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1、第7课时 幂函数1.幂函数的定义幂函数的定义形如形如 (R)的函数称为幂的函数称为幂函数，其中函数，其中x是是 ，为为 基础知识梳理基础知识梳理yx自变量自变量常数常数基础知识梳理基础知识梳理幂函数与指数函数有何不同？幂函数与指数函数有何不同？【思考思考提示提示】本质区别在本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置变量在指数位置2幂函数的性质幂函数的性质基础知识梳理基础知识梳理yxyx2yx3yxyx1定义域定义域Rx|xR且且x0值域值域Ry|yR且且y0奇偶性奇偶性偶偶非奇非偶非奇非偶单调
2、性单调性x0，)时，增时，增x(，0时，减时，减x(0，)时，减时，减x(，0)时，减时，减定点定点RR0，)R0，)0，)增增增增(0,0)，(1,1)(1,1)奇奇奇奇增增奇奇A1B2C3 D4答案：答案：B三基能力强化三基能力强化2在下列函数中，定义域和值域在下列函数中，定义域和值域不同的函数是不同的函数是()三基能力强化三基能力强化答案：答案：D三基能力强化三基能力强化3若函数若函数y(k2k5)x2是幂函是幂函数，则实数数，则实数k的值是的值是()A3 B2C3或或2 Dk3且且k2答案：答案：C三基能力强化三基能力强化答案：答案：f(x)x3三基能力强化三基能力强化答案：答案：1幂
3、函数是指形如幂函数是指形如yx(R)的的函数，它的形式非常严格，只有完函数，它的形式非常严格，只有完全具备这种形式的函数才是幂函数全具备这种形式的函数才是幂函数若函数以根式的形式给出，则要若函数以根式的形式给出，则要注意先对根式进行化简整理，再对注意先对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断照幂函数的定义进行判断课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一幂函数定义的理解幂函数定义的理解课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1当当x(0，)时，幂函数时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，则实数为减函数，则实数m的的值为值为()Am2 Bm1课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】幂函数的幂
4、函数的x系数为系数为1，即，即m2m11.【解析解析】法一：法一：依题意依题意y(m2m1)x5m3是幂函数，故是幂函数，故m2m11，解得，解得m2或或m1.又又函数在函数在(0，)上是减函数，上是减函数，5m3 ，故故m1舍去，舍去，m2.法二：法二：特值验证法，验证特值验证法，验证m1,2时，是否满足题意即可时，是否满足题意即可当当m2时，函数化为时，函数化为yx13符符合题意，合题意，而而m1时时yx2不符合题意，不符合题意，故排除故排除B、C、D.【答案答案】A【误区警示误区警示】易忽视对函数易忽视对函数的性质进行验证的性质进行验证课堂互动讲练课堂互动讲练幂函数幂函数yx的图象由于的
5、图象由于的值的值不同而不同不同而不同的正负：的正负：0时，图象过原点时，图象过原点和和(1,1)，在第一象限的图象上升；，在第一象限的图象上升；0，图象不过原点，在第一象限的，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；图象下降，反之也成立；课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二幂函数的图象幂函数的图象课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2(1)求求f(x)，g(x)的解析式；的解析式；(2)当当x为何值时：为何值时：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】先用待定系数法先用待定系数法求幂函数的解析式，然后利用求幂函数的解析式，然后利用
6、g(x)，f(x)的图象，求的图象，求x的取值范围的取值范围解得解得2.g(x)x2.(2)在同一坐标系下作出在同一坐标系下作出f(x)x2与与g(x)x2的图象，如图所示的图象，如图所示课堂互动讲练课堂互动讲练由图象可知：由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点的图象均过点 (1,1)与与(1,1)当当x1或或x1时，时，f(x)g(x)；当当x1或或x1时，时，f(x)g(x)；当当1x1且且x0时，时，f(x)g(x)课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结规律小结】(1)求幂函数解析求幂函数解析式的步骤为以下几点：式的步骤为以下几点：设出幂函数的一般形式设出幂函数的一般形式yx(为常数为常
7、数)；根据已知条件求出根据已知条件求出的值的值(待定待定系数法系数法)；定出幂函数的解析式定出幂函数的解析式课堂互动讲练课堂互动讲练(2)作直线作直线xt，t(1，)与与幂函数的各个图象相交，则交点自幂函数的各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的的降幂排列的课堂互动讲练课堂互动讲练解：解：设设f(x)x，过过A(2,8)，3，f(x)x3，由例由例2知知g(x)x2，课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究在同一平面直角坐标系中画出在同一平面直角坐标系中画出yf(x)与与yg(x)的图象，如图，的图象，如图，课堂互动讲练课堂互动讲练从图中
8、及从图中及h(x)的定义可知：的定义可知：且在且在(，1)上上h(x)为增函数，为增函数，在在1，)上上h(x)为减函数，为减函数，函数函数h(x)的定义域为的定义域为R.课堂互动讲练课堂互动讲练又又h(2)(2)38，h(2)h(2)且且h(2)h(2)，h(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数课堂互动讲练课堂互动讲练幂函数幂函数yx有下列性质：有下列性质：(1)单调单调性：当性：当0时，函数在时，函数在(0，)上单调上单调递增；当递增；当0时，函数在时，函数在(0，)上单上单调递减调递减(2)奇偶性：幂函数中既有奇函奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，数，又有偶函数，也有
9、非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断可以用函数奇偶性的定义进行判断课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三幂函数的性质及其应用幂函数的性质及其应用课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)已知幂函数已知幂函数f(x)xm22m3(mN*)的图象关于的图象关于y轴对称，且轴对称，且在在(0，)上是减函数，求满足上是减函数，求满足课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】由由f(x)xm22m3(mN*)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称知知m22m3为偶数，又在为偶数，又在(0，)上是减函数，上是减函数，【解解】函数函数f(x)在在(0，)上递减
10、，上递减，m22m30，解得，解得1m3.mN*，m1,2. 3分分又函数又函数f(x)的图象关于的图象关于y轴对称，轴对称，m22m3是偶数，是偶数，而而222233为奇数，为奇数，122134为偶数，为偶数，m1. 5分分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评名师点评】本题集幂函数的概本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质解答此类问题可分为两的概念及性质解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性大步：第一步，利用
11、单调性和奇偶性(图象对称性图象对称性)求出求出m的值或范围；第二的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数图象求出参数a的取值范围的取值范围课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分本题满分12分分)例例3题干不变，题干不变，求解下列问题求解下列问题(1)求函数求函数f(x)；课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅解：解：(1)f(x)的图象关于的图象关于y轴对称，轴对称，f(x)是偶函数，是偶函数，m22m3应为偶数应为偶数. 2分分又又f(x)在在(0，)上是减函数，上是减函数，m22m30，1m3. 4分分又又mN*，m1,2.当当m2时，
12、时，m22m33，不是，不是偶数，舍去；偶数，舍去；当当m1时，时，m22m34.m1，即，即f(x)x4. 7分分课堂互动讲练课堂互动讲练(2)函数函数F(x)的定义域为的定义域为x|x0当当a0，且，且b0时，为非奇非偶时，为非奇非偶函数；函数；当当a0，b0时，为奇函数；时，为奇函数；当当a0，b0时，为偶函数；时，为偶函数；当当a0且且b0时，既为奇函数，时，既为奇函数，又为偶函数又为偶函数. 12分分课堂互动讲练课堂互动讲练1幂函数幂函数yx(0,1)的图象的图象规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练课时活页训练点击进入点击进入
