要的振动形式是 简谐振动简谐振动物理上：物理上：一般运动是多个简谐振动的合成一般运动是多个简谐振动的合成数学上：数学上： 付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分也可以说也可以说 简谐振动简谐振动是振动的基本模型是振动的基本模型或说或说 振动的理论建立在振动的理论建立在简谐振动简谐振动的基础上的基础上注意：注意：以机械振动为例说明振动的一般性质以机械振动为例说明振动的一般性质5一、一、谐振动的判据谐振动的判据表征了系统的能量表征了系统的能量位移位移振幅振幅最大位移
3、最大位移由初始条件决定由初始条件决定1.1.运动学表达式运动学表达式广义：广义：振动的物理量振动的物理量弹簧谐振子弹簧谐振子特征量：特征量：6位相位相 周相周相系统的周期性系统的周期性 固有的性质固有的性质称固有称固有频率频率圆频率圆频率相位相位初相位初相位角频率角频率 取决于时间零点的选择取决于时间零点的选择初位相初位相频率频率周期周期72. 2. 动力学方程动力学方程以弹簧谐振子为例以弹簧谐振子为例设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点由牛顿第二定律由牛顿第二定律令令简谐振动简谐振动整理得整理得8例例题题1 复摆（物理摆）的振动复摆（物理摆）的振动对比谐振动方程知：对比谐振动方程知：但若
4、做小幅度摆动但若做小幅度摆动 即当即当由转动定律由转动定律得得动力学方程动力学方程一般情况一般情况不是谐振动不是谐振动时时满足的方程：满足的方程：9振动的物理量振动的物理量 固有圆频率固有圆频率角位移角位移 振动表达式振动表达式对比对比10思考思考: :1.1.证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动证明单摆小幅度摆动时的运动是简谐振动并求出振动的频率。并求出振动的频率。2.2.若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率若令一单摆的频率与本例中的复摆的频率相等相等, ,单摆的摆长单摆的摆长l 应为多少？应为多少？（此摆长（此摆长 l 叫复摆的等值单摆长）叫复摆的等值单摆长）11（1 1）简简谐振动表达式
5、谐振动表达式从对象的运动规律出发从对象的运动规律出发（电学规律电学规律 力学规律等）力学规律等）简谐振动简谐振动的标准形式的标准形式小结小结（2 2）动力学方程）动力学方程简谐振动的判据简谐振动的判据12二、二、简简谐振动的描述谐振动的描述1.1.解析描述解析描述均是作谐振动的物理量均是作谐振动的物理量13频率相同频率相同振幅的关系振幅的关系相位差相位差超前超前 落后落后例题例题2 一质点沿一质点沿 x 轴作简谐振动，原点为平衡轴作简谐振动，原点为平衡位置。已知周期位置。已知周期T=0.2s,当计时开始当计时开始t =0时，质点时，质点的位移的位移 x0= 0.3m, 初速度初速度 =9.42
6、 m/s。求：质点的运动方程。求：质点的运动方程。解：由解：由14代入初始条件：代入初始条件：得得质点的圆频率质点的圆频率质点的振幅质点的振幅15质点的初位相质点的初位相质点的振动方程质点的振动方程2.2.曲线描述曲线描述16例题例题3. 简谐振动的振动曲线如图所示。简谐振动的振动曲线如图所示。 求：求： 、 及振动方程。及振动方程。 xA1ot-AA/2解：由图可知解：由图可知代入振动方程，得：代入振动方程，得： 振动方程振动方程（看斜率）（看斜率）173.3.旋转矢量描述旋转矢量描述用匀速圆周运动用匀速圆周运动 几何地描述几何地描述谐振动谐振动规定规定端点端点在在 x 轴上的投影式轴上的投
7、影式逆时针转逆时针转以角速度以角速度 上半圆谐振上半圆谐振动动速度速度小于零小于零; 下半圆谐振下半圆谐振动动速度速度大于零大于零;18（1 1）直观地表达振动状态直观地表达振动状态优点优点当振动系统确定了振幅以后当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是表述振动的关键就是相位相位 即即表达式中的余弦函数的表达式中的余弦函数的综量综量而旋转矢量图而旋转矢量图可可直观地显示该综量直观地显示该综量分析解析式分析解析式可知可知用图代替了文字的叙述用图代替了文字的叙述19旋转矢量与轴夹角为零旋转矢量与轴夹角为零如如 在在 t 时刻弹簧振子质点时刻弹簧振子质点 在正的端点在正的端点意味意味 质点经二分之
8、一振幅处质点经二分之一振幅处向负方向运动向负方向运动意味意味20质点过平衡位置向负方向运动质点过平衡位置向负方向运动同样同样 0 0向负方向运动向负方向运动 0 0或或 0 向正向运动向正向运动22由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度称两振动称两振动同相同相（2 2） 方便地方便地比较振动步调比较振动步调位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相若若23例题例题4 4 质量为质量为m的质点和劲度系数为的质点和劲度系数为k的弹簧的弹簧组成的弹簧谐振子组成的弹簧谐振子, ,t =0=0时时, ,质点过平衡位置且质点过平衡位置且向正方向运动。向正方向运动。（
9、3）方便计算）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算求：物体运动到负的二分之一振幅处求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的时所用的最短时间。最短时间。解：设解：设t时刻到达末态时刻到达末态由已知画出由已知画出t=0=0时刻的旋转矢量图时刻的旋转矢量图24再画出末态的旋转矢量图再画出末态的旋转矢量图由题意选蓝实线所示的位矢由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为设始末态位矢夹角为得得繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个一个运动关系求得运动关系求得因为因为25如如 弹簧谐振子弹簧谐振子系统机械能守恒系统机械能守恒以弹
10、簧原长为势能零点以弹簧原长为势能零点三三、简、简谐振动的能量谐振动的能量26讨论讨论（1) 1) 普适普适（2) 2) 时间平均值时间平均值（3) 3) 由谐振动能量求振动由谐振动能量求振动27例题例题5 5 劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧挂在质量为的轻弹簧挂在质量为m半径为半径为R的匀质圆柱体的对称轴上的匀质圆柱体的对称轴上使之作无滑动的滚动使之作无滑动的滚动证明：圆柱体的质心作谐振动证明：圆柱体的质心作谐振动 并求出谐振动的角频率并求出谐振动的角频率有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便有时由谐振动能量求谐振动的特征量会更方便28弹簧原长处为坐标原点弹簧原长处为坐标原点设原点处为势能零点
11、设原点处为势能零点质心在质心在 xc 位置时系统的机械能为位置时系统的机械能为解：振动系统解：振动系统 机械能守恒机械能守恒 建坐标如图建坐标如图（注意上式中的（注意上式中的 是刚体转动的角速度）是刚体转动的角速度）29两边对两边对 t 求导数求导数, , 得得将将代入上式代入上式得得 与动力学方程比较知与动力学方程比较知物理量物理量xc的运动形式是的运动形式是简简谐振动谐振动30圆频率圆频率周期周期作业作业10.2 10.3 10.8 10.9 10.11 10.1431一、阻尼振动一、阻尼振动 系统在振动过程中受到系统在振动过程中受到粘性阻力粘性阻力作用后作用后, , 能量将随时间逐渐衰减
12、。能量将随时间逐渐衰减。 系统受的粘性阻力与速率成正比系统受的粘性阻力与速率成正比 比例系数比例系数 叫阻力系数叫阻力系数 关系式为关系式为: : 二二、阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程10.2 阻尼振动阻尼振动32令令称阻尼系数称阻尼系数系统固有频率系统固有频率由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有整理得整理得式中式中33如果无阻尼如果无阻尼是谐振动的形式是谐振动的形式存在阻尼存在阻尼仍振动但能量会衰减仍振动但能量会衰减从物理上考虑：从物理上考虑：阻尼振动方程为阻尼振动方程为三三、振动表达式振动表达式 所以所以, ,解的形式必定是在解的形式必定是在谐振动谐振动的基的基础上乘上一础上乘上一衰
13、减衰减因子因子. .34即形式为：即形式为：可以证明：可以证明：三种阻尼振动三种阻尼振动过阻尼：过阻尼：临界阻尼：临界阻尼：欠阻尼：欠阻尼：过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt03510.3 受迫振动受迫振动 共振共振 一一、受迫振动受迫振动 振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动振动系统在外界驱动力的作用下维持等幅振动 1.1.受迫振动的动力学方程受迫振动的动力学方程 设驱动力按余弦规律变化设驱动力按余弦规律变化 即即由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有36整理得整理得其中其中固有频率固有频率阻尼因子阻尼因子2.2.稳定状态的振动表达式稳定状态的振动表达式 受迫振动系统达到稳定时受迫振
14、动系统达到稳定时, ,应做与驱应做与驱动力频率相同的谐振动。动力频率相同的谐振动。其表达式为：其表达式为：37用旋转矢量法可求出上式的用旋转矢量法可求出上式的A和和 代入上式，得到：代入上式，得到：38画任意时刻画任意时刻旋转矢量图旋转矢量图由图可知：由图可知：得得驱动力初驱动力初相为零相为零位移与驱动力的相位差位移与驱动力的相位差39在在弱阻尼弱阻尼即即 0的情况下的情况下系统的振动速度和振幅都达到最大值系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振共振当当 = = 0 0 时时二、共振二、共振 共振现象共振现象 普遍普遍 有利有弊有利有弊4010.4 谐振动的合成谐振动的合成一、两个振动方向相同的
15、简谐振动的合成一、两个振动方向相同的简谐振动的合成二、二、N个振动方向相同的简谐振动的合成个振动方向相同的简谐振动的合成三、三、 拍拍四、四、 两个垂直方向简谐振动的合成两个垂直方向简谐振动的合成41 当一个物体同时参与几个谐振动时当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考虑振动的合成问题就需考虑振动的合成问题 本节只讨论满足线性叠加的情况本节只讨论满足线性叠加的情况 本节所讨论的本节所讨论的同频率同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 是波的是波的干涉和偏振光干涉干涉和偏振光干涉的重要基础的重要基础 本节所讨论的本节所讨论的不同频率不同频率的谐振动合成结果的谐振动合成结果 可以给出重要的可以给出
16、重要的实际实际应用应用42一、振动方向相同、振动频率相同的一、振动方向相同、振动频率相同的 两个谐振动的合成两个谐振动的合成线性叠加线性叠加结果：结果：仍是谐振动仍是谐振动振动频率仍是振动频率仍是 振动的振幅振动的振幅（双光束干涉的理论基础）（双光束干涉的理论基础）43 若若反相反相 合振动合振动减弱减弱同相同相 合振动合振动加强加强特殊结果：特殊结果： 若若 若若两振动同相两振动同相两振动反相两振动反相可能的最强振动可能的最强振动“振动加振动振动加振动”不振不振动动44 二、振动方向相同、振动频率相同、振幅相同、二、振动方向相同、振动频率相同、振幅相同、相邻相位差相同的相邻相位差相同的N N
17、个简谐振动的合成。个简谐振动的合成。 45线性相加线性相加用旋转矢量法求解用旋转矢量法求解由图得由图得46一般情况一般情况特例特例（1 1）主极大主极大（2 2）的倍数的整数的倍数的整数极小极小47（3 3）次极大次极大（多光束干涉的理论基础）（多光束干涉的理论基础）特例特例（1 1）主极大主极大（2 2）的倍数的整数的倍数的整数极小极小48三、三、 振动方向相同、频率略有差别的、振动方向相同、频率略有差别的、 振幅相等的、两个谐振动的合成振幅相等的、两个谐振动的合成-拍拍分振动：分振动：线性相加：线性相加：结论：结论： 合成已不再是谐振动合成已不再是谐振动 但考虑到但考虑到 1 1 2 2
18、可以用谐振动表达式等效来加深认识可以用谐振动表达式等效来加深认识49分析：分析：则则较较随时间变化缓慢随时间变化缓慢将合成式写成谐振动形式将合成式写成谐振动形式50合振动可看做是振幅缓变的谐振动合振动可看做是振幅缓变的谐振动合成振动如图示合成振动如图示表达式为表达式为51 拍拍 合振动的周期性的强弱变化叫做合振动的周期性的强弱变化叫做拍拍拍频拍频 单位时间内合振动加强或减弱的次数单位时间内合振动加强或减弱的次数测未知频率的一种方法测未知频率的一种方法由式由式得得52例题例题6 当两个同方向、不同频率谐振动的表达当两个同方向、不同频率谐振动的表达式分别为：式分别为：则它们合振动的角频率为则它们合
19、振动的角频率为 ；每秒的拍数为每秒的拍数为 。解：合振动的角频率为解：合振动的角频率为53四、两个垂直方向谐振动的合成四、两个垂直方向谐振动的合成1. 1. 同频率的谐振动合成同频率的谐振动合成线性相加：线性相加：轨迹方程是椭圆轨迹方程是椭圆即即 合成的一般结果是椭圆合成的一般结果是椭圆54不同不同 椭圆形状、旋向也不同椭圆形状、旋向也不同55 = = 3 /2 = 5 /4 = 7 /4 = /2 = /4PQ = 0yx = 3 /4（-3 /4）（- /2）（- /4）56（1）（2）振动方向旋转振动方向旋转（3）正椭圆正椭圆若若（偏振光干涉的理论基础）（偏振光干涉的理论基础）例例 特殊结果特殊结果圆圆简谐振动简谐振动57 2. .频率比是简单的正整数频率比是简单的正整数合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线李萨如图李萨如图 yxA1A20-A2- A1 例如左图：例如左图：应用：应用：测定未知频率测定未知频率作业作业10.2210.2310.2410.2558
