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1、典型例题一典型例题一例例 1 1已知证明：证明：，求证，三式相加，得，即说明：说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握典型例题二典型例题二例例 2 2已知是互不相等的正数，求证：证明：证明：，同理可得：三个同向不等式相加，得说明：说明：此题中互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立特别地，时，所得不等式仍不取等号典型例题三典型例题三例例 3 3求证分析：分析： 此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式这一特征，思索如何将证明：证明：两边同加即同理可得：得，并能由进行变形，进行创造”三式相加即得例例 4 4 若正数 、满足解解 ： ，或（舍去），的取值范围是，典型例题四典型例题四，则的取值范围是，
2、令， 得；二是忘了还原，得出后者的理解，前者忽视了说明：说明： 本题的常见错误有二一是没有舍去前者和后者的问题根源都是对错误地将视为因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之典型例题五典型例题五例例 5 5 （1）求（2）求函数（3）若，且的最大值的最小值，并求出取得最小值时的值，求的最小值解：解：（1）即的最大值为当且仅当（2）时，即时，取得此最大值的最小值为3，当且仅当时取得此最小值（3）即，即，即的最小值为 2当且仅当时取得此最小值说明：说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件典型例题六典型例题六例例 6 6求函数的最值分析：分析：本
3、例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件如：，应分别对发生如下错误：两种情况讨论，如果忽视的条件，就会，解：解：当当且仅当当时，即典型例题七典型例题七例例 7 7求函数分析：分析：的最值时，即，又时，函数，最小值，又时，函数，有最小值当且仅当但等号成立时调递增这一性质，求函数解：解：设当时，函数，这是矛盾的！于是我们运用函数的最值在时单，递增，无最大值典型例题八典型例题八的最小值，原函数变形为，再利用函故原函数的最小值为例例 8 8求函数分析：分析：用换元法，设数的单调性可得结果或用函数方程思想求解解：解：解法一：设，故由函数解法二：设，得：，故：为增函数，从而，知，可得关
4、于 的二次方程，由根与系数的关系，得：又，故有一个根大于或等于 2，设函数，则，即，故说明：说明： 本题易出现如下错解：无实数解，即视了等号成立的条件当、为常数，且值，可以利用恒等变形的最大（小）值为定值，要知道，所以原函数的最小值不是 2错误原因是忽时，当典型例题九典型例题九，不能直接求最大（小）之差最小时，再求原函数例例 9 9求的最小值分析：分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值解：解：由又，得得，即故的最小值是说明：说明：本题易出现如下错解：，故的最小值是 8和，但在错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有的条件下，这两个式子不会同时取等号（法是看都取等号时
5、，与题设是否有矛盾典型例题十典型例题十例例 1010 已知：，求证：分析：分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明）排除错误的办证明：证明：同理：说明：说明：证明本题易出现的思维障碍是： (1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性典型例题十一典型例题十一例例1111设，且，求 的最大值分析：分析：如何将与用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键两 边 同 加之 后 得算 术 平 均 数 与 几 何 平 均
6、 数 定 理解：解：由，则有说明：说明：常有以下错解：，故，两式相除且开方得错因是两不等式相除，如不等式么办呢？有以下变形：，相除则有是解决从“和”到“积”的形式从“和”到“积”怎或典型例题十二典型例题十二，且：，求证：例例 1212已知：立的条件分析：分析：由已知条件有，无法利用，并且求等号成，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再行论证证明：证明：等号成立，当且仅当由以上得时即当时等号成立说明：说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值
7、不等式要注意灵活运用均值不等式典型例题十三典型例题十三例例 1313 已知分析：分析：由，且，可得，求的最大值故，令利用判别式法可求得 （即）的最大值，但因为有范围的限制，还必须综合韦达定理展开讨论仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解解法一：解法一：由，可得，注意到可得，当且仅当故的最大值为 18解法二：解法二：代入，中得：，即时等号成立，代入中得，解此不等式得下面解法见解法一，下略说明：说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷典型例题十四典型例题十四例例 1414 若，且，求证：分析：分析：不等式右边的数字“8”
8、使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而证明：，即，又，同理，当且仅当说明：说明：本题巧妙利用换式例例 1515 设时，等号成立的条件，同时要注意此不等式是关于典型例题十五典型例题十五，求证：的轮分分析析：本题的难点在于与，则容易得到证明证明：证明：，之间的关系，问题可得到解决，注意到：不易处理，如能找出于是同理：三式相加即得：，说明：说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于的轮换式因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性典型例题十六典型例题十六例例 1616 已知：求证：（其中表示正实数）分析：分析：要证明的这一串不等式非
9、常重要，称为平方根，称为算术平均数，称为几何平均数，称为调和平均数证明：证明：，当且仅当“”时等号成立，等号成立条件是“”，等号成立条件是“”，等号成立条件是“”说明：说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法典型例题十七典型例题十七例例 1717设 实 数，求证分析：分析：由条件可得到，式子的左边展开后可看出有交叉项和成乘积后，重新搭配，可利用条件求证证明：证明：同理，由，知与同号，与同号，同号为方便，不妨都设为正将求证无法利用条件，但使用均值不等式变，满足，同号不妨都设为正，即说明
10、：说明：本题是根据题意分析得，同号，然后利用均值不等式变形得证换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法实 际 上 ， 由 条 件 可 知，不等式，为 同 号 ， 不 妨 设 同 为 正 又对任意实数恒成立（根据二，次三项式恒为正的充要条件），两式相加得它对任意实数恒成立同上可得：典型例题十八典型例题十八例例 1818 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈 4 间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：分析： 可先设出羊圈的长和宽分别为，的利用解：解：设每间羊圈的长、宽分别为，设上
11、式当且仅当时取“”，即求的最大值注意条件，即，则有此时羊圈长、宽分别为m，3m 时面积最大说明：说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件的方法：直接用不等式“减少变量”的方法：，当且仅当时取“=”之下求积的最大值，即可出现积当然，也可用典型例题十九典型例题十九例例 1919 某单位建造一间地面面积为 12m2 的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为 1200 元/m2，房屋侧面的造价为 800 元/m2，屋顶的造价为 5800 元如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？
12、分析：分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系从已知条件看，矩形地面面积为 12m2，但长和宽不知道，故考虑设宽为m，则长为m，再设总造价为由题意就可以建立函数关系了m；设房屋的总造价为根据题解：解：设矩形地面的正面宽为m，则长为意，可得：当，即时，有最小值 34600 元因此，当矩形地面宽为 4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是 34600 元说明：说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立
13、典型例题二十典型例题二十例例 2020某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 1m 长造价 40 元，两侧墙砌砖，每 1m 长造价 45元，顶部每 1m2 造价 20 元计算：(1)仓库底面积的最大允许值是多少？(2)为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析：分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系解：解：设铁栅长为m，一堵砖墙长为m，则有由题意得应用算术平均数与几何平均数定理，得.即：从而：因此的最大允许值是，取得此最大值的条件是，而，即铁栅的长应是，由此求得说明：说明：本题也可将式法
14、求解代入（*）式，导出关于的二次方程，利用判别典型例题二十一典型例题二十一例例 2121甲、乙两地相距成：可变部分与速度（1）把全程运输成本，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：分析：这是 1997 年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题解：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为本为故所求函数为（2）由于故有即当且仅当若当，即时，则，易证时上式中等号成立时，全程运输成本最小；，函数单调递减，即时，定义域为都为正数，全程运输成综上可知，为使全程运输成本最小，在在时，行驶速度应为时，行驶速度应为；
