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1、定义定义1 1一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线4.5 曲线的渐近线与函数作图定义1一、曲线的渐近线4.5 曲线的渐近线与函数作图渐近线的种类：渐近线的种类：渐近线的种类：思考定义定义2 21 1、水平渐近线、水平渐近线对于函数对于函数 ，若，若或或或或则称直线则称直线 为曲线为曲线 的一条水平渐近线。的一条水平渐近线。解解 例例1.求曲线求曲线的水平渐近线。的水平渐近线。例例1 求求 故故是水平渐近线。是水平渐近线。定义21、水平渐近线对于函数 ，若或解解定义定义3 32 2、垂直渐近线、垂直渐近线对于函数对于函数 ，若，若或或或或则称直线则称直线 为曲线为曲线 的一条垂直渐近线。的一条垂直渐
2、近线。解解所以所以是垂直渐近线是垂直渐近线。所以所以是垂直渐近线。是垂直渐近线。例例3 求求 曲线曲线的垂直渐近线。的垂直渐近线。例例3定义32、垂直渐近线对于函数 ，若或解解曲线的渐近线与函数的作图课件3 3、斜渐近线、斜渐近线3、斜渐近线曲线的渐近线与函数的作图课件解解曲线的渐近线与函数的作图课件解解二、函数的作图二、函数的作图 用描点法作函数图形需要计算许多点 才能画出较精确的函数图形 当我们对函数曲线的性态有了全面了解之后 只需少数几个点就能画出较精确的函数图形下页二、函数的作图 用描点法作函数图形需要计算许多 (1)确定函数的定义域 (2)求函数的一阶和二阶导数 求出一阶、二阶导数为
3、零的点 求出一阶、二阶导数不存在的点 (3)列表分析 确定曲线的单调性和凹凸性 (4)确定曲线的渐近性 (5)确定并描出曲线上极值对应的点、拐点、与坐标轴的交点、其它点 (6)联结这些点画出函数的图形 v描绘函数图形的一般步骤 上页铃结束返回首页下页 (1)确定函数的定义域 描绘函数图形的一般 例10 画出函数yx 3x 2x1的图形 解 (1)函数的定义域为( ) (2)f (x)3x22x1(3x1)(x1) f (x)6x22(3x1) 令f (x)0得x1/3 1 令f (x) 0得x1/3 (3)曲线性态分析表 f (x) f (x) f (x)00032/27极大0极小16/27拐
4、点 (4)特殊点的函数值 f(0)1 f(1)0 f(3/2)5/8(1/3)1/3 (1/31/3) 1/3(1/3 1)(1 )1x下页 例10 画出函数yx 3x 2x1 描点联线画出图形 特殊点的函数值 f(0)1 f(1)0, f(3/2)5/8 yx3x2x1 f (x)(1/3)1/3 (1/31/3) 1/3(1/3 1)(1 )132/27极大0极小16/27拐点x下页 例10 画出函数yx 3x 2x1的图形 解 曲线性态分析表 描点联线画出图形. 特殊点的函 解 (1)函数f(x)的定义域为(, ) f(x)是偶函数 图形关于y 轴对称 例11 令f (x)0 得x0 令
5、f (x)0 得x1和x1 (3)曲线性态分析表 极大拐点(1, )1(0, 1)0x f (x) f (x) yf(x)的图形 00 (4)曲线有水平渐近线y0 下页 解 (1)函数f(x)的定义域为(-, 0.51 y0是曲线的水平渐近线 极大拐点(1, )1(0, 1)0x yf(x)的图形 先作出区间(0)内的图形 然后利用对称性作出区间(, 0)内的图形 下页 解 函数性态分析表 例11 0.51 y=0是曲线的水平渐近线 极大拐 例12 解 (1)函数的定义域为( 3)(3 ) 令f (x)0得x3 令f (x)0得x6 (3)曲线性态分析表( 3) (3 3)3(3 6)6(6
6、)x f (x) f (x) yf(x)的图形0011/3拐点4极大 (4)曲线有铅直渐近线x3与水平渐近线y1 (5)特殊点的函数值 f(0)1 f(1)8 f(9)8 f(15)11/4下页 例12 解 (1)函数的63912-3-6-9-12-153-3( 3) (3 3)3(3 6)6(6 )x yf(x)的图形11/3拐点4极大 铅直渐近线为x3 水平渐近线为y1 f(0)1 f(1)8 f(9)8 f(15)11/4 y1x3(3,4)(1,8)(9,8)结束 例12 解 函数性态分析表63912-3-6-9-12-153-3(- , -3)(-l三、利用函数的性态讨论方程f(x)
7、=0的根l由于函数的性态（如连续性、单调性、极值等）反映了函数及其图形的基本特征，而从函数图形的特征可以确定函数f(x)的零点（即f(x)=0的根）分布状况，因此，函数的性态对于方程根的讨论具有很重要的作用l讨论方程f(x)=0的根的一般步骤：l（1）确定f(x)的定义域及其连续性l（2）求f(x)的驻点和f (x)不存在点，并划发f(x)的单调区间l（3）求f(x)的极值（或最值）l（4）分析极值（或最值）与x轴的相对位置，确定f(x)的零点的大概位置及个数三、利用函数的性态讨论方程f(x)=0的根l例13：试讨论方程xe-x=a（a0）的实根l解：令F(x)=xe-x-alF(x)的定义域
8、为了(-,+)，且在定义域内连续lF (x)=(1-x)e-x=0l得x=1l列表-0+F(x)F (x)(1, +)0(-, 1)x极大值（e-1-a）l由x=1是F(x)的唯一极值点，因而也是F(x)的最大值点，也好f(1)=e-1-a为最大值，以下就F(1)=e-1-a与x轴的相对位置讨论F(x)的零点。例13：试讨论方程xe-x=a （a0）的实根-0+F(x)l因为F(x)在(-, 1)内单调增加，且l又F(x)在(1, +)内单减减少，且l所以l（1）若F(1)=e-1-a0l即(1, e-1-a)位于x轴上方，由表所示，F(x)在(-, 1)与x轴仅有一个交点，即，F(x)在(-
9、, 1)内仅有一个零点，另外，F(x)在(1, +)内与x轴仅有一个交点，即F(x)在(1, +)内仅有一个零点。l综上所述，当e-1-ae-1时，方程没有实根；当e-1-a=0时，即a=e-1时，方程有唯一实根x=1；当e-1-a0时，即a0l例14：在区间0，上讨论方程sin3xcosx=a（a0）的实根的个数l解：令F(x)=a=sin3xcosxlF (x)=-3sin2xcos2x+sin4xl =-3sin2x (1-sin2x)+sin4xl =-3sin2x+3sin4x+sin4xl =-sin2x (3-4sin2x)l令F (x)=0得两个驻点x1=60，x2=120lF(x)=-sin2x 3-8sin2xlF(60)0，F(x)有极小值lF(120)0l当极小值小于零时，方程有两个解，当极小值等于零时，方程有唯一解。l当极小值大于零时，方程无解。l如图：0yx两个端点0yx
