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1、发疯了的数学家康托尔（发疯了的数学家康托尔（18451918）是德国数学家，）是德国数学家，集合论的创始者。集合论的创始者。1845年年3月月3日生于圣彼得堡，日生于圣彼得堡，1918年年1月月6日病逝于哈雷。日病逝于哈雷。 康托尔康托尔11岁时移居德国，在德国读岁时移居德国，在德国读中学。中学。1862年年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，学，主修数学，1866年年(21岁）曾去格丁根学习一学期。岁）曾去格丁根学习一学期。1867年（年（22岁）以数论方面的论文获博士学位。岁）以数论方面的论文获博士学位。1869年年（24岁）在哈雷大学通过
2、讲师资格考试，后在该大学任讲岁）在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，师，1872年年(27岁）任副教授，岁）任副教授，1879年（年（34岁）任教授。岁）任教授。康托尔简介康托尔简介 1由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为称为“悖论悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在舍的态度。在18741876年期间，不到年期间，不到30岁的年轻德国岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直
3、线上的点能够和一个平面上的点一一对功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都都“一样多一样多”，后来几年，康托尔对这类，后来几年，康托尔对这类“无穷集合无穷集合”问问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。论。 康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对
4、。有人说，康托尔的集合论是一种遭到一些人的反对。有人说，康托尔的集合论是一种“疾疾病病”，康托尔的概念是，康托尔的概念是“雾中之雾雾中之雾”，甚至说康托尔是，甚至说康托尔是“疯子疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁患了精神分裂症，被送进精神病医院。尔，使他心力交瘁患了精神分裂症，被送进精神病医院。2真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔
5、的工作的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年年1月月6日，康托尔在一家精神病院去世。日，康托尔在一家精神病院去世。 集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完存在，并对无穷问题进行了哲学的
6、讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。康善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。从而解决系的基础。从而解决17世纪牛顿世纪牛顿16421727）与莱布尼）与莱布尼茨（茨（16461716）创立微积分理论体系之后，在近一二）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础.3 “集合集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为为:许多的人或物聚在一起
7、许多的人或物聚在一起. 在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的我们怎样理解数学中的“集合集合”？(一)集合的含义如：班级、学校就是一个集合（集体）4初中学过的集合有：初中学过的集合有：1.数集：数集：实数集实数集有理数集有理数集无理数集无理数集整数集整数集分数集分数集正整数集正整数集负整数集负整数集零零自然数集自然数集2.点集：点集：（1）到一定点的距离等于定长的点的集合）到一定点的距离等于定长的点的集合:（2）到线段）到线段AB的两个端点距离相等的点的集合的两个端点距离相等的点的集合:圆圆线段线段AB的中垂线的中垂线5
8、该怎样给集合下个定义呢？该怎样给集合下个定义呢？（2）方程）方程 的所有实数根的所有实数根（1）120以内的所有质数；以内的所有质数；（3）所有的自然数）所有的自然数（4）我校高一（）我校高一（1）班全体同学）班全体同学（5）直线）直线y=2x+1与与y轴的交点轴的交点有什么共同特点有什么共同特点呢？呢？一些一些“个体个体”合成合成 “整体整体”6(1）、集合）、集合定义：一定范围内某些定义：一定范围内某些确定的、不同的确定的、不同的对象的全体。对象的全体。记法：通常用记法：通常用大写拉丁字母大写拉丁字母A,B,C表示。表示。（2）、元素）、元素定义：集合中的定义：集合中的每一个对象每一个对象
9、称为该集合的元素，简称元称为该集合的元素，简称元记法：常用记法：常用小写拉丁字母小写拉丁字母a,b,c表示表示（3）、元素与集合的关系：）、元素与集合的关系： 属于属于 不属于不属于 1：集合的含义：集合的含义7元素元素（2）方程）方程 的所有实数根的所有实数根（1）120以内的所有质数；以内的所有质数；（3）所有的自然数）所有的自然数（4）我校高一（）我校高一（1）班全体同学）班全体同学（5）直线）直线y=2x+1与与y轴的交点轴的交点2,3,5,7,11,13,17,191,21,2,3,4,5，0,(0,1)点坐标该怎么表示？点坐标该怎么表示？写出下列集合的元素：写出下列集合的元素：8试
10、列举一个集合的例子，并指出集合中的元素试列举一个集合的例子，并指出集合中的元素. . 任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？有什么特征？集合中的元素必须是集合中的元素必须是确定确定的（确定性）的（确定性）不含任何元素不含任何元素xA与与x A必居其一必居其一.，9我们班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合我们班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？有没有变化？由此说明什么？由此说明什么？2.元素的特点元素的特点:(1).确定性确定性在一个给定的集合中能否有相同的元素？在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此
11、说明什么？由此说明什么？(2).互异性互异性(3).无序性无序性一般地一般地,一个集合里的元素都是确定的一个集合里的元素都是确定的,任何两个元任何两个元素都是不同的素都是不同的,也就是说集合中的元素不允许重复出也就是说集合中的元素不允许重复出现现,并且元素的排列与顺序无关并且元素的排列与顺序无关.判断一组对象能否构成集合的依据判断一组对象能否构成集合的依据10这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献，她叫诺特。1920年，她已引入年，她已引入“左模左模”，“右模右模”的概念。的概念。1921年写出的年写出的是交换代数发展的里程碑。其中，是交换
12、代数发展的里程碑。其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环）。诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环）。她是德国人，德语中的整数叫做她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen，于是当时她将，于是当时她将整数环记作整数环记作Z，从那时候起整数集就用，从那时候起整数集就用Z表示了表示了3.重要的数集重要的数集:Q：有理数集：有理数集：由于两个整数相比的结果(商)叫做有理数，商英文是quotient，所以就用Q了 R：实数集（：实数集（real number ）N+ 或或 ：自然数集中去掉：自然数集中去掉0即正整数集即正整数集N：自然数集即：自然数集即 (Natural n
13、umber ）Z：整数集：整数集：11实数集有理数集无理数集整数集分数集正整数集负整数集零自然数集RQZN3.重要的数集重要的数集: 12如（如（1）120以内的所有质数；以内的所有质数；2,3,5,7,11,13,17,19二二.集合的表示方法集合的表示方法:元素为：元素为： 把集合的元素一一列举出来，并用花括号把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”“ ”括起来，这种表示集合的方法叫括起来，这种表示集合的方法叫 列举法列举法该集合表示为：该集合表示为：2,3,5,7,11,13,17,19注意：（注意：（1）元素之间用）元素之间用“，”隔开隔开 （2）元素不重复，满足元素的互异性）元素不
14、重复，满足元素的互异性 （3）元素无顺序，满足元素的无序性）元素无顺序，满足元素的无序性1.列举法：列举法：u若集合若集合A=(1，2)，集合，集合B=(2，1),那么那么A、B是否为同一集合是否为同一集合?13（2）方程）方程 的所有实数根的所有实数根（3）所有的自然数）所有的自然数（5）直线）直线y=2x+1与与y轴的交点轴的交点（6）方程）方程 的实数根的实数根例题例题2：用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合（1）120以内的所有质数；以内的所有质数；2,3,5,7,11,13,17,191,2集合的分类：集合的分类：有限集有限集无限集无限集空集空集（按元素个数分）（按元素个数分）
15、相等集合：相等集合：1,2=2,14 30(3)元素个数无限但有规律时，也可以数似地用省略号列举，141,1，4,2 2,4 2，1,0,1,2能用列举法表示不等式能用列举法表示不等式x-73的解集吗？的解集吗？15(2)描述法描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合.符号符号描述法描述法-用符号把元素所具有的属性描述出来即: 或能用列举法表示不等式能用列举法表示不等式x-73的解集吗？的解集吗？不等式不等式x-73的解集：的解集：16符号描述法符号描述法-用符号把元素所具有的属性描述出来即: 或 例3：用描述法表示下列集合不等式2x-13的解集
16、奇数集 1718文字文字描述法描述法-用文字把所具有的属性描述出来如:所有等腰三角形构成的集合可表示为:x|x是等腰三角形由于同一类对象,同一概念定义有不同的陈述,用文字描述法表示集合时形式往往不唯一.如:等腰三角形 = 两条边相等的三角形 = 两个内角相等的三角形 描述法表示集合的关键描述法表示集合的关键:1确定代表元素确定代表元素, 2找出元素所具有的公共属性找出元素所具有的公共属性3.不能出现未被说明的字母不能出现未被说明的字母4.所有内容都写在花括号内所有内容都写在花括号内可简写为可简写为 等腰三角形19例例4:4:试分别用列举法和描述法表示下列集合：试分别用列举法和描述法表示下列集合
17、：（1 1） 方程方程 的所有根组成的集合的所有根组成的集合 ; ;（2 2）由大于小于的所有整数组成的集合）由大于小于的所有整数组成的集合 解：（）设所求集合为，用描述法表示为解：（）设所求集合为，用描述法表示为用列举法表示为用列举法表示为20（）设所求集合为，用描述法表示为（）设所求集合为，用描述法表示为用列举法表示为用列举法表示为 11,12,13,14,15,16,17,18,19 11,12,13,14,15,16,17,18,1921(3)图示法图示法(韦恩图韦恩图)用一条封闭的曲线围成的区域来表示一个集合,即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合. 用图示法表示集合A=6的正
18、约数和B=8的正约数之间的关系.如30的质因数可表示为:2, 3, 5 表示任意一个集合AAB1,23,64,822三种表示法对比三种表示法对比列举法-具体具体描述法-简洁简洁,抽象抽象图示法-形象直观形象直观,特别是表示集合间的关系时体现了数形结合思想,比较直观.课堂小结课堂小结:1集合概念中”确定的对象”可以是任意的具体确定的事物,如数,式,点,形,物等 2集合元素的三个特征:确定性,互异性,无序性.要能熟练运用之(互异性易出错) 3集合的表示方法:列举法,描述法,图示法. 231.1.已知集合已知集合 ，如果集合，如果集合A A中有中有且只有且只有3 3个元素，求实数个元素，求实数 的取
19、值范围，并用列举的取值范围，并用列举法表示集合法表示集合A.A.24例例1：用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：（3）单词“school”中字母构成的集合.25用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合的正约数组成的集合的正约数组成的集合2.坐标平面内第一象限的坐标平面内第一象限的点点组成的集合组成的集合1.241.100026 随堂练习随堂练习 用适当的方法表示下列集合：用适当的方法表示下列集合：（1 1）绝对值小于）绝对值小于3 3的所有整数组成的集合；的所有整数组成的集合； （2 2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，）在平面直角坐标系中以原点为圆心，1 1为半径的圆为半径的
20、圆 周上的点组成的集合；周上的点组成的集合；（3 3）所有偶数组成的集合）所有偶数组成的集合；（4 4）由数字）由数字1 1，2 2，3 3组成的所有三位数构成的集合组成的所有三位数构成的集合. .-2-2，-1-1，0 0，1 1，22或或 123123，132132，213213，231231，312312，321. 321. 27小结：小结：一：集合的有关定义一：集合的有关定义1.集合集合 2.元素元素 3.元素与集合的关系元素与集合的关系二：集合的表示方法：二：集合的表示方法：1.列举法列举法 2.描述法描述法3.图示法图示法28 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
