高数6 多元函数积分学

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1、专题2高等数学知识点解读第六章第六章 多元函数积分学多元函数积分学第一节 二重积分的概念与计算一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 2 2二重积分的概念二重积分的概念3 3二重积分的性质二重积分的性质二、在直角坐标系中计算二重积分二、在直角坐标系中计算二重积分上式也可简记为上式也可简记为 化二重积分为累次积分时化二重积分为累次积分时, ,需注意以下几点：需注意以下几点：（1 1）累次积分的下限必须小于上限）累次积分的下限必须小于上限; ; (a)(a) (b)(b)1. 1. 极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素三、在极坐标系中计算二重积分三、在极坐

2、标系中计算二重积分(a)(a) 2.2.极坐标系下化二重积分为累次积分极坐标系下化二重积分为累次积分 (b) (b) 第二节 二重积分应用举例一、平面薄板的质量一、平面薄板的质量二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心三、平面薄板的转动惯量三、平面薄板的转动惯量第三节第三节 三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算二、在直角坐标系中计算三重积分二、在直角坐标系中计算三重积分 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 2.2.三重积分的计算三重积分的计算 三、在柱面坐标系中计算三重积分三、在柱面坐标系中计算三重积分 ( (a) (b)a) (b)四、在球面坐标系中计算三重积分四、在球面坐标系中计算三重积

3、分 上的上的连续函函 是定是定义在在 设某物体的密度函数某物体的密度函数 数当数当 是直线段时是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体应用定积分就能计算得该物体 的质量的质量.现在研究当现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题段时物体的质量的计算问题. (2) 近似求和近似求和：在：在每一个每一个 上任取一点上任取一点 由于由于 (1) 分割分割：把：把 分成分成 个可求个可求长度的小曲度的小曲线段段 第四节第四节 曲线积分曲线积分一一 第一类（对弧长的）曲线积分第一类（对弧长的）曲线积分1.1.第一类曲线积分的定义第一类曲线积分的定

4、义 上的上的连续函数函数, 故当故当 的弧的弧长都很小都很小时, 每一小段每一小段 的的质量可近似地等于量可近似地等于 其中其中 为小曲线段为小曲线段 的长度的长度. 于是在整个于是在整个 上的质量就近似地等于和式上的质量就近似地等于和式 (3) 当当对的分割越来越的分割越来越细密密(即即 ) 时时, 上述上述和式的极限和式的极限就应是该物体的质量就应是该物体的质量.由上面看到由上面看到, 求物质曲线段的质量求物质曲线段的质量, 与求直线段的质与求直线段的质 量一样量一样, 也是通过也是通过“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”来得来得到的到的. 下面给出这类积分的定义下面给出这类积

5、分的定义. 个可求个可求长度的小曲度的小曲线段段 的弧的弧长长,它把它把 定定义在在 上的函数上的函数. 对曲曲线 做分割做分割 分成分成记为 分割分割 的的细度度为 在在 上任上任取取 一点一点 若有极限若有极限 为平面上可求平面上可求长度的曲度的曲线段段, 定定义1 设 为为且且 的的值与分割与分割 的取法无关的取法无关, 则称此称此 极极限为限为上的上的第一类曲线积分第一类曲线积分, 记作记作为空空间可求可求长曲曲线段段 , 若若 为定定义在在 上上 的函数的函数, 则可可类似地定似地定义 在空在空间曲曲线 上上 的第一类曲线积分的第一类曲线积分, 并且记作并且记作 于是前面于是前面讲到

6、的到的质量分布在曲量分布在曲线段段 上的物体的上的物体的质 量可由第一类曲线积分量可由第一类曲线积分 (1) 或或 (2) 求得求得. 1. 若若, 为 常数常数, , 则则也存在也存在, 且且2. 若曲若曲线段段 由曲由曲线 首尾相接而首尾相接而成成, 都存在都存在, 则则 也存在也存在, 且且3 都存在都存在, 且在且在 则则4也存在也存在, 且且 5存在存在, 的弧的弧长为则存在常数存在常数 使得使得6. 第一类曲线积分的第一类曲线积分的几何意义几何意义 为L若若 为坐坐标平面平面 上的分段光滑曲上的分段光滑曲线, 上定义的连续非负函数上定义的连续非负函数. 由第一类曲线的定义由第一类曲

7、线的定义, 易见易见 以以 为准准线, 母母线平行于平行于 轴的柱面上截取的柱面上截取 的部分的面的部分的面积就是就是 定理定理1 设有光滑曲线设有光滑曲线 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数, 则则 证证 由弧长公式知道由弧长公式知道, 上由上由 的弧长的弧长 的连续性与积分中值定理的连续性与积分中值定理, 有有 2 2 第一类曲线积分的计算第一类曲线积分的计算所以所以 这里这里 则有则有 令令现在证明现在证明 因因为复合函数复合函数 连续, 所以在所以在闭区区 间 上有界上有界, 即存在常数即存在常数 使使对一切一切 都有都有 再由再由 上上连续, 所以它在所以它在 上一致连续上一

8、致连续, 即对任给的即对任给的 使当使当 时时, 从而从而 所以所以 因此当在因此当在(4)式两边取极限后式两边取极限后, 即得所要证的即得所要证的(3)式式. 上有连续的导函数时上有连续的导函数时, (3)式成为式成为 再由定积分定义再由定积分定义 当曲线当曲线 由方程由方程 表示表示, 且且 在在 上有连续导函数时上有连续导函数时, (3)式成为式成为 例例1 设设 是半圆周是半圆周 试计算第一型曲线积分试计算第一型曲线积分 解解 当曲线当曲线 L由方程由方程表示表示, 且且 在在 例例2 一段一段(图20-2), 试计算第一型曲算第一型曲线积分分 解解 由参由参 仿照定理仿照定理1, 对

9、于空于空间曲曲线积分分(2), 当曲当曲线 量方程量方程 表示表示时, 其计算公式为其计算公式为: 例例3 计算算 其中其中 为球面球面 被平面被平面 所截得的圆周所截得的圆周.解解 由对称性知由对称性知 所以所以 *例例4 计算计算 其中其中 为内摆线为内摆线 解解 由对称性知由对称性知 其中其中 *例例5 求求圆柱面圆柱面 被圆柱面被圆柱面 所所 而内摆线的参数方程为而内摆线的参数方程为 因此因此 包围部分的面积包围部分的面积 A. 解解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分, 它的面积为它的面积为 把把 平面上的平面上的 位于第一象限的四分之一

10、圆周记为位于第一象限的四分之一圆周记为, 则被围柱面则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于为准线母线平行于 z 积分的几何意义可知它的面积为积分的几何意义可知它的面积为 的那部分柱面的那部分柱面. 由第一型曲面由第一型曲面 轴的轴的 L 的参数方程为的参数方程为:因此因此, 定定义, 线密度密度为 的的 曲线状物体对于曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 注注 由第一类曲线积分的由第一类曲线积分的 例例6 求线密度为求线密度为 的曲线段的曲线段 对于对于 y 轴的转动惯量轴的转动惯量. 解解 和和在物理中还遇到过另一在物理中

11、还遇到过另一种类型的曲线积分问题种类型的曲线积分问题. 例如一质点受力例如一质点受力 的作用沿平面曲线的作用沿平面曲线 从从点点 A 移动到点移动到点 B, 求力求力 所作的功所作的功, ,见图见图 20-2.二、二、 第二类（对坐标的）曲线积分第二类（对坐标的）曲线积分 1 1 第二类曲线积分的定义第二类曲线积分的定义为此在曲此在曲线AB 内插入内插入 个分点个分点 一起把有向曲一起把有向曲线 AB 分成分成 n个个有向小曲有向小曲线段段Mi-1Mi (i=1,2, ,n), 若若记小曲小曲线设力设力 在在轴方向的投影分别为轴方向的投影分别为那么那么的弧长为的弧长为 则分割则分割 的细度为的

12、细度为段段Mi-1Mi又又设小曲小曲线段段Mi-1Mi 在在 轴上的投影分上的投影分别为 分别为点分别为点 的坐标的坐标. 记记 于是力于是力 在小曲线段在小曲线段Mi-1Mi 上所作的功上所作的功其中其中 为小曲小曲线段段 上任一点上任一点. 因而力因而力 沿曲线沿曲线 所作的功近似地等于所作的功近似地等于 其中其中 当当细度度 时, 上式右上式右边和式的极限就和式的极限就应该是是 所求的功所求的功. 这种类型的和式极限就是下面所要讨论这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分的第二型曲线积分. 定定义1 设函数函数 定定义在平面有向可在平面有向可 求求长度曲度曲线 L:AB 上上

13、. 对 的任一分割的任一分割 它把它把 分分 成成n个小曲线段个小曲线段Mi-1Mi (i=1,2, ,n),其中其中 记个小曲个小曲线段段 的弧的弧长 为 分割分割 的细度的细度 又又设 的分点的分点 在每个小曲线段在每个小曲线段 上任取一点上任取一点 若极限若极限 存在且与分割存在且与分割 T 与点与点 的取法无关的取法无关, 则称此极称此极限限为函数函数 沿有向曲沿有向曲线 L 上的上的第二第二类 的坐标为的坐标为 并记并记曲线积分曲线积分, 记为记为 或或上述积分上述积分(1)也可写作也可写作或或为书写简洁起见为书写简洁起见, (1)式常简写成式常简写成 或或 式可写成向量形式式可写成

14、向量形式若若L为封闭的有向曲线为封闭的有向曲线, 则记为则记为 若若记 则(1) 或或 于是于是, 力力沿有向曲沿有向曲线 对质点所作的功为对质点所作的功为若若L为空空间有向可求有向可求长曲曲线, 为定定义在在L上的函数上的函数, 则可按上述可按上述办法法类 似地定义沿空间有向曲线似地定义沿空间有向曲线L上的第二类曲线积分上的第二类曲线积分, 并记为并记为或简写成或简写成当把当把看作三维向量时看作三维向量时, (4)式也可表示成式也可表示成(3)式的向量形式式的向量形式.第二型曲线积分与曲线第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关的方向有关. 对同一曲线对同一曲线, 当方向由当方向由 A 到到 B

15、 改为由改为由 B 到到 A 时时, 每一小曲线段的每一小曲线段的方向方向改改变, 从而所得的从而所得的 也随之改也随之改变符号符号, 故故 有有 而第一型曲而第一型曲线积分的被分的被积表达式只是函数表达式只是函数 与与 弧长的乘积弧长的乘积, 它与曲线它与曲线L的方向无关的方向无关. 这是两种类型这是两种类型曲线积分的一个重要区别曲线积分的一个重要区别. 类似与第一型曲线积分类似与第一型曲线积分, 第二型曲线积分也有如下第二型曲线积分也有如下一些主要性质一些主要性质: 1 也存在也存在, 且且 2. 若有向曲若有向曲线 由有向曲由有向曲线 首尾首尾衔接而接而 成成,都存在都存在, 则则 也存

16、在也存在, 且且 第二类曲线积分也可化为定积分来计算第二类曲线积分也可化为定积分来计算. 设平面曲线设平面曲线 其中其中 上具有一上具有一阶连续导函数函数, 且且 点点 的坐的坐标分分别为 又又设 上的上的连续函数函数, 则沿沿 L 2 2第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算的第二类曲线积分的第二类曲线积分可可分别证明分别证明由此便可得公式由此便可得公式(6). 对于沿封闭曲线对于沿封闭曲线L的第二类曲线积分的第二类曲线积分(2)的计算的计算, 可可 在在 L 上任意选取一点作为起点上任意选取一点作为起点, 沿沿L所指定的方向前所指定的方向前 进进, 最后回到这一点最后回到这一点. 例例1

17、 计算计算 其中其中 L 分别沿图分别沿图 20-3中的路线中的路线: (i) 直线段直线段 (ii)(iii)( (三角形周界三角形周界) ).解解 (i)直线直线 的参数方程为的参数方程为故由公式故由公式(6)可得可得 (ii)曲曲线 为抛物抛物线 (iii)这里这里L是一条封闭曲线是一条封闭曲线, 故可从故可从 A开始开始, 应用上应用上段段加即可得到所求之曲线积分加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线由于沿直线的线积分为的线积分为所以所以的性质的性质2, 分别求沿分别求沿 上的线积分然后相上的线积分然后相 沿直线沿直线 的线积分为的线积分为 所以所以 沿直线沿直线 的线积分可由的线积分可

18、由(i)及公式及公式(5)得到得到: 例例2 计算计算 这里这里 L 为为: (i) 沿抛物沿抛物线 的一段的一段(图20-4); (ii) 沿直沿直线(iii) 沿封闭曲线沿封闭曲线解解 (i)(ii)(iii)在在OA一段上一段上, 一段上一段上, 一段上与一段上与(ii)一一样是是的一段的一段. 所以所以 (见见(ii)沿空间有向曲线的第二类曲线积分的计算公式也与沿空间有向曲线的第二类曲线积分的计算公式也与 (6) 式相仿式相仿. 设空间有向光滑曲线设空间有向光滑曲线 L 的参量方程为的参量方程为 因此因此 起点为起点为 终点为终点为则则 这里要注意这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应

19、该一致曲线方向与积分上下限的确定应该一致.L是螺旋是螺旋线: 例例3 计算第二类曲线积分计算第二类曲线积分上的一段上的一段( (参见图参见图 205) ). 解解 由公式由公式 (7),例例4 求在力求在力作用下作用下, (i)质点由点由 沿螺旋沿螺旋线所作的功所作的功(图20-5), 其中其中 (ii)质点由质点由A沿直线沿直线所作的功所作的功.解解 如本节开头所述如本节开头所述, 在空间曲线在空间曲线 L上力上力F所作的功所作的功为为(i) 由于由于(ii) 的参量方程的参量方程由于由于所以所以例例5 设L为球面球面和平面和平面的交线的交线, 若面对若面对 x 轴正向看去轴正向看去, L是

20、沿逆时针方向的是沿逆时针方向的,求求(i) (ii)(i)由对称性，由对称性，解解 L的参数方程为的参数方程为因此，因此，(ii)由对称性，由对称性，*例例6 设G是是 R2 中的有界中的有界闭域，域， 是是 上的上的连续 可微函数可微函数, 是在是在G上的连续函数上的连续函数.则对任意则对任意, 存在存在 对于任意分割对于任意分割只要只要 必有必有 其中其中 为端点为端点的折线的折线.证证 由由的有界性的有界性,存在存在使得使得令令 由由P,Q在在 G 的一致连续性的一致连续性, 存在存在 使得使得 就有就有由由在在上的一致连续性上的一致连续性,存在存在 使得使得就有就有.任意分割任意分割

21、,满足满足令令 设设 为连接为连接与与 的线段的线段,其斜率为其斜率为设设 的方程为的方程为则则于是于是 设在在 到到的那段曲的那段曲线为 则 因此因此注注 例例6 告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来告诉我们曲线上的积分可用折线上的积分来逼近逼近.在规定了曲线方向之后在规定了曲线方向之后, 可以建立它们之间的联系可以建立它们之间的联系.的有向光滑曲线的有向光滑曲线, 它以弧长它以弧长s为参数为参数, 虽然第一类曲线积分与第二类曲线积分来自不同的虽然第一类曲线积分与第二类曲线积分来自不同的物理原型物理原型, 且有着不同的特性且有着不同的特性, 但在一定条件下但在一定条件下, 如如于是于是其中

22、其中l为曲曲线L的全的全长, 且点且点 的坐的坐标分分别为 三三. . 两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 曲曲线L上每一点的切上每一点的切线方方 向指向弧向指向弧长增加的一方增加的一方. 现以以分分别表示表示 切切线方向方向 轴正向的正向的夹角角, 则在曲在曲线上的上的 每一点的切线方向余弦是每一点的切线方向余弦是上的上的连续函数函数, 则由由(6) 式得式得最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式公式.注注 当当(9)式左边第二类曲线积分中式左边第二类曲线积分中L改变方向时改变方向时, 积积 分值改变符号分值改变符号, 相应在相应在(9

23、)式右边第一型曲线积分中式右边第一型曲线积分中, 曲线上各点的切线方向指向相反的方向曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧即指向弧 长减少的方向减少的方向). 这时夹角角分分别与原来与原来 的的夹角相差一个弧度角相差一个弧度 从而从而 都都 要变号要变号. 因此因此, 一旦方向确定了一旦方向确定了, 公式公式(9)总是成立的总是成立的. 区区域域D的的边边界界曲曲线线L L的的正正方方向向：当当观观察察者者沿沿L的的某某个个 方方向向行行走走时时, , 区区域域D总总在在其其左左侧侧, ,则则该该方方向向即即为为L的正向的正向. . 四、四、 格林（格林（GreenGreen）公式及其应

24、用）公式及其应用 1.1.格林格林公式公式2.2.平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件 性质性质特别特别，第五节第五节 曲面积分曲面积分一、第一类（一、第一类（对面积的）曲面积分对面积的）曲面积分定义定义计算法计算法则则三代：三代：二二换：换：一投：一投：则则三代：三代：二二换：换：一投：一投：则则三代：三代：二二换：换：一投：一投：注意注意：这里曲面方程均是：这里曲面方程均是单值函数单值函数。一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系四、小

25、结四、小结二、第二类（对坐标的）曲面积分二、第二类（对坐标的）曲面积分观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 ( (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的) )曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .上侧上侧下侧下侧外侧外侧决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .内侧内侧上侧上侧下侧下侧左侧左侧右侧右侧前侧前侧后侧后侧曲面的投影曲面的投影上侧上侧下侧下侧右侧右侧左侧左侧前侧前侧后侧后侧概念的引入概念的引入实例实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .1.1.分割分割1.1.分割分割2.2.取

26、近似取近似则该点流速为则该点流速为法向量为法向量为3. 3. 求和求和4.4.取极限取极限被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义组合形式组合形式:物理意义物理意义:存在条件存在条件:性质性质:二、对坐标的曲面积分的计算法三定号：三定号：二代：二代：一投：一投：三定号：三定号：二代：二代：一投：一投：注意：注意：曲面方程均是曲面方程均是单值函数单值函数.三定号：三定号：二代：二代：一投：一投：特别地，在特别地，在 上恒有，上恒有，例例1 1解解上侧。上侧。二代，三定号二代，三定号一投一投解解下下侧；侧；上侧。上侧。于是，于是，解解例例3 计算计算其中其中 是长是长方体方体表面的外侧

27、表面的外侧.于是，于是，于是，于是，同样，同样，同样，同样，于是，于是，三、两类曲面积分之间的联系如果如果 取上侧，则取上侧，则曲面曲面的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为 又又因此，因此，两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式四、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”作业：作业：203页页 2，3，4第六节 对坐标的曲面积分及其应用一、对坐标的曲面积分的概念与性质 2.对坐标的曲面积分的概念对坐标的曲面积分的概念 二、对坐标的曲面积分的计算二、对坐标的曲面积分的计算 三、三、高斯高斯(Gauss)(Gauss)公式公式