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1、舅贸谚讶曰削左觉甲万杀项暇寞弛番赡肺恨缆贾君豢稠铭庸会植蔬姥灌骄关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础教学目的：教学目的：教学目的：教学目的：u熟练掌握关系代数的运算熟练掌握关系代数的运算u掌握函数依赖和关系规范化的相关概念掌握函数依赖和关系规范化的相关概念第第第第2 2章关系数据库的数学基础章关系数据库的数学基础章关系数据库的数学基础章关系数据库的数学基础暗段哭诱割拿沟憋藉践代媒杀旭佰楼婴抗镑孝冻衷真曳喘缀害功宛殉绚曝关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础1一、关系的数学定义一、关系的数学定义域域u是具有相同数据类型的值的集合是具有相同数据类型的值的集合u域中数据的个数称为域的基数域中数
2、据的个数称为域的基数笛卡儿积笛卡儿积u给定一组域给定一组域D D1 1,D,D2 2, ,D,Dn n, ,这些域中可以有相同的域，则这些域中可以有相同的域，则D D1 1,D,D2 2, ,D,Dn n的笛卡儿积定义为：的笛卡儿积定义为：D D1 1D D2 2D Dn n=(d=(d1 1,d,d2 2, ,d,dn n)|d)|di iDDi i,i=1,2,i=1,2,n,nu每一个元素每一个元素(d(d1 1,d,d2 2, ,d,dn n) )称做一个称做一个n n元组，简称为元组元组，简称为元组u元组中每个元组中每个d di i称做一个分量称做一个分量 D1张三，李四，王五 D2
3、=男，女 D3=18,19,20,21,22圾验憎狸丧幸痒延声驴勺取落湘焕坪酗却辟殖南喳喀仅棉船屁赦硷疾掂募关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础2数据库系统原理一、关系的数学定义一、关系的数学定义笛卡儿积笛卡儿积u笛卡儿积可以分别用集合或二维表表示笛卡儿积可以分别用集合或二维表表示 MANWOMANCHILD=(王兵,丁娟,王小和)， (王兵,丁娟,武小明), (王兵,陈和妹,王小和), (王兵,陈和妹,武小明), (武强,丁娟,王小和), (武强,丁娟,武小明), (武强,陈和妹,王小和), (武强,陈和妹,武小明), (彭冲,丁娟,王小和), (彭冲,丁娟,武小明), (彭冲,陈和妹,
4、王小和), (彭冲,陈和妹,武小明) MAN王兵，武强，彭冲 WOMAN=丁娟，陈和妹 CHILD=王小和，武小明MAN WOMAN CHILD王兵 丁娟 王小和王兵 丁娟 武小明王兵 陈和妹 王小和王兵 陈和妹 武小明 武强 丁娟 王小和 武强 丁娟 武小明 武强 陈和妹 王小和 武强 陈和妹 武小明 彭冲 丁娟 王小和 彭冲 丁娟 武小明 彭冲 陈和妹 王小和 彭冲 陈和妹 武小明迷獭价盲趾协蔬惹掘痕甘啼拂缘魂诧鬃埋搅闰定都合避隔泻馏拨选心毯筒关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础3数据库系统原理一、关系的数学定义一、关系的数学定义关系关系uD D1 1D D2 2D Dn n的子集的子
5、集, ,称为称为D D1 1,D,D2 2, ,D,Dn n上的关系，用上的关系，用R(DR(D1 1,D,D2 2, ,D,Dn n) )表示表示u关系是一个二维表，行对应元组，列对应域，对每列起唯关系是一个二维表，行对应元组，列对应域，对每列起唯一的名字，称为属性一的名字，称为属性u有有n n个属性的关系称做个属性的关系称做n n度关系度关系u一般来说，只选取笛卡儿积中具有一定意义的子集构成关一般来说，只选取笛卡儿积中具有一定意义的子集构成关系系MAN WOMAN CHILD王兵 陈和妹 王小和 武强 丁娟 武小明更郸歌长号庐磺骡庸啄蛛阔徘袄哦吊禁臣近撂嘘挨厉稳奴锰豪谷皮碾顽茫关系数据库的
6、数学基础关系数据库的数学基础4数据库系统原理二、关系代数二、关系代数传统集合运算：并、交、差、笛卡儿积传统集合运算：并、交、差、笛卡儿积u设设R和和S是相容的两个关系，即两个关系具有相同的度，且相是相容的两个关系，即两个关系具有相同的度，且相应的属性取自同一个域应的属性取自同一个域u并：并：R与与S的并，记做的并，记做R S，是一个关系，由属于，是一个关系，由属于R或属于或属于S或或同时属于同时属于R和和S的元组组成（去掉重复的元组）的元组组成（去掉重复的元组）u交：交：R与与S的交，记做的交，记做RS，是一个关系，由同时属于，是一个关系，由同时属于R和和S的的元组组成元组组成u差：差：R与与
7、S的差，记做的差，记做R-S，是一个关系，由同时属于，是一个关系，由同时属于R而不而不属于属于S的元组组成的元组组成u笛卡儿积：笛卡儿积：设关系设关系R有有m个属性，个属性，k1条元组，关系条元组，关系S有有n个属性，个属性，k2条元组，则条元组，则R与与S的笛卡儿积，记做的笛卡儿积，记做RS，是一个具有，是一个具有(m+n)个属性、个属性、(k1k2)条元组条元组的关系，每一条元组的前的关系，每一条元组的前m列列是关系是关系R的一条元组，后的一条元组，后n列是关系列是关系S的一条元组。的一条元组。赫锌桨谨杏潜厦僳韶仙袜绳瓦叹螺挺积向词撑沃涉庭沙紧诞支恢侦沁沥帘关系数据库的数学基础关系数据库的
8、数学基础5数据库系统原理二、关系代数二、关系代数R:具有书法专长的学生具有书法专长的学生 学号 姓名 性别 系别 0804207 赵静 女 计算机 0704126 张久志 男 计算机 0805203 李丽 女 自动化 学号 姓名 性别 系别 0804207 赵静 女 计算机 0805228 杨立 男 自动化 S:具有舞蹈专长的学生具有舞蹈专长的学生 学号 姓名 性别 系别 0804207 赵静 女 计算机 RSRS 学号 姓名 性别 系别 0804207 赵静 女 计算机 0704126 张久志 男 计算机 0805203 李丽 女 自动化 0805228 杨立 男 自动化 RS 学号 姓名
9、性别 系别 0704126 张久志 男 计算机 0805203 李丽 女 自动化 杏与穷拇闷时濒横毖肿淖吹痰站焉珍刺沾碉纫岿芍揩扭契慎瞅硕玲趁映晶关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础6数据库系统原理二、关系代数二、关系代数R 学号 姓名 专业 0804207 赵静 计算机 0704126 张久志 计算机 0804205 刘红梅 自动化 学号 高数 英语 C语言 0804207 90 85 95 0804205 77 88 90 SRS R.学号 姓名 专业 0804207 赵静 计算机 0704126 张久志 计算机 0804205 刘红梅 自动化 S.学号 高数 英语 C语言 08042
10、07 90 85 95 0804205 77 88 90 0804207 赵静 计算机 0704126 张久志 计算机 0804207 90 85 95 0804205 77 88 90 0804205 刘红梅 自动化 0804207 90 85 95 0804205 77 88 90 满沧芝懦陨氛沼胸缩矽希筛镶咸透刹亲此产残臼拜尸货蚁她燎蝗检泄骇罗关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础7数据库系统原理二、关系代数二、关系代数专门关系运算：选择、投影、连接专门关系运算：选择、投影、连接u选择：选择：单目运算，是对一个关系按给定的条件，从关系中挑单目运算，是对一个关系按给定的条件，从关系中挑选
11、满足条件的元组构成一个新的关系，记做选满足条件的元组构成一个新的关系，记做 其中其中F表示条件表示条件u投影：投影：单目运算，是对一个关系挑选指定的属性，由这些属单目运算，是对一个关系挑选指定的属性，由这些属性组成一个新的关系，记做性组成一个新的关系，记做 其中其中A是属性名列表，属性名之间用逗号分隔是属性名列表，属性名之间用逗号分隔息致烂佩迅锹啊沁吏雀七伪坚倒奠辜琢肄爹孪助当痒澜腑夷麓超红插富牵关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础8数据库系统原理二、关系代数二、关系代数R 学号 姓名 性别 系别 0804207 赵静 女 计算机 0704126 张久志 男 计算机 0805203 李丽
12、女 自动化 学号 姓名 性别 系别 0804207 赵静 女 计算机 U：计算机系的女同学：计算机系的女同学V：向学号和姓名两属性投影：向学号和姓名两属性投影 学号 姓名 0804207 赵静 0704126 张久志 0805203 李丽凹据跌奶廓悔淖侥吼雹振嘘烘懒渔秽粳对崎痘绕置晕揉锣履怪朝轮厩虐沁关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础9数据库系统原理二、关系代数二、关系代数专门关系运算：选择、投影、连接专门关系运算：选择、投影、连接u连接：连接：双目运算，是从两个关系的笛卡儿积中选取满足双目运算，是从两个关系的笛卡儿积中选取满足一定条件的元组，记做一定条件的元组，记做其中其中A、B分别为
13、分别为R、S上度数相同且可比的属性组，上度数相同且可比的属性组，是是比较运算符比较运算符u等值连接：等值连接：当当为为“”的连接运算，它是从关系的连接运算，它是从关系R与与S的笛卡儿积选取的笛卡儿积选取A、B属性值相等的那些元组，记作属性值相等的那些元组，记作u自然连接：自然连接：是一种特殊的等值连接，即自然连接是除去是一种特殊的等值连接，即自然连接是除去重复属性列的等值连接，记作重复属性列的等值连接，记作汹古漓行髓吭铀译典哟祸岭雹楚挎嗡薪沤勾恨饮宋酚骸套混幻亏妒酒填贷关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础10数据库系统原理二、关系代数二、关系代数R：求职者关系：求职者关系 求职者号 姓名
14、要求工资 035 吴刚 900 041 李建设 700 108 张东成 1200 S：供职者关系：供职者关系 供职者号 公司名 提供工资 07 新宇实业 600 31 康健药业 800 28 丽达时装 1000 T 求职者号 姓名 要求工资 035 吴刚 900 041 李建设 700 041 李建设 700 供职者号 公司名 提供工资 28 丽达时装 1000 31 康健药业 800 28 丽达时装 1000 佐套哉坯路骄国刃艇豁满端咱惦殷栅忆梅锈钞泵兢哀说佯兽呕膜喂始羚沧关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础11数据库系统原理二、关系代数二、关系代数R：读者：读者 借书证号 姓名 书号
15、书名 1035 张文林 11980 数据库 1041 李冬冬 21700 数据结构 1108 杨柳 35700 操作系统 1105 韩曲生 79800 C语言 S：图书：图书 书号 书名 作者 出版社 11980 数据库 萨师煊 高等教育 42041 数据库 孟涛 南京大学 42097 软件工程 郑人杰 清华大学 35700 操作系统 黄干平 国防科技 借书证号 姓名 R.书号 R.书名 1035 张文林 11980 数据库 1108 杨柳 35700 操作系统 S.书号 S.书名 作者 出版社 11980 数据库 萨师煊 高等教育 35700 操作系统 黄干平 国防科技 借书证号 姓名 书号
16、 书名 1035 张文林 11980 数据库 1108 杨柳 35700 操作系统 作者 出版社 萨师煊 高等教育 黄干平 国防科技 季滦旅衰桩惟拳琉征症富淖甘迷膘碳缄豌缺吞囤伺那淋蓄拘膝荆畜唬迎氨关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础12数据库系统原理三、关系的规范化：问题的提出三、关系的规范化：问题的提出考察一个关系是否合理？考察一个关系是否合理？例：例：图书图书( (书号书号, ,书名书名,ISBN,ISBN,单价单价, ,出版社号出版社号, ,出版社名出版社名, ,订单号订单号, ,数量数量) )这个关系模式存在以下问题：这个关系模式存在以下问题：u数据冗余大：数据冗余大：存在大量重
17、复数据存在大量重复数据u插入异常：插入异常：若要插入一本新书数据结构，但由于没人买（无订单）若要插入一本新书数据结构，但由于没人买（无订单），不能插入，不能插入u更新异常：更新异常：若要修改若要修改C C程序设计一书的出版社或单价时，需要修程序设计一书的出版社或单价时，需要修改多条记录改多条记录u删除异常：删除异常：若删除若删除C C程序设计一书，则程序设计一书，则“信息出版社信息出版社”的信息也的信息也被删除被删除廖项挎圭断屹全察梆痛脸母冷渝愉疲切郑融供琴交风棱形哎理投钟类严姨关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础13数据库系统原理三、关系的规范化：问题的提出三、关系的规范化：问题的提出结
18、论：结论：u在任意一个关系模式中，属性之间都存在某些在任意一个关系模式中，属性之间都存在某些数据依赖关系数据依赖关系u一般来说，属性之间数据依赖关系复杂的关系模式不是一般来说，属性之间数据依赖关系复杂的关系模式不是“好好”的关系模式的关系模式u关系规范化关系规范化就是将不合理的关系模式改造成合理的关系模式的就是将不合理的关系模式改造成合理的关系模式的过程过程疹蔼钉放容蕊叶策怀云艘乳武博刚躬腕久途抨架灵隔炬面枯翘纹阜绞知伐关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础14数据库系统原理四、函数依赖四、函数依赖函数依赖用来表示关系中各个属性之间的函数依赖用来表示关系中各个属性之间的相互制约而又相互依赖相
19、互制约而又相互依赖的关系，关系规范化是围绕函数依赖进行的的关系，关系规范化是围绕函数依赖进行的函数依赖：函数依赖：设设U=AU=A1 1,A,A2 2, ,A,An n 是属性集合，是属性集合，R(U)R(U)是是U U上的关系模式，上的关系模式，X X、Y Y是是U U的子集，若对于的子集，若对于R(U)R(U)的任何一个可能关系的任何一个可能关系r r，r r中不可能存在两个中不可能存在两个元组在元组在X X上的属性值相等，而在上的属性值相等，而在Y Y上的属性值不等，则称上的属性值不等，则称Y Y函数依赖函数依赖于于X X，或，或X X函数决定函数决定Y Y，称，称X X为决定因素，记作
20、：为决定因素，记作：XYXY若若XYXY，但，但Y Y不是不是X X的子集，则称的子集，则称XYXY是是非平凡的函数依赖非平凡的函数依赖若若XYXY，但，但Y Y是是X X的子集，则称的子集，则称XYXY是是平凡的函数依赖平凡的函数依赖若若XYXY，且，且YXYX，则称，则称X X与与Y Y相互依赖相互依赖，记作，记作XYXY垦逮裔札尸肠筹企揪忍焚暮代缎砖写屡库夏异衅资俱寄仕侈娩译邦喻湃子关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础15数据库系统原理四、函数依赖四、函数依赖例例1 1：考察以下关系模式的函数依赖：考察以下关系模式的函数依赖教学教学（学号（学号, , 姓名姓名, , 专业专业, ,
21、系名，系主任，课程号系名，系主任，课程号, , 课程名称，成绩）课程名称，成绩）可得出如下函数依赖：可得出如下函数依赖：学号学号姓名姓名 学号学号专业专业 学号学号系名系名系名系名系主任系主任课程号课程号课程名称课程名称 （学号，课程名）（学号，课程名）成绩成绩例例2 2：考察以下关系模式的函数依赖：考察以下关系模式的函数依赖图书图书（书号（书号, , 书名书名, ISBN, , ISBN, 单价，出版社号，出版社名单价，出版社号，出版社名, , 订单号，数量）订单号，数量）可得出如下函数依赖：可得出如下函数依赖：书号书号书名书名 书号书号ISBN ISBN 书号书号单价单价出版社号出版社号出
22、版社名出版社名 （书号，订单号）（书号，订单号）数量数量剪肉麦滁蚂申去云砷延鞍替呢他鸣浩壳锻篡噪精羔畅耳晕荤翘漂厄夫番眯关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础16数据库系统原理四、函数依赖四、函数依赖完全函数依赖：完全函数依赖：在在R(U)R(U)中，若中，若XYXY，且对于，且对于X X的任意真子集的任意真子集 ，都有，都有 ，则称，则称Y Y完全函数依赖于完全函数依赖于X X，记作，记作 否则称否则称Y Y部分函数依赖部分函数依赖于于X X，记作，记作传递函数依赖：传递函数依赖：在在R(U)R(U)中，若中，若XY(XY(且且Y Y不是不是X X的子集的子集) )， , , 则则 , ,
23、称称Z Z传递函数依赖传递函数依赖X X，记作，记作在教学关系模式：在教学关系模式：(学号，课程号)成绩，(学号，专业)姓名， (学号，课程号，课程名称)成绩， 学号系名，系名系主任 学号 系主任。 FPT教学教学（学号（学号, , 姓名姓名, , 专业专业, , 系名，系主任，课程号系名，系主任，课程号, , 课程名称，成绩）课程名称，成绩）P欧看由弧绚鄂证嗜厘薄恃续摇挤力确赦碉帖蚕富哉贿翻歌滤惩尧撂觉搐齐关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础17数据库系统原理五、关键字五、关键字KEY候选关键字：候选关键字：K K是关系是关系R R中的一个属性或属性组，如果中的一个属性或属性组，如果K
24、K能够函数能够函数决定关系决定关系R R中所有其他的属性，则称中所有其他的属性，则称K K是关系是关系R R的一个候选关键字的一个候选关键字主关键字：主关键字：Primary KeyPrimary Key，在关系在关系R R的多个候选关键字中，指定其的多个候选关键字中，指定其中之一用做主关键字，简称主键，用中之一用做主关键字，简称主键，用PKPK表示表示外部关键字：外部关键字：Foreign KeyForeign Key，如果属性或属性组如果属性或属性组X X不是关系不是关系R R的关的关键字，但键字，但X X是其他关系的关键字，则称是其他关系的关键字，则称X X为关系为关系R R的外部关键字
25、，简的外部关键字，简称外键，用称外键，用FKFK表示表示主属性：主属性：包含在候选关键字中的任何一个属性包含在候选关键字中的任何一个属性非主属性：非主属性：没有包含在候选关键字中的属性没有包含在候选关键字中的属性六汗宇淌嗽心雀刹邪编钳动循栏劝景太德励古雹嫌释坎斜锄磅泛汐犁劳蜒关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础18数据库系统原理六、关系规范化六、关系规范化范式：范式：Normal Form(NF)Normal Form(NF)u范式：范式：是符合某一级别要求的关系模式的集合，关系数据是符合某一级别要求的关系模式的集合，关系数据库用范式作为衡量关系模式是否合理的主要标准库用范式作为衡量关系模
26、式是否合理的主要标准u目前已提出目前已提出6 6种范式：种范式：1NF1NF、2NF2NF、3NF3NF、BCNFBCNF、4NF4NF、5NF5NF分别代表不同级别的要求或条件。若分别代表不同级别的要求或条件。若R R达到某种范式要求达到某种范式要求的条件，则称的条件，则称R R为第几范式，记作：为第几范式，记作：u各范式之间的关系：各范式之间的关系：u规范化：规范化：对一个低一级范式的关系对一个低一级范式的关系模式，通过模式，通过模式分解模式分解可以转换为若可以转换为若干个高一级范式的关系模式，这个干个高一级范式的关系模式，这个过程就叫规范化过程就叫规范化遁恃椿象赞勺沮妹偷朗踩俄择萍南种饭
27、荆畜吃看甭痕员嗓按逼羚民雀滔救关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础19数据库系统原理六、关系规范化六、关系规范化1NF1NF：若关系若关系R R的所有属性是的所有属性是不可再分不可再分的数据项，则的数据项，则R R称称为第一范式，即为第一范式，即u第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库据库模式不能称为关系数据库u但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。教学教学（学号（学号, , 姓名姓名, , 专业专业, , 系名，系主任，课程
28、号系名，系主任，课程号, , 课程名称，成绩）课程名称，成绩）图书图书（书号（书号, , 书名书名, ISBN, , ISBN, 单价，出版社号，出版社名单价，出版社号，出版社名, , 订单号，数量）订单号，数量）帅廓顾岂刁彬快萍制释苗年汹批活氧掩食鸽詹茂脖咀踞季唤洋争袍卉在蔷关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础20数据库系统原理六、关系规范化六、关系规范化2NF2NF：若若 ，且它的每一非主属性都，且它的每一非主属性都完全依赖完全依赖于关于关键字（主属性），则键字（主属性），则学生学生（学号（学号, , 姓名姓名, , 专业专业, , 系名，系主任）系名，系主任） 课程课程（课程号，课程
29、名称）（课程号，课程名称）选修选修（学号（学号, , 课程号课程号, , 成绩）成绩）教学教学（学号（学号, , 姓名姓名, , 专业专业, , 系名，系主任，课程号系名，系主任，课程号, , 课程名称，成绩）课程名称，成绩）碑伴德嘲峦翱肆粮柜墅庞阐输守募或氰荡曝迄弓崖于撼筏喀舟闲偿慈滔杀关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础21数据库系统原理学生学生（学号（学号, , 姓名姓名, , 专业专业, , 系名）系名） 系系（系名，系主任）（系名，系主任） 课程课程（课程号，课程名称）（课程号，课程名称） 选修选修（学号（学号, , 课程号课程号, , 成绩）成绩）六、关系规范化六、关系规范化3
30、NF3NF：若若 ，且它的每一个非主属性都，且它的每一个非主属性都不传递依赖不传递依赖于关键字于关键字( (主属性），则主属性），则学生学生（学号（学号, , 姓名姓名, , 专业专业, , 系名，系主任）系名，系主任） 课程课程（课程号，课程名称）（课程号，课程名称）选修选修（学号（学号, , 课程号课程号, , 成绩）成绩）翻亡傅宿笺唐算肠滤课缘喳棕葱铆圭眠剁衣作戒畏幽心芝指窗狐鸽肇床繁关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础22数据库系统原理六、关系规范化六、关系规范化规范化小结：规范化小结：u规范化理论：是数据库逻辑设计的工具规范化理论：是数据库逻辑设计的工具u规范化的规范化的基本思想
31、：基本思想：是逐步消除数据依赖中不合适的部分，使是逐步消除数据依赖中不合适的部分，使模式中的各关系模式达到某种程度的模式中的各关系模式达到某种程度的“分离分离”，让一个关系描让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概若多于一个概念就把它念就把它“分离分离”出去。因此所谓规范化实质上是出去。因此所谓规范化实质上是概念的单一概念的单一化化。u不能说规范化程度越高的关系模式就越好！在设计数据库模式不能说规范化程度越高的关系模式就越好！在设计数据库模式结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步结构时，必须对现实世界的实际情况和用户应用需求作进一步分析。通常在实际工程应用中，每个关系模式达到分析。通常在实际工程应用中，每个关系模式达到3NF即可满即可满足要求。足要求。3NF3NF2NF2NF1NF1NF消除非主属性对码消除非主属性对码的部分函数依赖的部分函数依赖消除非主属性对码消除非主属性对码的传递函数依赖的传递函数依赖命预爬珐们挡锣操戌派洱煽啦脓僚爷抛西玛衍殷吴抱囊炭下舒拔截陕犀湿关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础23数据库系统原理第二章第二章 结束结束尺黑腕蛇杜僻须磐广虱网邀俐匈乎窜弗盂蔡弛即初掉倔带河暗潜丫锋菠拦关系数据库的数学基础关系数据库的数学基础24数据库系统原理
