第3章复变函数的积分课件

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1、第2章 复变函数的积分 复复变变函函数数积积分分理理论论是是复复变变函函数数的的核核心心内内容容，关关于于复复变变函函数数的的许许多多结结论论都都是是通通过过积积分分来来讨讨论论的的，更更重重要要的的是是我我们们要要讨讨论论解解析析函函数数积积分分的的性性质质，并并给给出出解解析析函函数数积积分分的的基基本本定定理理与与基基本本公公式式，这这些些性性质质是是解解析析函函数数理理论论的的基基础础，我我们们还还将将得得到到解解析析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。 2.1: 复变函数的积分复变函数的积分 2.2: 柯西定理柯西定理2.3: 不定积分不定积

2、分2.4: 科西积分公式科西积分公式本章小节本章小节本章基本内容:重点内容: (1) 柯西定理柯西定理(单、复连通区域单、复连通区域); (2) 柯西积分公式柯西积分公式(单、复连通单、复连通,无界区无界区域域);2.1 复变函数的积分2.1.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：向是这样规定的：定义定义2.2.1.1 1.1 有向曲

3、线有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：是这样规定的： (1) 如果曲线如果曲线 是开口弧段，若规定它的端是开口弧段，若规定它的端点点 为起点，为起点， 为终点，则沿曲线为终点，则沿曲线 从从 到到 的的方向为曲线方向为曲线 的正方向（简称正向），把正向曲的正方向（简称正向），把正向曲线记为线记为 或或 . 而由而由 到到 的方向称为的负方的方向称为的负方向（简称

4、负向），负向曲线记为向（简称负向），负向曲线记为 .(2) 如果如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向向为正方向，顺时针方向为负方向(3) 如果如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线的正方向这样规定：当人沿曲线 行行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向为正方向 定义定义2.1.2 复变函数的积分复变函数的积分 设函数设函数 在给定

5、的光滑在给定的光滑或逐段光滑曲线或逐段光滑曲线 上有定义，且上有定义，且 是以是以 为起点，为起点， 为终点的一条有向曲线，如图为终点的一条有向曲线，如图2.1所示把所示把 曲线曲线任意分成任意分成n个小弧段，设分点依次为个小弧段，设分点依次为 ,在某小弧段在某小弧段 上任意取一点上任意取一点 ，并作和，并作和 其中其中 则当则当n无限增大，且无限增大，且 时，时，如果无论对如果无论对L的分法及的分法及 的取法如何，都有惟的取法如何，都有惟一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线一的极限存在，那么称这个极限值为函数沿曲线L的积分，记作的积分，记作 ，即，即 我们称之为我们称之为复变函数的积分

6、复变函数的积分，简称，简称复积分复积分 定义定义2.1.3 闭合环路积分闭合环路积分 当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为， 并称为复变函数 的闭合环路积分（简称环路闭合环路积分（简称环路积分）积分）. 为了方便，我们还可以在积分中标出环路积分的方向, 若沿逆时针方向积分，可用环路积分 表示. 若沿顺时针方向积分，可用 表示. 由此可知，当由此可知，当 ，且小弧段长度的最大值，且小弧段长度的最大值 时，不论对时，不论对L的分法如何，点的分法如何，点 的取法如何，只要上式的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于由于

7、 连续，则连续，则 都是连续函数，根据曲线积都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到 (2.1.1) 即我们可以把复积分即我们可以把复积分 的计算化为两个的计算化为两个二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可二元实变函数的曲线积分为便于记忆公式，可把把 理解为理解为 ，则，则 上式说明了两个问题：上式说明了两个问题： (1) 当当 是连续函数，且是连续函数，且L是光滑曲线时，是光滑曲线时，积分积分 一定存在；一定存在； (2) 可以通过两个二元实变函数的可以通过两个二元实变函数的线积分来计算线积分来计算.2.1.2 复积分的基本性

8、质 (1)若若 沿沿 可积，且可积，且 由由 和和 连接而成，则连接而成，则 （2.1.2） (2) 常数因子常数因子 可以提到积分号外，即可以提到积分号外，即 （2.1.3） (3) 函函数数和和（差差）的的积积分分等等于于各各函函数数积积分分的的和和（差差），即即 (4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即 （2.1.4） 为为 的负向曲线的负向曲线(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即积分的模不大于被积表达式模的积分，即 (2.1.5) 这里这里 表示弧长的微分，即表示弧长的微分，即 【证明证明】 因为因为 ，其中其中 分别表示曲线分别

9、表示曲线 上弧段上弧段 对应的弦对应的弦长和弧长，两边取极限就得到长和弧长，两边取极限就得到（6）积分估值定理）积分估值定理 若沿曲线若沿曲线 ， 连续，且连续，且 在在 上满足上满足 ，则，则 (2.1.6)其中其中 为曲线为曲线 的长度的长度【证明证明】 由于由于 在在 上恒有上恒有 ，所以所以又又 ，则，则 成立。成立。2.1.3复积分的计算典型实例复积分的计算典型实例 公式（公式（2.1.1）提供了一种复积分的计算）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径径C由参

10、数方程给出时，复积分又可以转化由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分为单变量的定积分 2.2 柯西定理柯西定理 早在早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为一条基本定理，现称为柯西积分定理柯西积分定理（简称（简称柯西定理柯西定理） 定理定理2.2.1 柯西积分定理柯西积分定理 如果函数如果函数 在单连通区域在单连通区域 内及其边界线内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域上解析（即为在单连通闭区域 解析），解析），那么函数那么函数 沿边沿边界界L或区域或区域 内任意闭曲线内任意闭曲线 的积分为的积分为零，即零，

11、即 （2.2.1） 或或 （2.2.2） 证明：证明：如图如图 2.2所示，由于对函数所示，由于对函数 在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即 在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的再根据格林定理有是连续的再根据格林定理有 由于函数在闭区域解析，故满足由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件条件代入即得代入即得 如如果果我我们们在在该该闭闭区区域域 内内任任选选某某一一单单连连通通闭闭区区域域 ，其边界为，其边界为 由上述推导中由上述推导中 将将 , 则同理可证明则同理可证明 故结论成立故结论成立. 这这

12、个个定定理理是是柯柯西西(Cauchy)于于1825年年发发表表的的，古古莎莎(Goursat)于于1900年年提提出出了了修修改改，故故又又称称为为柯柯西西古莎定理古莎定理. 说明：说明：1根据第二章，函数在单连通区域根据第二章，函数在单连通区域D内及闭曲线内及闭曲线L上解析，即为在闭区域上解析，即为在闭区域 解析，我们应该理解为函数在解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的；比边界稍大一些的区域内部也是解析的； 2边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线线所包围的解析区域始终在左边

13、，则前进的方向为边界线的正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿的正方向据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）；边界线的正方向）； 3格林（格林（Green）定理定理（或格林公式：在单连通区域或格林公式：在单连通区域内，若内，若 有连续的偏导数，则有连续的偏导数，则 其中其中L是区域

14、是区域 的边界；的边界； 4进一步指出，经修改后的柯西古萨积分定理成立进一步指出，经修改后的柯西古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域的条件可以弱化为在区域 内解析，在边界上连续以内解析，在边界上连续以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立2.2.2 不定积分：复积分的牛顿莱不定积分：复积分的牛顿莱布尼兹公式布尼兹公式 定理定理2.2.3 由定理由定理 2.2.2 知道，解析函数知道，解析函数 在单连通域在单连通域 内的积分只与起点内的积分只与起点 和终点和终点 有关，假设有关，假设 是区域是区域 内连接内连接 和和 的两条简单曲线，则的两条简

15、单曲线，则 和和 分别称为积分的上限和下限，当下限分别称为积分的上限和下限，当下限 固定，而上限固定，而上限 在在 内变动时，积分内变动时，积分 可以看作是上限的函数，可以看作是上限的函数，记为记为 对对 ，有以下的定理，有以下的定理定理定理 2.2.4 如果如果 在单连通在单连通域域 内处处解析，则内处处解析，则 在在D内也解析，并且内也解析，并且 定理定理2.2.5 任何两个原函数相差一个常数任何两个原函数相差一个常数 【证明证明】 若若 均为均为 的原函数，则的原函数，则 利用原函数这个关系，我们可以得出：利用原函数这个关系，我们可以得出： 定理定理3.2.6 若函数若函数 在单连通域内

16、处处解析，在单连通域内处处解析， 为为 的一个原函数，那么的一个原函数，那么 其中其中 , 为为 中任意两点上式称为复积分中任意两点上式称为复积分的牛顿莱布尼兹公式：的牛顿莱布尼兹公式：2.2.3 复合闭路定理复合闭路定理 不失一般性，取不失一般性，取n1进行证明进行证明. 有下述定理：有下述定理： （1） （2） 定理定理 设设 L和和 为复连通区域内的两条简单闭为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图曲线，如图2.5所示，所示， 在在L内部且彼此不相交，内部且彼此不相交，以以 和和L为边界所围成的闭区域为边界所围成的闭区域 全含于全含于D则对于区域则对于区域D内的解析函数内的解析函数 有有 总

17、结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为： (i)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零；内任一闭合曲线的积分为零； (ii)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零；向）的积分为零； (iii) 在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积向沿外边界

18、的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和分之和 关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在关于常用积分符号的说明：为了以后计算环路积分的方便，在有界区域我们规定记号：有界区域我们规定记号： （i） C代表取逆时针方向积分；代表取逆时针方向积分； （ii） 代表顺时针方向积分；代表顺时针方向积分； （iii）而且而且 成立成立 上述定理上述定理3.3.2还说明在区域还说明在区域 内的一个解析函数沿闭曲内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值因此可得到闭路变形定理得到闭路变形定理2.3 柯西积分公式

19、 2.3.1 有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式 定理定理 （柯西积分公式）（柯西积分公式） 如果如果 在有界区域在有界区域D处处解析，处处解析，L为为D内的任何一条正向简单闭曲线，内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于且其内部全含于D, 为为L内的任一点，那么内的任一点，那么 称为柯西积分公式称为柯西积分公式, 简称柯西公式但一定要简称柯西公式但一定要注意其与柯西定理称谓上的区别注意其与柯西定理称谓上的区别由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据 在在 连续，则对任意小的连续，则对任意小的 对应于对应于R足够小，有足够小，有 又显见该积分的值与又显见该积分的值与R无

20、关这就证明了无关这就证明了 ，即为柯西积分公式，即为柯西积分公式 它表明：对于解析函数，只要知道了它在区对于解析函数，只要知道了它在区域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内域边界上的值，那么通过上述积分公式，区域内部点上的值就完全确定了部点上的值就完全确定了 特别地，从这里我们可以得到这样一个重要从这里我们可以得到这样一个重要的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处的结论：如果两个解析函数在区域的边界上处处相等，则它们在整个区域上也相等相等，则它们在整个区域上也相等2.3.2无界区域中的柯西积分公式无界区域中的柯西积分公式 上面对柯西积分公式讨论了（上面对柯西积分公式讨论了（1）单连通区

21、域）单连通区域;(2)复连通区域复连通区域. 但所涉及的积分区域都是有限的区但所涉及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何域，若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公求解？我们可以证明如下的无界区域柯西积分公式仍然成立式仍然成立无界区域柯西积分公式无界区域柯西积分公式 定理定理 无界区域中的柯西积分公式（当满足无界区域中的柯西积分公式（当满足 时）：时）： 若在若在 某一闭曲线某一闭曲线L的外部解析，并且当的外部解析，并且当 时，则对于时，则对于L外部区域中的外部区域中的 点有点有 这就是无界区域的柯西积分公式这就是无界区域的柯

22、西积分公式1解析函数的无限次可微性（高阶导数公式）解析函数的无限次可微性（高阶导数公式） 作为柯西积分公式的推广，我们可以证明作为柯西积分公式的推广，我们可以证明一个解析函数的导函数仍为解析函数，从一个解析函数的导函数仍为解析函数，从而可以证明解析函数具有任意阶导数请而可以证明解析函数具有任意阶导数请特别注意：这一点和实函数完全不一样，特别注意：这一点和实函数完全不一样，一个实函数一个实函数 有一阶导数，不一定有二阶有一阶导数，不一定有二阶或更高阶导数存在或更高阶导数存在柯西积分公式的几个重要推论柯西积分公式的几个重要推论 解析函数解析函数 的导数仍为解析函数，它的的导数仍为解析函数，它的n阶导数为阶导数为 其中其中 为为 的解析区域的解析区域 内并包含内并包含 的任一简单正向的任一简单正向闭曲线，而且它的内部全属于闭曲线，而且它的内部全属于