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1、教师姓名学生姓名年 级局二上课时间学 科 数学 课题名称 圆锥曲线综合圆锥曲线综合一、点差法1、点差法的基本步骤：设弦两端点尸（ 西方） ,0 伍 , ） ,代入曲线方程；将两方程作差，并用中点公式求出弦所在直线的斜率屋写出弦的方程并代入验证，其中代入验证必不可少. 一般来说，以椭圆内任意一点为中点的弦一定存在；以双曲线和其渐近线所夹区域内的点为中点的弦一定不存在.2、点差法为什么需要验证高中数学冲刺培优2以椭圆5 + 丫2 = 2为例，对任意义 。，以M（ x0 ,%） 为中点的弦所在的直线是同一条直线，只要是椭圆内即可，从我们的做题过程中，第一步和第二步跟人的数值无关.椭圆的情形2 2例1
2、、直线/ 过点M （ 1 , 1 ） ,与椭圆二+- = 1相交于/、8两点，若4 8的 中 点 为 试 求 直4 3线/ 的方程.答案： 设4 （司, ）1 ） , 8 （巧, 乃） ，9 9哈+ ( 1 ,2 2旦x7 y9 与+ 二1. 4 3，得 （ 匹72） 5+） +（ ） 乃） 3+为） = 0 .4 3.% 一为 3 画 +巧.- = - - .网 一巧 4 乃 +乃又M 为 4 8 中点，. . . X + 9= 2 , + 乃= 2 .3. . 直线/ 的斜率为一= .4. . 直线/ 的方程为y -l = -5 （ x-l） ,即3 x+ 4 y -7 = 0 .2 2x
3、 y 1例2、在椭圆；7 +上 =1上是否存在关于直线2 x - y - 1 = 0对称的相异两点？若存在，请找出;1 6 1 2若不存在，说明理由选题：对称问题解析：假设存在，设此两点为A（ 百, ） , 3 （ & ,必 ） ，则2法一：点差法，,两式相减，得.a2 b-2 2 2 21 X _% = 0 5 | -） 2） 1+ 2= 1 21 6 1 2 ，X j -x2 x, + x2 1 6 ，而直线A3的 斜 率 为 二 旦 = 一 : ， . . 、 = 3 土 土 区 ，而中点也满足2 x y l = 0,联立得中点百一工2 22 2 2为（ 2 , 3 ） ,而此点在椭圆上
4、，与题中两点相异矛盾，故不存在法二：直线与圆锥曲线联立2 21 K V设直线A3的为y = 代 入 正+=1得” 2 7如V + H/ 1 2 = 0（ m 3 m，AB的 中 点 为 ,代入2 x-y -l = 0,得加= 4 ,I， 4 /. 中点为（ 2 , 3 ） ,而此点在椭圆上，与题中两点相异矛盾，故不存在双曲线的情形y2例3、易错题：已 知 双 曲 线 / 一5 = 1 ,问过A（ l, l）能否作直线/ 交双曲线于P , Q两点，且A为线 段PQ的中点，若存在，求出直线/ 的方程，若不存在，说明理由.错解：用 “ 点差法”求出斜率 = 2,故/ 的方程为y = 2 x l错因：
5、用“ 点差法” 求解时，忽视了代入验证，其实此时A 一1 = 攵（ -1 ） , （ 左不存在时，不符合，舍 ） ，y = kx-v（ -kn (k- 2) x2 + 2kQ k) x+ ( 1 攵 ) + 2 = 0 ；高中数学冲刺培优“ 2 2 H f ) 必须符合 n = 左 ( , V 2 ) U (V 2 , V 2 ) U ( V 2 , )；A 02由题意，1 = 土 = 空 二&n% = 2,不符合前提，所以不存在.2 2 k2-2抛物线的情形例4、在平面直角坐标系x O y中，已知直线/ ： X -丫一2 = 0 ,抛物线C : y 2 =2 p x （ p 0 ） ,已知抛
6、物线C上存在关于直线I对称的相异两点尸和Q ,（ 1 ）求证：线段PQ的中点坐标为（ 2 p , 一 p ） ；（ 2 ）求p的取值范围.选自：2 0 1 6江苏2 2解析： 设P （ X| ， x） , Q（ w， %） ，则 y ； =2 p % , y ； = 2 p % 2 ,两式相减得2P X fyt + y2 5 石一犬*=2（ 芯 - ） , 导= -1, y + % = 2y中, y中一p .中点在直线/ 上，二。=2 - p ,. . 线段尸Q的中点坐标为（ 2 一 , 一 ）（ 2 ）中点在抛物线内可得P的取值范围.2 - p 02 ， ( 2 -口) /L 4解得p e
7、O q、7f 2例5 （ 1 8分=4分+6分+8分）已知椭圆厂的方程为/ + 万 = l（ a b 0 ） .（ 1 ）设直线/ ： y = x + p交椭圆于C、。两点，交直线k y=k,x于点、E .若勺&2 = - - T，a证明：E为CO的中点；（ 2 ）设点P在椭圆内且不在x轴上，Q（ a , 0 ） ,如何作过尸。中点F的直线/ , 使得/ 与椭圆的两个交点g满 足 加1 + % = 而？令 。=1 0 ,匕= 5,点尸的坐标是（ 一8 , 1 ） .若椭圆上的点儿 鸟 满 足 丽 | + 巫 = 而 ，求点片出的坐标.4答案：（ 1 ） :点差法（ 2 ）因为点尸在椭圆内且不在
8、X轴上，所以点尸在椭圆内，可以求得直线O尸的斜率左2 ,根据b2（ 2 ）可得直线/ 的斜率= - 义 一 ，可得直线的点斜式方程,crk.、椭 圆 方 程 为 ； + 三 =1 ,。（1 （ ） , 0 ） ,从而线段PQ的中点为尸（ 1 , - ,，直线0尸的斜率1 0 0 2 5 0恒成立，所以| = J1 + A 6生仁=W葭D9 % +1 9 Z +1高中数学冲刺培优而K到直线/ 的距离为%： ,所以的面积S = ；6 （公+1 ） 4及 | 3 _ 1 2 & J / + 氏2 _1 2夜Jl + 79k2+1 .乔丁 9FT1 9+k2因 为 平 3,所以 M N *面积的最大值
9、为3 .解法二：显然直线/ 的斜率不为零，故设直线/ 的方程为 = 阳 -2 0,与椭圆方程联立，得:( m2 + 9 ) y2 -4 2my-1 = ( ) ,设“ ( ,乂) 、M 9 , % ) ，4 ybm因为点片在椭圆内，所以A0恒成立，所以X + % = m +791L m +9所以AMV外 的面积S= J4其| |乂 % 1 = 2立 , 而 入 了 二 2 * +1 = A - 由9 9 ，得 x 2bx b 1 = 0 .2X2- /= 1( % + M = 2b设尸( 孙川) 、。 (1 2,拄) ，则 C 4 C B / 3 ) U -6A/3,点C是抛物线准 角C为钝角
10、10向量等式本质上是关于横坐标、纵坐标的两个等式例 1 3 、己知双曲线： 2一 2 =,过点尸（ 7 , 0 ） 的 直 线 / 交 F 于另一点。两点， P ， 为 P 关于y轴的对称点，直线P Q 与 y 轴交于点N （ O , “ ） ，且 而 ;= g p 。，求直线/ 的斜率攵的值.选自：20 1 7 春考20 - 2选题：向量等式选用横坐标1 、设过点0（ 0 , 3 ） 的直线交曲线 江 + !=1于 R Q两点，且 丽 =， 而，求实数f 的取值范围.答案： 1 - 5选题：本题使用纵坐标做十分简单高中数学冲刺培优iD/中点问题例 1 4 ：设椭圆c ： _ + = i ，设
11、点M是曲线。 上任意一点，G ” 为圆27 : （ “ 一3 ） 2 + ： /=1的任意一条直径，求 闲 后 砺 的取值范围.分析：砺,而=（ 而 + 砺） （ 而+ 丽） = | 丽 一 | 阿 ？答案：0,24六、高考考察类型一：例 1 5 、在平面直角坐标系x 0 y 中，已知点产。 ） ，直线/ : x = 3,曲线： y2= 8 x （ 0 x 2 0） , / 与x 轴交于点A、与 交于点3 , P 、。分别是曲线与线段A8上的动点，| 世 | = 2,线段OQ 的中点在直线口 上，求 A A Q P 的面积；选自：20 1 8 年上海秋20 - 2* *套室 & _ 7 V3口
12、 茉：- -,12解析：依次求出Q （ 3 , 6 ） , 0Q 的中点：5 , 直线F尸: y = -& + 2 g ,与抛物线y 2 = 8 x 联立得尸点的横坐标与= |,所以S 8 =乎国课堂练习o1 、已知椭圆 + 丁 =1,斜 率 为 左 （ 0 ）且不过原点的直线/ 交椭圆于A 、B两点，A5的中点为 石 ，射线OE 交椭圆于点G, 交直线x = 3于点。（ 一 3 ,加） ，求病+ 二最小值答案：2高中数学冲刺培优( I )设直线/的方程为 = * ,+ * 0 ),由题意， 0 ,方程组得：(3P + 1 1 + 6MN + 3/一 3 = 0。由题意4 0 ,所以3Z+i
13、产。设/( 门) .四小.山) ，由韦达定理得上 +1 2 =一元算丁 所以仍+ - =：。由于E为线段A 的巾点，因此“ =一豆 ？ ： 丁 二 口 ；4 丁 此J * + 1 卜 1 3九 -+ 1 J A ,- + 1时* 。E = K = - 1 所以O E所在的直线方程为= 一3。又由题设知。T. m),令 = - 3,得m = ： ，工 右 3 A 3k K即 所 以 产 + 2 r皿 =2,当且仅当e = 小 =1时上式等号成立，此时由4 0得0 f 2,因此 当m = *=l且 。vf 2=1上任意一点尸做双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为片,8 ,求所 所 的值。选题：双曲线
14、中的定值14提示：设 户 ( /) , ( & * ) ,4 ( 9 ,)由 跳 . 丽= 0 ,得 ( 西 7 ) 5 + ( y _ y ) y = 0, ( x ) -x j + l -x ,-j l -x , = 0, x ,= 1 + 41x y同理百二一十，P-P = (xt-x)(x2-x)+ (y,-y)(y2-y) = -1 + - 1 044、 已知直线/过定点A ( 4 ,0)且与抛物线。： 丁 =2 * ( 0)交 于 /。两点， 若以PQ为直径的圆恒过原点，求 产 的值答案： 尸= 25、抛物线y 2 = 2 p x ( p 0) ,过直线% =% ( 定值) 上任一点尸作以P为中点的弦A3,求证:A3的垂直平分线过定点答案：( 毛+ ,0)提示：利用对称性得知定点在X上，进而转化为求定值高中数学冲刺培优16
