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1、平行线等分线段定理天津石化一中 曹诚电话：02262086896定理：如果一组平行线在一条直线上 截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.证明： 连结AB1、A1B、BC1、B1C，AB=BC，SABB1=SCBB1；l1l2l3，A1B1=B1C1.说明：这里是用面积来证明的, 请你注意学习这种方法.SA1BB1=SC1BB1，已知：直线 l1l2l3，AB=BC，求证：A1B1=B1C1.H（等底同高）（同底等高）ABCl1l2l3A1B1C1SABB1=SA1BB1，SCBB1=SC1BB1，注意：下图也是本定理的适用情况。ABCl1l2l3A1B1C1直线 l1l2l3，AB
2、=BC，A1B1=B1C1.注意：下图也是本定理的适用情况。ABCl1l2l3A1C1直线 l1l3，AB=BC，A1B=BC1.(不再用全等三角形来证明.)注意：下图也是本定理的适用情况。ABCl1l2l3A1B1C1直线 l1l2l3，AB=BC， A1B1=B1C1.从特殊情况的研究中得到后面的两个推论.推论1：ABCl1l2l3A1B1C1推论1：ABCl1l2l3A1B1C1推论1：ABCl1l2l3A1B1C1推论1：ABCA1B1C1推论1：ABCA1B1C1推论1：ABCA1B1C1推论1：ABCA1B1C1推论1：ABCA1B1C1推论1：ABCA1B1C1推论1：经过梯形一
3、腰的中点与底边平行的直线, 必平分另一腰.A1B1=B1C1.在梯形 ACC1A1中， AA1CC1 ，AB=BC, BB1CC1，ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCl1l2l3A1B1C1推论2：ABCB1C
4、1推论2：ABCB1C1推论2：ABCB1C1推论2：ABCB1C1推论2：推论2：ABCB1C1推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.在ACC1中，AB1=B1C.AB=BC，BB1CC1，ABCB1C1AF交BE于O，且AO=OD=DF，厘米.若BE=60厘米，那么BO=CDEFO20一、填空题1：已知ABCDEF，AB一、填空题2：且AE=BE， 那么DF=.CF已知ADEFBC，E FBCADE是AB的中点，则DG=，H是EFBCADGH的中点，.F是的中点BGACCD一、填空题3：已知ADEFBC，一、填空题4：已知ABC中，AB=AC，ADBC，M是AD的中点
5、，CM交AB于P，DNCM交AB于N，如果AB=6厘米，则PN=厘米.2ABCD.MPN一、填空题5：已知ABC中，CD平分ACB，ABCDAECD交BC于E，EDFCB交AB于F，FAF=4厘米，则AB=厘米.8二、判断题1：若ABCDEF，ABCDEFAC=CE，则 BD=DF=AC=CE.( )二、判断题2：则ABCDEF，如图，若 AC=CE，BD=DF，( )ABCDEFABCDEF二、判断题3：过平行四边形对角线的交点且平行于一组对边的直线必平分另一组对边。( )ABCDOMN(二、判断题4：如图，已知ABCD中，( )AA1l,BB1l,CC1l,DD1l,连结AC、BD交于点O
6、，作OO1l,则A1B1=C1D1.ABCDOlA1B1C1D1O1二、判断题5：过梯形一腰的中点且平行于底边的直线平分两条对角线及另一腰。( )PNMABCD(Q(三、证明题1：已知：RtABC中，ACB=90，ABCD为BC边的中点，DDEBC交AB于E，E求证：AB=2CE.分析：需要证明E是AB的中点，使CE成为斜边的中线.证明：ACB=90，BDE=ACB，DECA，D是BC的中点， E是AB的中点，AB=2CE.DEBC， BDE=90；三、证明题2：已知：ABCD中，E、F分别是AB、DC的ABCDEF中点，MN求证：BM=MN=NC.分析：需证明ECAF.证明：四边形ABCD是
7、平行四边形，AB=DC，ABDC；.分别交BD于M、N，E、F分别是AB、DC的中点，AE=FC，四边形AECF是平行四边形，ECAF,BM=MN, MN=ND, 即BM=MN=ND. CE、AF三、证明题3：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABCDEE是AB边的中点，EFDC，交BC于F，F求证：DC=2EF.证明：M作EMBC交DC于M，E是梯形ABCD的腰AB的中点，M是DC的中点，即DC=2MC；EFDC，EF=MC，DC=2EF.三、证明题4：已知：直角梯形ABCD中，ADBC， ABC=90，ABCDEE是DC边的中点，求证：AE=BE.分析：需证E在AB的中垂线上.证明：F作EF
8、BC交AB于F，E是梯形ABCD的腰DC的中点，F是AB的中点；EFBC，ABC=90，AFE=ABC=90，EF是AB的垂直平分线，AE=BE.三、证明题5：已知：ABC的两中线AD、BE相交于点G，ABCDEGCHEB交AD的延长线于点H，H求证：AG=2GD.分析：需要证明GH=2GD=2DH.证明： AD、BE是中线，AE=EC，BD=DC，CHEB，AG=GH，AG=2GD.本题说明三角形的两中线的交点把中线分成2：1的两部分.这个结论叫做重心定理.（现行课本已把它略去.）GD=DH，三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABCDEABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F
9、，F求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其它直线上截得 相等的线段.三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABCDEABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，F求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其它直线上截得 相等的线段.证明1：O连结BE交AF于点O，四边形ABDE是平行四边形，AFBC，EF=FC.BO=OE；ABCDEF证明2：H延长ED交BC于点H，四边形ABDE是平行四边形，AFBC，EF=FC.四边形ABHD是平行四边形，AB=DH，ED=DH；ABED，即ABDH，且AB=ED，三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD
10、的延长线交EC于F，求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其它直线上截得 相等的线段.ABCDEF证明3：M三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其它直线上截得 相等的线段.ABCDEF证明4：N三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.分析：需证明AF、BC在 其它直线上截得 相等的线段.证明5：ABCDEFP。AAS分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边
11、形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证明6：AASABCDEFQ。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证明7：ABCDEFS）AAS分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.）证明8：ABCDEFT）。AAS分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证明
12、9：AASABCDEFP。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证明10：AASABCDEFQ。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证明11：AASABCDEFS。分析：本题还有多种构造全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.证明12：AASABCDEFT。分析：本题还有多种构造
13、全等形的证法.例如：三、证明题6：已知：梯形ABCD中，ADBC，ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F，求证：EF=FC.三、证明题7：已知：ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，DF交BC于E，求证：DE=EF.分析：这是一道应已证过的题。除用证三角形全等的方法外，本题还可用平行线等分线段定理的推论来证明。这里给出动画显示，证明的语句略去。证明1：ABCDEFH）（. . .证明2：ABCDEFH(以下略去。）三、证明题7：已知：ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，DF交BC于E，求证：DE=EF.三、证明题8：已知：AC
14、AB，DBAB， O是CD的中点，求证：OA=OB.分析：需证明点O在AB的垂直平分线上.证明： 作OEAB于E，ACAB，DBAB，CAB=90，DBA=90，CAB=OEA=DBA，ACOEDB；O是CD的中点，E是AB的中点，OE是AB的垂直平分线，OA=OB.则OEA=90；ABCDOE三、证明题9：已知：AD为ABC的中线，ABCDMPM为AD的中点，直线CM交AB于点P，求证： AP= 13AB.分析：可证明BP=2AP.证明：Q作DQCP交AB于点Q；D是BC的中点，M是AD的中点，Q是BP的中点，P是AQ的中点，AP=PQ=QB，AP= 31AB.三、证明题10：已知：ACB=90，AC=BC，ABC求证：MN=NB.分析：若结论成立，则过B作NC的平行线交直线AC必截得相等的线段，反之亦然.DEFMNCE=CF， EMAF，CNAF，三、证明题10：ABC证明：D延长AC到D，使CD=CE，连结DB.ACB=90，CNAF，CAF=CBD；NCF=CAF=CBD，EMAF，EMCF，MN=NB.则ACFBCD，EFMNDBCN；EMCNDB，小结：平行线等分线段定理是一个重要的定理，在这里是利用面积证明的，这种证法还可以用于后面即将学到的平行线分线段成比例定理。
