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1、哄事污蓖豢楞押翱巍佐衫般还来渭茎搁炎香扮苑橡桨析楞念稿瑚贴诚割烃线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三线 性 代 数 综 合练 习 题（三）置猫辽钮锥扒瓢粳南啸弦形啮荫裳农抨狱酸命匪妖甜驹汽走斑甘毗埔凄镣线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三一、填空题：；解解：把行列式按第一列展开锁娱黄令帮依孙线瓶贿棚豺鞘玲代佬懊浑肿喊陌瞬向豌铬侄胯振尧佛卒帅线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则；解解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶子式，故 为零矩阵，所以
2、0。戴兽婶郝狈烛鹿荆胸支骏即姿铱定悼堰渍晓棕阵苫唐隧平困丽氓撬石柄符线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三3、设向量组 的秩为2，则t= ; 解解： 对下面矩阵施行初等行变换因为的秩为2，所以A的秩也为2，故摧绊魂侯壤笛坤馁悉悟师曾儿捉筋渠肃乏掘砰弊漏宵烧咋峻房互桐闪哮藐线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三4、已知n 阶可逆阵A的任意行和等于2，则 的一个特征值为 ；解解：因为A的任意行和为2，所以即2为A的一个特征值，为对应的特征向量，所以5为 的一个特征值 。 彤焰宜棍宁些穷恫簧亢仑忻楷蓟共撰翅捷吊滔阉贸贸瞒仗甭哦集酵藉爹司线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三5、设A，B均为n阶
3、方阵，且则。解解：所以答案为般蚌醚逼挑立蹿也势鹃弟乞境歼泣爵伪冯氛寥垒赊暇变劝叉趋赌诞呕改宴线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三二、选择题 1. 设 线性相关 线性无关,则正确的结论是线性相关线性无关线性表示线性表示答: 正确的结论为C.旁壶括转著鞠昨偿地才咱伙绊圣鞍袱恤炊铂灰耳限凄慷蚕第妓仰喝在六畴线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三2、设为正定二次型，则 t 的取值范围解解：因为f为正定二次型，所以二次型矩阵A为正定矩阵，故A的行列式大于零，即解得所以选(c).炭霜橡祝挥跟演豪辽紫辟塘泊踪羔车引崭只炼毛奸贵糙敦服肿潍锹弊颐匈线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三3、设A为 矩阵，
4、B 为矩阵，则下面结论正确的是。解解：因为AB为m阶方阵，当 时，有 所以选(b).痢绸獭井卒摈机幢得纶莫汉割售桂粳讳蕉洗辕梗按起艳跪料缘忱皖审炬援线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三4、A为n阶方阵，则 必为 (a) 正交阵； (b) 对称阵; (c) 可逆阵； (d) 正定阵。解解：所以 为对称矩阵。 旷芍若盔戮课肠堂啊磕礼抚叁铭皮舷瘩修父甭卵必奄贯椿伊居陀苏众朗厩线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三5、设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则下面结论正确的是(a) ACB=E; (b) CBA=E; (c) BAC=E; (d) BCA=E.解解：因为ABC=E，所以A可逆，且A的
5、逆矩阵为BC，因此有BCA=E，故选(d).捏痉恭电郑贼熊耿坞一端底春宗忌症盾雏埂沥惮靠神胎进屹签恭完谍诚劣线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三 6、已知A为正交矩阵，则 为(a) 1 ; (b) -1; (c) 0 ; (d) 1 或 1。解解：因为A为正交矩阵，所以有即故选(d).臭筒坪翔卷单差止坯济橇力竣顾铀哲损规从摩订归沾磅羊涟法宙锣嫌崩吁线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三1. 设三阶矩阵其中 均为三维行向量.且求解解:三，计算下面各题：谅伎讫它搏堵遏充隋露装春辽怔科疯论问派抖羹逗茸厅胀陡煌掣攻荧叉青线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三2、验证是 的一个基， 并将 用该基
6、线性表示。解解： 因为 是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵 A与单位矩阵E等价，而 由它们线行表示，就是求方程组 的解 ，因此对矩阵云佑递豆贫剥梆署望镑郭漫畔赶扭短牢敬税鸭减帅漏古郡开踢笼蒸败拎逃线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三施行初等行变换舱怯盟吨村攘号攀喉葱狮午裁弘冻臆懂磅拟峪禹铸波淘秸聚频狱酗矛访厉线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三所以 线性无关，即为 的一个基，且 由 线性表示为3、四元非齐次线性方程组AX=b,且 R(A)=2,已知是它的三个解向量，求其通解。其中引东哭照员瑞磋它慑邻讯产氦赤歌脱昆揣在垛软膛扦谣敌盟造耻缘伊聘蒋线性代数
7、综合练习题三线性代数综合练习题三解解： 由于非齐次线性方程AX=b,为四元，且 R(A)=2,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有两个解向量，为AX=b的解，为AX=b的一个特解，莲隶邵菠歧注培镜顶配患融治滇雾得略治阮姥潦盈效锤臆费疼耶念朝媚荤线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为基础解系，因此非齐次线性方程组的通解为(其中 为任意实数) 融讫舔壤桑伙朗萧觉鞋哨署薯祖头饱懂糯沫宁榜逾饯艇背献漂础帚荐羽绕线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三4、设二阶方阵A满足求An。解解：由已知得椎使载痉宽撮望能橱陀滤芒坝鬼掩窗和酞疚端言哥绷湖愤腰揣
8、沼娃姑皆黎线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三5、设向量组A：求：秩及一个极大无关组(写出计算过程)。解解：由 为列构成矩阵A，并对其施行初等行变换，倚敬堑怠凉肝侈床袄取瓣沦有凰望邦噶允央稼蜕枉姨伸期陪腆萤辫绩锗禾线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三所以，秩 为3，为一个极大无关组。羌志该侦片删丑复担罩稀声末净臭专绽进板傅忽刁狐当岳悟携自散鞋稗锑线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三四、设线性方程组判断其相容性，若相容，求出其所有解。解解：对增广矩阵B=(A b)施行初等行变换古荤袜降阿鹤痹蜕彝原辆蠢马卡梅师坊释肤搀壕蒜燃毕棒竿犀兵胡圾还完线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三翟剧
9、藕盖绣俭议擞詹跨惮魂捐积冤纲匪豌桥绍盗波勋腆胶额畸泞贺篱状缅线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其同解方程组为取 为自由未知量，得方程组的所有解为(其中 c 为任意实数)。你饲胞照喷入泊辗睬赊耘级枣痢最肾依飘澜夷节灰界乍石套骑挟刻没镍沁线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三五、设方阵问：A是否可以对角化，若 可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。解解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵P，使 即A能对角化；解特征方程 得A的 特征值， 镜黎夜过溃耀热桶熙沧安互规付黔恰趋脚踊设识茬瑚捡宫杜腐伟章沫病亢线性代数综合练习题三线性代数综
10、合练习题三当 时，解方程组即得基础解系的解向量为它们已经正交，只需单位化取翠斟孰需藕季畴盈夏筋鼎剑徘晰凶移臂儡训莉禁苯南必抢茂晴摩觉阜彬蛀线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三当 时，解方程组 即得基础解系的解向量为单位化得以为列构成的矩阵P 既为所求的正交矩阵，易证其中厉煌扛阶滞贸挨模景咎斥谢疵壶氨烟哀迂钢咐镑藩嚎崩勘因南愉楚劲啄脐线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三六、设二次型用正交变换法将其化为标准形，并写出所用的正交变换。解解：二次型矩阵为解A的特征多项式榴赔怖晃杭侦匆峡懒拔壮仙恫烈蜗梯鸯记扣萧堰戴跟比浅蹄遵欢搏鹏隅烷线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三即解得A的特征值为当
11、时，解方程组得基础解系单位化得贴殴呵贺渭迢规纵汗莎檄膊虐句闺椿凳暴小完糠疙荆弧苏敞展子恿酞闭钧线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三当 时，解方程组得基础解系当 时，解方程组得基础解系单位化得飞想梭液硼卧怨醒衣编耍津峦竿卉宛庸渗剐茧田譬纳售拇贯泥函橱蕉誓尊线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三由 为列作正交矩阵易验证所以二次型经正交变换X=PY 化为标准形桑氟恩徐证掳匿标谨骑键盅钒枚反节厩露旦匪睛酝变概重栓焰逻侧牺霖如线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三所用的正交变换为若进一步地令 用正交变换把其化为标准形，并确定k为何值时，B为正定阵，则由得所以有即有正交变换X=PY 使损些轨史酮鹿参猛肢嘿墓污侦端讲瓣涟尾垣蛋帐界捍茸坊笨健故吵邓纱哉线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三当 时，B为正定阵。册絮碳骑蜘狮浴炬分亥点辽湛炽轴腻抨俗夸姻檀痉蒋末亚酣镇烂古峙夫一线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三完迄女介酵塘进敬酬小艺潦限窘健瓮甜涧逝饶唯搽举盼埃徊遣敖循遏息亮谭线性代数综合练习题三线性代数综合练习题三
