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1、一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a(a、b b、c c为常数为常数, ,a0a0) )的函数的函数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,x是自变量是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项项系数和常数项.1 1、二、二次函次函数的定义数的定义: : 2、一次函数的图象是一条、一次函数的图象是一条_，正比例，正比例函数的图象是函数的图象是_. 3、 通常怎样画一个函数的图象？通常怎样画一个函数的图象？直线直线一条经过原点的直线。一条经过原点的直线。4、 二次函数的图象是什么二次函数的图象是什么形形 状
2、呢？状呢？列表、描点、连线列表、描点、连线 结合结合图象图象讨论讨论性质性质是是数形结合数形结合的研究函数的重要的研究函数的重要方法我们得从最方法我们得从最简单的二次函数开简单的二次函数开始逐步深入地讨论始逐步深入地讨论一般二次函数的图一般二次函数的图象和性质象和性质 2 224644826.1.2二次函数二次函数y=ax2的图象的图象xy=x2y= - x2.0-2 -1.5-1-0.511.50.5200.2512.2540.2512.254用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结
3、时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4注意：列表时自变量注意：列表时自变量取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。思考：这
4、两个抛物线是思考：这两个抛物线是对称图形吗？对称图形吗？下面是两个同学画的下面是两个同学画的 y=0.5x2 和和 y=-0.5x2的图象的图象,你认为他们的作你认为他们的作图正确吗图正确吗?为什么为什么?例例1 在同一直角坐标系中，画出函数在同一直角坐标系中，画出函数 的图象的图象解：分别填表，再画出它们的图象，如图解：分别填表，再画出它们的图象，如图x432101234x21.510.500.511.5284.520.5084.520.584.520.5084.520.5 22246448函数函数 的图象与函数的图象与函数 y=x2 的图象相比，的图象相比，有什么共同点和不同点？分别是什么
5、？（从开口方向、顶点坐标、有什么共同点和不同点？分别是什么？（从开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、对称轴、增减性、a值的作用方面研究。）值的作用方面研究。）22246448相同点相同点：开口：向上，：开口：向上， 顶点：原点（顶点：原点（0,0）最低点最低点 对称轴：对称轴： y 轴轴增减性：增减性：y 轴左侧，轴左侧，y随随x增大而减小增大而减小 y 轴右侧，轴右侧，y随随x增大而增大增大而增大不同点不同点：a 值越大，抛物线的开值越大，抛物线的开口越小口越小探究探究 画出函数画出函数 的图象，并考虑这些抛物的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点线有什么共同点和不同点x4321012
6、34x21.510.500.511.5284.52 0.5084.520.584.520.5084.520.522246448从开口方向、顶点坐标、从开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、对称轴、增减性、a值的作用值的作用方面研究。）方面研究。）请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。yyyyxxa0xxa0y轴轴右右侧侧y轴轴左左侧侧图象图象开口开口方向方向对称轴对称轴顶点顶点y=ax2增增大大(0,0)(0,0)最低点最低点(0,0)(0,0)最高点最高点y y轴轴y y轴轴向上向上向下向下增增大大减减小小增增大大增增大大增增大大减减小小增增大
7、大|a|越大越大,抛物线的开口越小抛物线的开口越小;1 1、函数、函数y=2xy=2x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对称对称轴轴 , ,顶点是顶点是 ; ; 2 2、函数、函数y=y=3x3x2 2的图象的开口的图象的开口 , ,对对称轴称轴 , ,顶点是顶点是 ; ;向上向上向下向下y轴轴y轴轴(0,0)(0,0)3 3、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 ，在在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函
8、数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，时，函数函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0 m+10 m m2 2+m=2 +m=2 解解得得:m:m1 1= =2, m2, m2 2=1 =1 由由得得:m:m1 1 m=1m=1 此时此时, ,二次函数为二次函数为: y=2x: y=2x2 2, ,1.
9、 1. 二次函数的图像都是二次函数的图像都是抛物线抛物线. .2. 2. 抛物线抛物线y=axy=ax2 2的图像性质的图像性质: : (2)(2)当当a0a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上, ,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点; ; 当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0时，函数时，函数y=ax2+c的图象可的图象可由由y=ax2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到，当个单位得到，当c0时，时，函数函数y=ax2+c的图象可由的图象可由y=ax2的图象的图象向向 平移平移 个单位得到。个单位得到。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数函数y=-x2-2的图的图象
10、可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向下下平移平移2个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=-x2+3的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向上上平移平移3个单位长度得到个单位长度得到.图象向上移还是向下移图象向上移还是向下移,移多少个移多少个单位长度单位长度,有什么规律吗有什么规律吗?上加下减上加下减相同相同上上c下下|c| (1)函数函数y=4x2+5的图象可由的图象可由y=4x2的图象的图象 向向 平移平移 个单位得到；个单位得到；y=4x2-11的图象的图象 可由可由 y=4x2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到。个单位得到。（3）将抛物线）将抛物线y=4
11、x2向上平移向上平移3个单位，所得的个单位，所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。 将抛物线将抛物线y=-5x2+1向下平移向下平移5个单位个单位,所得的所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。(2)将函数将函数y=-3x2+4的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得 y=-3x2的图象；将的图象；将y=2x2-7的图象向的图象向 平移平移 个个 单位得到单位得到y=2x2的图象。将的图象。将y=x2-7的图象的图象 向向 平移平移 个单位可得到个单位可得到 y=x2+2的图象。的图象。上上5下下11下下4上上7上上9y=4x2+3y=-5x2-4 当当a0时，抛物线时，抛物
12、线y=ax2+c的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的的增大而增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，当当x= 时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 ； 当当a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向上向下向下(0 ,c)(0 ,c)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。 当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 x=0时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线抛物线y=ax2 +c (a0)的图象可由的图象可由y=ax2的图象通过上的图象通过上下平移得到下平移得到.
